数学B 第1章数列の一般項と和 — $Σ$ 記号

$Σ$ 記号の定義

ここで，数列の和を表すのに便利な記号 $Σ$ を導入する

定義1 $Σ$ 記号の定義

数列 ${an}$ の初項から，第 $n$ 項までの和 $a1+a2+a3+\dots+an-1+an$ を， $Σ$ 記号を用いて

$a1+a2+a3+\dots+an-1+an=Σk=1ak$

と表す．

つまり， $Σk=1ak$ とは， $ak$ において， $k=1,2,3,\dots,n-1,n$ として得られるすべての項 $a1,a2,a3,\dots,an-1,an$ の和であると定義する．文字 $k$ の代わりに， $i,j$ などを用いてもよい．

また， $a1$ ではなく $a2$ からの和を表したいときには， $Σk=2ak$ と書けばよい．つまり

$Σk=2ak=a2+a3+\dots+an-1+an$

である．

$Σ$ 記号に慣れる

まずは $Σ$ 記号に慣れるために，例題をみていくことにしよう．

問題1 $Σ$ 記号の練習～その１～

次の和を， $Σ$ 記号を用いずに表せ(計算はしなくてよい)．

$Σ(2k-1)$
$Σ3k²$
$Σ3$
$Σ3^j$
$Σ(2n-1)$

解答を見る

$k$ に $1,2,3$ を代入して足すので $1+3+5$
$k$ に $2,3,4$ を代入して足すので $3・2²+3・3²+3・4²$
$i$ が変わっても中身は $3$ のままなので， $3$ を $n$ 個足して $3+3+3+\dots+3$
$j$ に $1,2,3,\dots,n$ を代入して足すので $3¹+3²+3³+\dots+3^n$
足し合わせる文字は $k$ であり， $n$ は $k$ に無関係なので，中身は変わらない．よって $2n-1$ を $3$ 個足して $(2n-1)+(2n-1)+(2n-1)$

4.と5.のちがいに注意しよう

次に数列の和を $Σ$ 記号に書き直してみよう．

問題2 $Σ$ 記号の練習～その２～

次の和を， $Σ$ 記号を用いて表せ．

$1²+2²+3²+\dots+7²$
$3+5+7+\dots+(2n+1)$
$3+3+3+\dots+3$ (3は全部で $n$ 個あるとする)
$1・3+2・4+3・5+4・6+5・7$

$Σ$ 記号に書き直すときには，まずは数列の一般項を求めるとよい．そうすれば数列の和が

$最初の項番号最後の項番号一般項 Σ(一般項)$

と表現することが出来るようになる．

解答を見る

一般項が $k²$ で， $k$ が $1$ から $7$ まで動くから $Σk²$
一般項が $2k+1$ で， $k$ が $1$ から $n$ まで動くから $Σ(2k+1)$
一般項が $3$ で， $k$ が $1$ から $n$ まで動くから $Σ3$
一般項が $k(k+2)$ で， $k$ が $1$ から $5$ まで動くから $Σk(k+2)$

問題3 $Σ$ 記号の練習～その３～

次の和はどれも同じことを表現していることを確認せよ．

$Σ2^k$
$Σ2^k-1$
$Σ(2・2^i-1)$

解答を見る

$Σ$ 記号から数列の和に書き下して同一であることを確かめればよい．和はそれぞれ

$k$ に $1,2,\dots,n$ を代入して $2¹+2²+\dots+2^n$
$k$ に $2,3,\dots,n+1$ を代入して $2^2-1+2^3-1+\dots+2^(n+1)-1=2¹+2²+\dots+2^n$
$i$ に $1,2,\dots,n$ を代入して $2・2⁰+2・2¹+\dots+2・2^n-1=2¹+2²+\dots+2^n$

となり，どれも $2¹+2²+\dots+2^n$ を表している．

$Σ$ の性質

$Σ$ を導入した理由は，数列の和を簡単に取り扱うためであった．つまり，

$3+1,6+4,9+9,\dots,3n+n² ①$

のような等差数列でも等比数列でもない数列についても和を考えやすくするためである．その際，よく利用される $Σ$ の計算法則があるので，まずはその計算法則を確認しよう． $Σ$ 記号に関して，次のことが成り立つ．

定理2 $Σ$ 記号の性質

$Σ(ak+bk)=Σak+Σbk$
$は定数 Σcak=cΣak (cは定数)$

証明

$Σ(ak+bk) = (a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3) +\dots+(an-1+bn-1)+(an+bn) = (a1+a2+a3+\dots+an-1+an) +(b1+b2+b3+\dots+bn-1+bn) = Σak+Σbk$
$Σcak = ca1+ca2+ca3+\dots+can-1+can = c(a1+a2+a3+\dots+an-1+an) = cΣak$

この性質を利用すると，数列 $①$ の第 $n$ 項までの和は

$Σ(3k+k²)=3Σk+Σk²$

と簡単にすることができる．

あとは $Σk$ や $Σk²$ がわかれば，数列 $①$ の和を求めることができるわけであるが，これら $Σk$ や $Σk²$ については次の $Σ$ 記号の公式 でまとめて学習することにしよう．

∎

$Σ$ 記号の公式

複雑な数列の和が計算できるように，ここでは $Σ$ 記号の公式を学んでいこう．

暗記1基本的な $Σ$ の計算～その１～

次の数列の和を求めよ．ただし， $c$ は定数とする．

$Σc$
$Σk$

解答を見る

$c$ を $n$ 個足すのだから $個 Σc=c+c+\dots+cn個=nc$
$1$ から $n$ までの和である．この和を $S$ とおき，同じ和を逆順に並べて足すと

$S=1+2+\dots+n +)S=n+(n-1)+\dots+1 2S=(n+1)+(n+1)+\dots+(n+1)$

となり， $(n+1)$ が $n$ 個並ぶので $2S=n(n+1)$ ．よって $Σk=(1/2)n(n+1)$

暗記2基本的な $Σ$ の計算～その２～

等式

$k(k+1)=1/3{k(k+1)(k+2) -(k-1)k(k+1)}$

を利用して

$Σk²=(1/6)n(n+1)(2n+1)$

を証明せよ．

解答を見る

$等式を利用した数列を書き下すことにより項が相殺して消えていくことがわかる Σk(k+1) = Σ[1/3{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}] （注）等式を利用した = 1/3Σ{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)} = 1/3[ (1・2・3-0・1・2) +(2・3・4-1・2・3) +(3・4・5-2・3・4) +\dots +{(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n} +{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}] （注）数列を書き下すことにより項が相殺して消えていくことがわかる = (1/3)n(n+1)(n+2)$

なので

$Σk(k+1)=(1/3)n(n+1)(n+2) \Leftrightarrow Σ(k²+k)=(1/3)n(n+1)(n+2) \Leftrightarrow Σk²+Σk=(1/3)n(n+1)(n+2) \Leftrightarrow Σk²=(1/3)n(n+1)(n+2)-Σk$

よって

$で通分した Σk²=(1/3)n(n+1)(n+2)-Σk =(1/3)n(n+1)(n+2)-(1/2)n(n+1) =(1/6)2n(n+1)(n+2)-(1/6)3n(n+1) （注）1/6で通分した =(1/6)n(n+1){2(n+2)-3} =(1/6)n(n+1)(2n+1)$

定理3自然数の累乗の和

数列の和に関して，次の式がなりたつ．

$Σc=nc$
$Σk=(1/2)n(n+1)$
$Σk²=(1/6)n(n+1)(2n+1)$
$Σk³={(1/2)n(n+1)}²$

問題4 $Σ$ の計算

次の数列の和を求めよ．

$Σk(k+1)$
$Σ(2k+1)²$

解答を見る

展開してから公式を使うと $Σk(k+1)=Σ(k²+k) =Σk²+Σk =(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1) =(1/6)n(n+1){(2n+1)+3} =(1/3)n(n+1)(n+2)$
同じように展開してから公式を使うと $Σ(2k+1)²=Σ(4k²+4k+1) =4Σk²+4Σk+Σ1 =(2/3)n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n =(1/3)n{2(n+1)(2n+1)+6(n+1)+3} =(1/3)n(4n²+12n+11)$

等比数列の $Σ$ 計算

$c$ は定数として， $の次式 Σc^(kの1次式)$ タイプの和は，すべて等比数列の和として求めることができる．

問題5等比数列の $Σ$ 計算

次の数列の和を求めよ．

$Σ3^k$
$Σ3^k$
$Σ3^k$
$Σ3^k-1$
$Σ3^2k-1$

解答を見る

$個 Σ3^k=3¹+3²+3³+\dots+3^nn個 =3(1-3^n)/(1-3)=3(3^n-1)/2$
$個 Σ3^k=3¹+3²+3³+\dots+3^n-1n-1個 =3(1-3^n-1)1-3=3(3^n-1-1)2$
$個 Σ3^k=3²+3³+3⁴+\dots+3^n-1n-2個 =3²(1-3^n-2)1-3=9(3^n-2-1)2$
$個と同じ答えである Σ3^k-1=3¹+3²+3³+\dots+3^n-1n-1個 =3(1-3^n-1)1-3=3(3^n-1-1)2 （注） 2. と同じ答えである$
$個 Σ3^2k-1=3¹+3³+3⁵+\dots+3^2n-1n個 =3+3・9+3・9²+\dots+3・9^n-1 =3(1-9^n)/(1-9)=3(9^n-1)/8$

最終更新: 2026-08-12

この節についてAIに質問する

この節に書かれている内容だけを根拠に答えます。個人情報は書かないでください。

質問の内容

数学B 第1章 数列の一般項と和 — Σ記号

Σ記号の定義

Σ記号の定義

定義1Σ 記号の定義

Σ記号に慣れる

問題1Σ 記号の練習～その１～

問題2Σ 記号の練習～その２～

問題3Σ 記号の練習～その３～

Σの性質

Σの性質

定理2Σ 記号の性質

Σ記号の公式

Σ記号の公式

暗記1基本的な Σ の計算～その１～

暗記2基本的な Σ の計算～その２～

定理3自然数の累乗の和

問題4Σ の計算

等比数列のΣ計算

問題5等比数列の Σ 計算

この節についてAIに質問する

数学B 第1章数列の一般項と和 — $Σ$ 記号

$Σ$ 記号の定義

$Σ$ 記号の定義

定義1 $Σ$ 記号の定義

$Σ$ 記号に慣れる

問題1 $Σ$ 記号の練習～その１～

問題2 $Σ$ 記号の練習～その２～

問題3 $Σ$ 記号の練習～その３～

$Σ$ の性質

$Σ$ の性質

定理2 $Σ$ 記号の性質

$Σ$ 記号の公式

$Σ$ 記号の公式

暗記1基本的な $Σ$ の計算～その１～

暗記2基本的な $Σ$ の計算～その２～

問題4 $Σ$ の計算

等比数列の $Σ$ 計算

問題5等比数列の $Σ$ 計算