いろいろな数学的帰納法の練習問題

Question 1

漸化式
cases
a1=2
an+1=2an/1+an
cases
\ (n=1,2,…)1ippankonokinoho1
で定められる数列の一般項 an を n の式で表せ．

Accepted Answer

漸化式 an+1=2an/1+an に n=1 を代入すると
a2=2a1/1+a1=2・2/1+2=4/3
また， n=2 を代入すると
a3=2a2/1+a2=2・4/31+4/3=8/7
また， n=3 を代入すると
a4=2a3/1+a3=2・8/71+8/7=16/15
となるので
an=2^n/2^n-12ippankonokinoho2
と推定できる．
以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．
(1) n=1 のとき
(2) n=m のとき( m はある自然数とする) ippankonokinoho2 が成り立つと仮定する，つまり
(1) 2. によって，数学的帰納法からすべての自然数 n について， ippankonokinoho2 は成り立つ．
よって ippankonokinoho1 の一般項は
an=2^n/2^n-1

Question 2

x+1/x=t とするとき，すべての自然数 n において
式 x^n+1/x^n は t の n 次多項式で表される 1takosikinokinoho1
ことを証明せよ．

Accepted Answer

(1) n=1 のとき
(2) n=m,m+1 のとき( m はある自然数とする) takosikinokinoho1 が成り立つと仮定する，つまり
(1) 2. によって，数学的帰納法からすべての自然数 n について， takosikinokinoho1 は成り立つ．
実際に問題を解く場面は，いきなり上記のようにきれいに書き始められるようなことはないと言ってよい．実際には n=1 成立を確認して， n=m 成立を仮定し n=m+1 成立を示そうとするのだが， n=m+1 成立を示そうとしたときに，前提条件が足りないことに気が付く．そこで n=m に加えて n=m+1 の場合も仮定した上で， n=m+2 の場合を証明するという発想に行き着くのである．

Question 3

次の式を満たす数列 {an} の一般項 an を n の式で表せ．
(Σk=1^nak)²=Σk=1^nak³,an0
(n=1,2,3,…)
1n=m+1no1
この問題は「証明せよ」ではないので，まず実験から答えを予想するところからはじめる．予想が立てば，それを証明してやるのだが， n=m+1 の場合の成立をいうのに， n=1,2,…,m-1,m の場合の成立を仮定する必要がある．

Accepted Answer

n=m+1no1 に n=1 を代入すると
(Σk=1^1ak)²=Σk=1^1ak³
⇔\ a1²=a1³
∴\ a1=1
また n=2 を代入すると
(Σk=1²ak)²=Σk=1²ak³
⇔\ (a1+a2)²=a1³+a2³
⇔\ (1+a2)²=1³+a2³
⇔\ a2³-a2²-2a2=0
⇔\ a2(a2+1)(a2-2)=0
∴\ a2=2
また n=3 を代入すると
(Σk=1³ak)²=Σk=1³ak³
⇔\ (a1+a2+a3)²=a1³+a2³+a3³
⇔\ (1+2+a3)²=1³+2³+a3³
⇔\ a3³-a3²-6a3=0
⇔\ a3(a3+2)(a3-3)=0
∴\ a3=3
となるので
an=n2n=m+1no2
と推定できる．
以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．
(1) n=1 のとき
(2) n≦ m ( m はある自然数とする)を満たす全ての n で， n=m+1no2 が成り立つと仮定する，つまり
(1) 2. によって，数学的帰納法からすべての自然数 n について， n=m+1no2 は成り立つ．
よって n=m+1no1 を満たす一般項 an は
an=n

数学B 第3章数学的帰納法 — いろいろな数学的帰納法

答えを推定してから数学的帰納法で証明する

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答えを推定してから数学的帰納法で証明する

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