数学B 第1章数列の一般項と和 — 補足

$an=n(n+1)$ 、 $an=n²$ タイプの数列の和

$Σk(k+1)$ ( $1$ ～ $n$ 項まで)の求め方

一般項 $an$ が

$an=n(n+1)$

で与えられる数列は、具体的に書くと

$［1］［2］［3］［4］［5］ 1・2,2・3,3・4,4・5,5・6,\dots$

となる。このように、『2 つの連続した数の積』で表される数列の、初項から第 $n$ 項までの和は次のような手順で求めることができる。

$STEP1$

$an=n(n+1)$ の2連続数に着目して、 $n,n+1$ の $続き "続き"$ である $n+2$ を $an$ に掛けたものから、 $n,n+1$ の $つ前 "1 つ前"$ である $n-1$ を $an$ に掛けたものを引く

$n(n+1)an(n+2)-(n-1)n(n+1)an$

$STEP2$

共通因数 $n(n+1)$ のかたまりを崩さないようにまとめ、 $n(n+1)$ について解く。

$n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) = n(n+1){(n+2)-(n-1)} = 3n(n+1)$

よって

$n(n+1)=1/3{n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1)}$

$STEP3$

この関係式を利用して、初項から第 $n$ 項までの和を、具体的に書き出してみる。

$Σk(k+1) =Σ[1/3{k(k+1)(k+2) -(k-1)k(k+1)}] =1/3Σ{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)} =(1/3)[(1・2・3-0・1・2) +(2・3・4-1・2・3) +(3・4・5-2・3・4)+\dots +{(n-1)n(n+1) -(n-2)(n-1)n} +{n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1)}]$

$STEP4$

相殺して消える部分ができるので、下のように消していくと、和が求まる。

Σk(k+1)の計算過程において、kに1からnまでを代入した展開式の中で互いに打ち消し合う項に斜線が引かれ、最終的に1/3 n(n+1)(n+2)が導かれる式変形が書かれている。

以上、まとめておこう。

定理12連続数の積の数列の和

$Σk(k+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)$

$Σk²$ ( $1$ ～ $n$ 項まで)の求め方

一般項 $an$ が

$an=n²$

で与えられる数列は、具体的に書くと

$［1］［2］［3］［4］［5］［6］ 1²,2²,3²,4²,5²,6²,\dots$

となる。このように、『 $an=n²$ 』で表される数列の、初項から第 $n$ 項までの和は次のような手順で求めることができる。

$STEP1$

2連続数の積の数列の和の公式

$Σk(k+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)$

を思い出す。

$STEP2$

左辺の $Σ$ の中の式を展開すると、 $k²+k$ になるから、 $k$ の項を右辺に移項する。

$Σ(k²+k)=(1/3)n(n+1)(n+2) \Leftrightarrow Σk²+Σk=(1/3)n(n+1)(n+2) \Leftrightarrow Σk²=(1/3)n(n+1)(n+2)-Σk$

$STEP3$

右辺の $Σk$ を計算し、共通因数でまとめると和の公式が求まる。

$で通分 Σk²=(1/3)n(n+1)(n+2)-Σk =(1/3)n(n+1)(n+2)-(1/2)n(n+1) =(1/6)2n(n+1)(n+2)-(1/6)3n(n+1) ↑1/6で通分 =(1/6)n(n+1){2(n+2)-3} =(1/6)n(n+1)(2n+1)$

以上、まとめておこう。

定理2一般項が $an=n²$ の数列の和

$Σk²=(1/6)n(n+1)(2n+1)$

$an=n(n+1)(n+2)$ 、 $an=n³$ タイプの数列の和

$Σk(k+1)(k+2)$ ( $1$ ～ $n$ 項まで)の求め方

一般項 $an$ が

$an=n(n+1)(n+2) ①$

で与えられる数列は、具体的に書くと

$［1］［2］［3］［4］ 1・2・3,2・3・4,3・4・5,4・5・6,\dots$

となる。

この $①$ のように、『3つの連続した数の積』で表される数列の、初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる。

$STEP1$

$an=n(n+1)(n+2)$ の3連続数に着目して、 $n,n+1,n+2$ の $続き "続き"$ である $n+3$ を $an$ に掛けたものから、 $n,n+1,n+2$ の $つ前 "1つ前"$ である $n-1$ を $an$ に掛けたものを引く

$n(n+1)(n+2)an(n+3) -(n-1)n(n+1)(n+2)an$

$STEP2$

共通因数 $n(n+1)(n+2)$ のかたまりを崩さないようにまとめ、 $n(n+1)(n+2)$ について解く。

$n(n+1)(n+2)(n+3) -(n-1)n(n+1)(n+2) =n(n+1)(n+2){(n+3)-(n-1)} =4n(n+1)(n+2)$

よって

$n(n+1)(n+2) =1/4{n(n+1)(n+2)(n+3) -(n-1)n(n+1)(n+2)}$

$STEP3$

この関係式を利用して、初項から第 $n$ 項までの和を、具体的に書き出してみる。

$Σk(k+1)(k+2) =Σ[1/4{k(k+1)(k+2)(k+3) -(k-1)k(k+1)(k+2)}] =1/4Σ{k(k+1)(k+2)(k+3) -(k-1)k(k+1)(k+2)} =(1/4)[(1・2・3・4-0・1・2・3) +(2・3・4・5-1・2・3・4) +(3・4・5・6-2・3・4・5)+\dots +{(n-1)n(n+1)(n+2) -(n-2)(n-1)n(n+1)} +{n(n+1)(n+2)(n+3) -(n-1)n(n+1)(n+2)}]$

$STEP4$

相殺して消える部分ができるので、下のように消していくと、和が求まる。

k=1からnまでのシグマk(k+1)(k+2)を展開し、1・2・3・4などの同じ値の積に斜線を引いて打ち消し合わせることで、最後に1/4 n(n+1)(n+2)(n+3)が残る計算過程が書かれている。

以上、まとめておこう。

定理33連続数の積の数列の和

$Σk(k+1)(k+2) =(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)$

$Σk³$ ( $1$ ～ $n$ 項まで)の求め方

一般項 $an$ が

$an=n³ ②$

で与えられる数列は、具体的に書くと

$［1］［2］［3］［4］［5］［6］ 1³,2³,3³,4³,5³,6³,\dots$

となる。

この $②$ のように、『 $an=n³$ 』で表される数列の、初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる。

$STEP1$

3連続数の積の数列の和の公式

$Σk(k+1)(k+2) = (1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)$

を思い出す。

$STEP2$

左辺の $Σ$ の中の式を展開すると、 $k³+3k²+2k$ になるから、 $3k²+2k$ の項を右辺に移項する。

$Σ(k³+3k²+2k) =(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) \Leftrightarrow Σk³+Σ(3k²+2k) =(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) \Leftrightarrow Σk³=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) -Σ(3k²+2k) \Leftrightarrow Σk³=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) -3Σk²-2Σk$

$STEP3$

右辺の $Σk²$ と $Σk$ を計算し、共通因数でまとめると和の公式が求まる。

$で通分 Σk³ =(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) -3・(1/6)n(n+1)(2n+1)-2・(1/2)n(n+1) =(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) -(1/2)n(n+1)(2n+1)-n(n+1) =(1/8)2n(n+1)(n+2)(n+3) -(1/8)4n(n+1)(2n+1)-(1/8)8n(n+1) ↑1/8で通分 =(1/8)n(n+1) {2(n+2)(n+3)-4(2n+1)-8} =(1/8)n(n+1){2(n²+5n+6)-8n-4-8} =(1/8)n(n+1){2n²+10n+12-8n-4-8} =(1/8)n(n+1){2n²+2n} =(1/8)n(n+1){2n(n+1)} =(1/4)n²(n+1)²$

以上、まとめておこう。

定理4一般項が $an=n³$ の数列の和

$Σk³=(1/4)n²(n+1)²$

$Σk³=(Σk)²$ と覚えるとよい。

$an=n(n+1)(n+2) \dots{n+(m-1)}$ ( $m$ 個)と $an=n^m$ タイプの数列の和

2連続数の積・3連続数の積で見た方法の発展形として、次のような数列を考えてみよう。

数列 1・2・3・・・(m-1)・m、2・3・4・・・m・(m+1)、3・4・5・・・(m+1)・(m+2) の各項の上に、順に「1番目」「2番目」「3番目」と示されている。

$③$

$③$ の数列は、各項の1番左側に着目すると、“初項1、公差1の等差数列”になっている。また、各項の左から2番目だけに着目すると、“初項2、公差1の等差数列”になっている。 $\dots$ 。最後に、各項の一番右側だけに着目すると、“初項 $m$ 、公差1の等差数列”になっている。よって、一般項 $an$ は

$個の連続数の積 an=n(n+1)(n+2)\dots(n+(m-1))^m個の連続数の積$

と表すことができる。

この $③$ の数列のように、『 $m$ 個の連続数の積』で表される数列の初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる。

$STEP1$

$an=n(n+1)(n+2)\dots(n+(m-1))$ の $m$ 連続数に着目して、 $n,n+1,n+2,\dots,n+(m-1)$ の $続き "続き"$ である $n+m$ を $an$ に掛けたものを下のように書く。

$n(n+1)(n+2)\dots(n+(m-1))(n+m)$

$STEP2$

同じく $n,n+1,n+2,\dots,n+(m-1)$ の $つ前 "1つ前"$ である $n-1$ を $an$ に掛けたものを引く。

$n(n+1)(n+2)\dots(n+(m-1))(n+m) -(n-1)n(n+1)(n+2)\dots(n+(m-1))$

$STEP3$

共通因数 $n(n+1)(n+2)\dots(n+(m-1))$ のかたまりを崩さないようにまとめる。

$係数n(n+1)(n+2)…(n+(m-1))(n+m) -(n-1)n(n+1)(n+2) …(n+(m-1)) =n(n+1)(n+2)…(n+(m-1)) {(n+m)-(n-1)} =(m+1)^係数n(n+1)(n+2)…(n+(m-1))$

$STEP4$

式全体を $m+1$ で割ることによって、右辺の $n(n+1)(n+2)\dots(n+(m-1))$ について解く。

$n(n+1)(n+2)\dots(n+(m-1)) =1/(m+1){n(n+1) \dots(n+(m-1))(n+m) -(n-1)n(n+1)\dots(n+(m-1))}$

$STEP5$

右辺の式を利用して、初項から第 $n$ 項までの和を、具体的に書き出してみる。

$Σk(k+1)\dots(k+(m-1)) =Σ[1/(m+1){k(k+1) \dots(k+(m-1))(k+m) -(k-1)k(k+1)\dots(k+(m-1))}] =1/(m+1)Σ{k(k+1) \dots(k+(m-1))(k+m) -(k-1)k(k+1)\dots(k+(m-1))} =1/(m+1){(1・2\dots m(m+1)-0・1\dots m) +(2・3\dots(m+1)(m+2)-1 ・2\dots(m+1))+\dots +(n(n+1)\dots(n+(m-1))(n+m) -(n-1)n\dots(n+(m-1)))}$

$STEP6$

相殺して消える部分ができるので、下のように消していくと、和が求まる。

k=1からnまでのシグマk(k+1)(k+2)…(k+(m-1))を展開し、1・2・3…mなどの同じ値の積に斜線を引いて打ち消し合わせることで、最後に1/(m+1) n(n+1)(n+2)…(n+m)が残る計算過程が書かれている。

まとめておこう。

定理5 $m$ 連続数の積の数列の和

$Σk(k+1)(k+2)\dots(k+(m-1)) =(1/(m+1))n(n+1)(n+2)\dots(n+m)$

なお、 $an=n^m$ タイプの数列の和も、この定理から求めることができる。 $m$ 連続数の積を展開すると、最高次の項は $k^m$ で、残りは $k^m-1$ 以下の項になる。よって、 $Σ k²$ 、 $Σ k³$ のときと同じように、右辺から次数の低い項の和を引けばよい（次数の低いものから順に求めていく）。

たとえば $m=4$ のときは、 $k(k+1)(k+2)(k+3)=k⁴+6k³+11k²+6k$ であるから

$Σk⁴ =(1/5)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) -6Σk³-11Σk²-6Σk =(1/30)n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)$

となる。

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学B 第1章 数列の一般項と和 — 補足

an=n(n+1)、 an=n²タイプの数列の和

Σk(k+1)(1～n項まで)の求め方

定理12連続数の積の数列の和

Σk²(1～n項まで)の求め方

定理2一般項が an=n² の数列の和

an=n(n+1)(n+2)、 an=n³タイプの数列の和

Σk(k+1)(k+2) (1～n項まで)の求め方

定理33連続数の積の数列の和

Σk³(1～n項まで)の求め方

定理4一般項が an=n³ の数列の和

an=n(n+1)(n+2) …{n+(m−1)} (m個)と an=n^mタイプの数列の和

an=n(n+1)(n+2) …{n+(m−1)} (m個)と an=n^mタイプの数列の和

定理5m 連続数の積の数列の和

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数学B 第1章数列の一般項と和 — 補足

$an=n(n+1)$ 、 $an=n²$ タイプの数列の和

$Σk(k+1)$ ( $1$ ～ $n$ 項まで)の求め方

$Σk²$ ( $1$ ～ $n$ 項まで)の求め方

定理2一般項が $an=n²$ の数列の和

$an=n(n+1)(n+2)$ 、 $an=n³$ タイプの数列の和

$Σk(k+1)(k+2)$ ( $1$ ～ $n$ 項まで)の求め方

$Σk³$ ( $1$ ～ $n$ 項まで)の求め方

定理4一般項が $an=n³$ の数列の和

$an=n(n+1)(n+2) \dots{n+(m-1)}$ ( $m$ 個)と $an=n^m$ タイプの数列の和

$an=n(n+1)(n+2) \dots{n+(m-1)}$ ( $m$ 個)と $an=n^m$ タイプの数列の和

定理5 $m$ 連続数の積の数列の和