数学B 第4章ベクトルの定義と基本演算 — ベクトルの演算

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ベクトルの加法

ベクトルの加法の定義

2 つのベクトル $a, b$ に対して、まず点 $A$ を定めて

$a =AB, b =BC$

となる点 $B, C$ を取るとき、ベクトル $AC$ を $a$ と $b$ の和といい、 $a + b$ と書く。すなわち、

$AB +BC =AC$

点Aから点Bへ向かうベクトルaと、点Bから点Cへ向かうベクトルbに対し、始点Aから終点Cへ向かうベクトルがベクトルa+ベクトルbと表されている。

ベクトルの加法に関する計算法則

一般に、ベクトルの加法について、次のことが成り立つ。

定理1ベクトルの加法に関する計算法則

交換法則 $a + b = b + a$
結合法則 $(a + b) +c = a + (b +c)$

証明を見る

証明

2 つのベクトル、 $a, b$ について

$a=OA=BC b=OB=AC$

となるように点 $O, A, B, C$ をとる。このとき、

$a+b=OA+AC=OC b+a=OB+BC=OC$

よって

$a+b=b+a$

以上より、 $a$ と $b$ が同じ向きでも反対向きでもないとき、 $a+b(=b+a)$ は $OA(=a), OB(=b)$ によってつくられる平行四辺形 $OACB$ の対角線のベクトルとして表すことができる。
3つのベクトル $a, b, c$ について $a=OA, b=AB, c=BC$ となるように点 $O, A, B, C$ をとる。

このとき、

$(a+b)+c =(OA+AB)+BC =OB+BC=OC a+(b +c) =OA+(AB+BC) =OA+AC=OC$

よって

$(a+b)+c=a+(b+c)$

以上より、ベクトルの和に関しては、その順序を区別しなくてよいので括弧を省略して、 $a+b+c$ と書く。

∎

逆ベクトルとゼロベクトル

ある $a$ に対し、大きさが等しく向きが反対であるベクトルを、 $a$ の逆ベクトル(inverse vector) といい、 $-a$ で表す。

いま、次の図のように $a =AB$ とすると、 $-a =BA$ であるから

$BA = -AB$

である。

$a =AB$ と、その逆ベクトル $-a =BA$ の和は

$a + (-a) =AB +BA =AA$

となる。このとき、 $AA$ を、始点と終点が一致した特別な有向線分の表すベクトルと考えて、これをゼロベクトル(zero vector) といい、記号 $0$ で表す。つまり

$a + (-a) = 0$

である。

ゼロベクトルの大きさは $0$ とし、その向きは考えないものとする。ゼロベクトルには、数の $0$ と同じように次のような性質がある。

$a + 0 = 0 + a = a$

点Aから点Bへ向かう矢印と、それと平行で逆向きの点Bから点Aへ向かう矢印が描かれている。前者の矢印にはベクトルa、後者の矢印には-ベクトルaと書かれている。

成分表示された平面ベクトルの加法

次の図のような2 つのベクトルを考える。

$a =AB = ( 5 -3 ) , b =BC = ( 2 7 )$

いま、 $a + b =AC$ は次の図より $( 7 4 )$ となる。つまり

$( 5 -3 ) + ( 2 7 ) = ( 7 4 )$

が成立する。

一般に、 $a = ( ax ay )$ と $b = ( bx by )$ の和 $a + b$ は

$a + b = ( ax ay ) + ( bx by ) = ( ax+bx ay+by )$

となる。

座標平面上に点A(2, 5)、点B(7, 2)、点C(9, 9)があり、点Aから点Bへのベクトルa、点Bから点Cへのベクトルb、点Aから点Cへの矢印が描かれている。また、 $a = ( ax ay )$ の逆ベクトルの成分表示は、次の図より $-a = ( -ax -ay )$ となり、ゼロベクトルの成分表示は

$0 = a + (-a) = ( ax ay ) + ( -ax -ay ) = ( 0 0 )$

となる。

グリッド状の座標平面上に、右上に進むベクトルaと、それと平行で逆向きのベクトル-aが描かれている。また、x軸方向の長さがa_x、y軸方向の長さがa_yと示されている。

問題1ベクトルの加法

$a, b$ が次のように表されているとき、 $a + b$ を図示し、成分表示せよ。ただし、1 マスの1 辺の長さは $1$ とする。

マス目上に、共通の始点から伸びるベクトルaとベクトルbが描かれている。ベクトルaは右に1マス、上に2マス進む矢印であり、ベクトルbは右に3マス進む矢印である。方眼の上に2つのベクトルが描かれており、ベクトルaは右上の点から左へ2マス下へ2マス進む矢印、ベクトルbは右下の点から左へ3マス上へ1マス進む矢印である。マス目の上に、始点から左へ1マス、上へ1マス進む矢印のベクトルaと、始点から左へ3マス、上へ3マス進む矢印のベクトルbが描かれている。

解答を見る

上の図より、 $a+b$ について、 $x$ の増分は $4, y$ の増分は $2$ であるので、 $a+b=(4 2 )$
上の図より、 $a+b$ について、 $x$ の増分は $-5, y$ の増分は $-1$ であるので、 $a+b=(-5 -1 )$
上の図より、 $a+b$ について、 $x$ の増分は $-4, y$ の増分は $4$ であるので、 $a+b=(-4 4 )$

ベクトルの減法

ベクトルの減法の定義

2 つのベクトル、 $a$ と $b$ に対して、 $a$ に $b$ の逆ベクトルを加えたもの $a + (-b)$ を $a - b$ と書き、これを、 $a$ から $b$ を引いた差という。つまり

$a - b = a + (-b)$

いま、次の図のように $a =OA, b =OB$ とおき、 $-b =OB’$ となる点 $B’$ をとると、 $a-b$ は $a + (-b)$ であるから

$a - b =OA -OB =OA +OB’ =OC$

また、 $OC =BA$ より

$OA - OB = BA a - b = BA$

が成り立つ。

点Oを始点とするベクトルa、ベクトルb、ベクトル-bが描かれ、点Bから点Aに向かうベクトルBAと、ベクトルaとベクトル-bの和であるベクトルOCが、等しいベクトルとして示されている。

成分表示された平面ベクトルの減法

2 つのベクトルを、 $a = ( ax ay ) , b = ( bx by )$ とおくと、 $-b = ( -bx -by )$ となるから

$a - b = ( ax ay ) - ( bx by ) = ( ax - bx ay - by )$

となる。

問題2ベクトルの減法

平行四辺形 $ABCD$ の対角線の交点を $O$ とし、 $OA = a = ( -1 1 ) , OB = b = ( -2 -1 )$ とする。次のベクトルを $a, b$ を用いて表し、また、成分表示せよ。

$DO$
$DA$
$AB$
$OC$
$BC$

平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとする。対角線上の点Oから頂点Aへ向かうベクトルaと、点Oから頂点Bへ向かうベクトルbが矢印で表されている。

解答を見る

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、 $O$ は対角線 $AC$ と対角線 $BD$ の中点である。よって

$OC = -OA = -a, OD = -OB = -b$

である。

$DO=-OD=-(-b)=b=(-2 -1 )$
$DA=OA-OD=a-(-b) =(arrayc-1 1 array)-(arrayc2 1 array)=(arrayc-3 0 array)$
$AB=OB-OA=b-a =(arrayc-2 -1 array)-(arrayc-1 1 array)=(arrayc-1 -2 array)$
$OC=-OA=-a =-(arrayc-1 1 array)=(arrayc1 -1 array)$
$BC=OC-OB=-a-b =-(arrayc-1 1 array)-(arrayc-2 -1 array)=(arrayc3 0 array)$

ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍の定義

$0$ でない $a$ と実数 $m$ に対し、 $a$ の $m$ 倍 $ma$ を次のように定める。

$m>0$ のとき

$a$ と同じ向きで、大きさが $|a|$ の $正 m正$ 倍のベクトル
$m<0$ のとき

$a$ と反対の向きで、大きさが $|a|$ の $正 |m|正$ 倍のベクトル
$m=0$ のとき

$0a=0$ と定める。

また、 $a=0$ のときは、任意の実数 $m$ に対して $m0=0$ と定める。

特に、 $m=1$ のときは $1$ を省略して書く。つまり $1a=a$ である。 $m$ が分数 $m=l/k$ のとき、 $(l/k)a$ を $la/k$ と書くこともある。

ベクトルの実数倍に関する計算法則

定理2ベクトルの実数倍に関する計算法則

ベクトルの実数倍の結合法則

$m(na) = (mn)a$
ベクトルの実数倍に対する分配法則

$(m + n)a = ma + na$
実数倍のベクトルに関する分配法則

$m(a + b) = ma + mb$

証明を見る

証明

たとえば上の図のように、 $3(2a)$ は $2a$ の向きを変えずに大きさを $3$ 倍したベクトルであるが、これは $a$ を向きを変えずに $6$ 倍したベクトルと等しい。つまり

$3(2a)=6a$

一般に、ベクトルの実数倍に関して

$m(na)=(mn)a$

が成り立つ。これらは同じベクトルを表すため区別する必要がないので、括弧を省略して単に $mna$ と書くこともある。
たとえば上の図のように、 $(3+2)a$ つまり $5a$ は、 $3a$ と $2a$ の和つまり $3a+2a$ と等しい。つまり

$(3+2)a=3a+2a$

一般に、ベクトルの実数倍に関して

$(m+n)a=ma+na$

が成り立つ。
たとえば上の図のように、 $a=OA$ と $b=OB$ で張られる平行四辺形 $OACB$ と、 $2.5a=OD$ と $2.5b=OE$ で張られる平行四辺形 $ODFE$ を考える。

このとき、平行四辺形 $OACB$ と平行四辺形 $ODFE$ は相似な図形となり、その相似比は $1:2.5$ となるので

$OF=2.5OC=2.5(a+b)$

となる。また、ベクトルの和から

$OF=OD+OE=2.5a+2.5b$

でもあるから

$2.5(a+b)=2.5a+2.5b$

が成り立つ。

一般に、ベクトルの実数倍に関して

$m(a+b)=ma+mb$

が成り立つ。

∎

問題3ベクトルの和、差、実数倍

次の図のようにベクトル $a, b, c$ をおくとき、次のベクトルを作図せよ。

$-(1/2)a$
$2a +c$
$2b - 3c$
$a + b +c$

同じ点を始点として3つのベクトルが矢印で伸びている。ベクトルaは真横の右向き。ベクトルbは右上向きで、右向きから反時計回りにおよそ55度。ベクトルcは左上向きで、右向きから反時計回りにおよそ145度。長さはaがいちばん短く、bはaのおよそ1.25倍、cはaのおよそ1.6倍である。

解答を見る

図示すると下図のようになる。
図示すると下図のようになる。
図示すると下図のようになる。
図示すると下図のようになる。

単位ベクトル

$|a| \neq 0$ である $a$ に対して、同じ向きの単位ベクトルは、 $a$ を自分自身の大きさで割った $(1/|a|)a$ となる。

問題4単位ベクトル

$|a| = 5$ のとき、 $a$ と同じ向きの単位ベクトルを $a$ を用いて表せ。
$b = ( 3 -4 )$ のとき、 $b$ と同じ向きの単位ベクトルを成分表示せよ。

解答を見る

$a$ と同じ向きの単位ベクトルは $(1/5)a$ である。
$b$ と同じ向きの単位ベクトルは $1/\sqrt(3² + (-4)²) ( arrayc 3 -4 array ) = 1/5 ・ ( arrayc 3 -4 array ) = ( arrayc 3/5 -4/5 array )$

成分表示された平面ベクトルの実数倍

$a = ( ax ay )$ とおくとき、次の図より

$ma = m ( ax ay ) = ( max may )$

となる。

また、 $|a| =\sqrtax ² + ay²$ だから、 $a = ( ax ay )$ と同じ向きの単位ベクトルの成分表示は、 $1\sqrtax² + ay² ( ax ay )$ となる。

xy平面上のベクトルaと、それを伸ばしたベクトルmaが描かれている。ベクトルaの成分a_x, a_yに対し、ベクトルmaの成分がma_x, ma_yになることが示されている。

問題5ベクトルの実数倍

$2(a + 2b) - (4a + b)$ を計算せよ
$(4a + 2b) - 2(2a + b)$ を計算せよ

解答を見る

$2(a + 2b) - (4a + b) = 2a + 4b - 4a - b = -2a + 3b$
$(4a + 2b) - 2(2a + b) = 4a + 2b - 4a - 2b = 0$

ベクトルの合成と分解

ベクトルの加法と減法で次の式を学習した。

$AB + BC =AC$ $OA - OB =BA$

このように2 つ以上のベクトルを1 つのベクトルで表現することをベクトルの合成という。

またこれらの式を逆にみて

$AC =AB + BC ①$

$BA =OA -OB ②$

1 つのベクトルを2 つ以上のベクトルで表現することをベクトルの分解という。

点Oから点Xに向かうベクトルOXに対し、点Oから点Aへ向かうベクトルOAと点Aから点Xへ向かうベクトルAXが描かれており、点Aに「寄り道できる」と添えられている。

$①$ では経由点として点 $B$ をとっているが、ベクトルの加法の定義を考えると、点 $B$ でなくても任意の点でかまわないことがわかる。つまり

$AC =A □ +□ C$

として、□には好きな点を経由点としてとってよい。

同様にして、 $②$ では始点として点 $O$ をとっているが、点 $O$ でなくても任意の点でかまわないことがわかる。

つまり

$BA =□ A -□ B$

として、□には好きな点を始点としてとってよい。

定理3ベクトルの合成と分解

合成 $A □ + □ B = AB$

$□ B - □ A = AB$
分解 $AB = A □ + □ B$

$AB = □ B -□ A$

問題6ベクトルの合成と分解

正六角形 $ABCDEF$ において、辺 $DE$ の中点を $M$ とし、線分 $AM$ の中点を $N$ 、辺 $BC$ の中点を $P$ とする。このとき、 $AM$ および $NP$ を、 $AB, AF$ を用いて表せ。

解答を見る

この正六角形の中心を $O$ とする。対角線 $AD$ は $O$ を通り、 $O$ によって二等分されるので $AD = 2AO$ であり、また $ABOF, ABCO, ABDE$ はいずれも平行四辺形であるので

$BO =AF, BC =AO =AB +AF, ED =AB$

である。

$AM =AD +DM = 2AO + (1/2)DE = 2(AB +BO) - (1/2)ED = 2(AB +AF) - (1/2)AB =(2 - 1/2) AB + 2AF =(3/2)AB + 2AF NP =AP -AN =(AB + BP - (1/2)AM) =AB + 1/2(AB + AF) - 1/2((3/2)AB + 2AF) =(1 + 1/2- 3/4)AB +(1/2- 1) AF =3/4AB - 1/2AF$

正六角形ABCDEFにおいて、頂点Aから伸びるベクトルAB、ベクトルAF、ベクトルAD、ベクトルAMや、点Nから点Pへ向かうベクトルNP、点Cから点Mへ向かうベクトルCMが描かれている。

ベクトルの平行条件

$0$ でない2 つのベクトル $a$ と $b$ の向きが同じか、または反対であるとき、 $a$ と $b$ は平行であるといい、 $a ∥ b$ と表す。

このとき、 $a = kb$ となる実数 $k$ が存在する。逆に、 $k \neq 0$ のとき、 $a = kb$ ならば $a ∥ b$ といえる。つまり

$a ∥ b \Leftrightarrow a = kb$ となる $k \in R$ が存在する

である。

また、成分表示された2 つのベクトル、 $a = ( ax ay )$ と $b = ( bx by )$ が平行であるとき

縦に成分a_x, a_yを持つベクトルと、成分b_x, b_yを持つベクトルが左右に並んでいる。a_xとb_yを結ぶ線に①、a_yとb_xを結ぶ線に②が添えられ、交差している。

$( ax ay ) = k ( bx by ) \Leftrightarrow ( ax ay ) = ( kbx kby )$ $\Leftrightarrow { ax = kbx ay = kby . \Leftrightarrow { k =ax/bx k =ay/by .$

より $(k =)ax/bx=ay/by$ 、つまり

$axby = aybx$

が成り立つ。この式は上の図のように、「① の積 = ②の積」と覚えておくとよい。

定理4ベクトルの平行条件

$0$ でない2 つのベクトル $a = ( ax ay ) , b = ( bx by )$ について

$となるが存在する a ∥ b \Leftrightarrow a = kbとなるk \in R が存在する \Leftrightarrow axby = aybx$

問題7ベクトルの平行条件

$a = ( -2 3 ) , b = ( 4 x )$ のとき、 $a$ と $b$ が平行であるように $x$ の値を定めよ。

解答を見る

ベクトルの平行条件 $axby = aybx$ を考えて

$(-2) ・ x = 3 ・ 4 \Leftrightarrow x = -6$

ベクトルの演算法則のまとめ

以上、ベクトルの加法、ベクトルの減法、ベクトルの実数倍に関して、次の計算法則が成り立つことをみてきた.

定理5ベクトルの和・差・実数倍に関する計算法則

ベクトルの和の交換法則 $a + b = b + a$
ベクトルの和の結合法則 $(a + b) +c = a + (b +c)$
ゼロベクトル $a + 0 = a$
逆ベクトル $a + (-a) = 0$
ベクトルの実数倍の結合法則 $m(na) = (mn)a$
ベクトルの実数倍に対する分配法則 $(m + n)a = ma + na$
実数倍のベクトルに関する分配法則 $m(a + b) = ma + mb$
実数倍の単位元 $1a = a$

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学B 第4章 ベクトルの定義と基本演算 — ベクトルの演算

ベクトルの加法

ベクトルの加法の定義

ベクトルの加法に関する計算法則

定理1ベクトルの加法に関する計算法則

逆ベクトルとゼロベクトル

成分表示された平面ベクトルの加法

問題1ベクトルの加法

ベクトルの減法

ベクトルの減法の定義

成分表示された平面ベクトルの減法

問題2ベクトルの減法

ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍の定義

ベクトルの実数倍に関する計算法則

定理2ベクトルの実数倍に関する計算法則

問題3ベクトルの和、差、実数倍

単位ベクトル

問題4単位ベクトル

成分表示された平面ベクトルの実数倍

問題5ベクトルの実数倍

ベクトルの合成と分解

定理3ベクトルの合成と分解

問題6ベクトルの合成と分解

ベクトルの平行条件

定理4ベクトルの平行条件

問題7ベクトルの平行条件

ベクトルの演算法則のまとめ

ベクトルの演算法則のまとめ

定理5ベクトルの和・差・実数倍に関する計算法則

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