数学B 第1章数列の一般項と和 — 階差数列

階差数列の定義

下の数列の第項をいきなり求めるのは，少し難しい．

このように一般項がすぐに把握できない場合は，隣り合った項の差をとって，新たな数列をつくってみるとうまくいくことがある．まず新しく作られる数列について確認しよう．

隣り合った項の差に注目すると，たとえばは12と予想できるので，第6項はと求めることができる．

定義1階差数列の定義 §

数列に対して

となる数列を，数列の階差数列 (progression of differences) という．

この例では，階差数列は，初項4，公差2の等差数列になっているので

と表せる．

問題1階差数列の定義

数列の階差数列を書け．

解答を見る

階差数列は

よって，階差数列はで与えられる．

次に，本題であった数列を求めよう．

階差数列の一般項がわかった場合，そこからを以下のようにして求めることができる．

上の数列から

であるから，は「にからまでの項を加えたもの」とわかる．よって，のとき第項は

として求めることができる．

以上，まとめておこう．

に1個以上の階差を加えてを求めているので，このはの場合であるを表現することができない．

定理2階差数列

から一般項

を求める §

数列の階差数列をとおくと，のとき一般項は

と求めることができる．

問題2階差数列

から一般項

を求める

次の数列の一般項を求めよ．

解答を見る

階差数列より

よってにおいて

を代入したときとなり，と等しくなるので，においてと表せる．

最終更新: 2026-08-07

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