数学B 第5章 平面ベクトルと平面図形 — ベクトルの内積

ベクトルの正射影

ベクトルのなす角の定義

でない2 つの に対して，点 を始点として

となるように点 をとる．このとき， の大きさ は， によって決まる．この を， と のなす角(included angle) という．

と のなす角は， と が同じ向きのときは であり， と 向きがすれるにつれだんだん大きくなり， と が開ききって互いに逆向きとなるとき となる．

それ以上ベクトルが開いたときには，角度の狭いほうをなす角とするので， と のなす角 の取り得る範囲は となる．

ベクトルの正射影と有向距離

でない2 つの に対して，点 を始点として

となるように点 をとる．

いま，右図の点 からから直線 に下ろした垂線の足を とする．このとき，を の への正射影(orthogonal projection) ベクトルといい と表す．正射影ベクトル は， とそのなす角を用いて次のように表すことができる．

1. のとき

2. のとき

つまり， で と表せる．このの値のことを，の有向距離または符号付長さという．

なお， の大きさは

で表される．

【例】

ますめの一辺の長さが1 の右図において

1. の有向距離は
2. の有向距離は
3. の有向距離は
4. の有向距離は
5. の有向距離は

となる．

注 この表し方はFTEXT独自の表記であり，一般的ではない．

ベクトルの内積

ベクトルの内積の定義

任意の2 つのベクトル， に対して内積(inner product)という演算 を次のように定義する．

1. かつ のとき

「 の大きさに， の有向距離をかけたもの」，すなわち

とする．ここで， は と のなす角である． 2. または のとき

とする．

正射影ベクトルの内積での表し方

の への正射影ベクトル は

と表すことができる．

内積の計算法則

ベクトルの内積に関して，次の計算法則が成り立つ．

注 ベクトル空間の公理および，この公理を満たすものを計量ベクトル空間という．ただし，公理であるためには4. は かつ である．

  だから，係数を比較して

成分表示された平面ベクトルの内積

成分表示された2 つのベクトル， の内積について考えてみよう．

まず， という2 つのベクトル（基本ベクトル(fundamental vector) ）をとる．それぞれのベクトルの大きさは であり，なす角は であるから

が成り立つ．

ここで， は

であるから， を に分解すると

となる．

同様にして

となる．

よって， より

となる．

暗記1ベクトルを用いた三角形の面積公式

右の図のように， と で張られる三角形の面積をとする．

1. を と と を用いて表せ．
2. であるとき， を を用いて表せ．
3. 座標平面上に3 点 をとる．このとき， の面積を求めよ．

解答を見る

1. と のなす角を とおき， を三角形の底辺とみると，高さは とかけるから，三角形の面積 は

よって， と表せる． 2. のとき

であるから， に代入して

よって， と表せる． 3.

より， の面積は

ベクトルの垂直条件

でない2 つのベクトル， と のなす角が とき， と は垂直(perpendicular) であるといい， と表す．また， はすべてのベクトルに対し垂直と定める．