Σ記号の練習問題（全7問・解答つき）

1. k に 1,2,3 を代入して足すので 1+3+5

2. k に 2,3,4 を代入して足すので 3・2²+3・3²+3・4²

3. i が変わっても中身は 3 のままなので， 3 を n 個足して 3+3+3+…+3

4. j に 1,2,3,…,n を代入して足すので 3¹+3²+3³+…+3^n

5. 足し合わせる文字は k であり， n は k に無関係なので，中身は変わらない．よって 2n-1 を 3 個足して (2n-1)+(2n-1)+(2n-1)

   4.と5.のちがいに注意しよう

次に数列の和を Σ 記号に書き直してみよう．

1. 一般項が k² で， k が 1 から 7 まで動くから Σk²
2. 一般項が 2k+1 で， k が 1 から n まで動くから Σ(2k+1)
3. 一般項が 3 で， k が 1 から n まで動くから Σ3
4. 一般項が k(k+2) で， k が 1 から 5 まで動くから Σk(k+2)

Σ 記号から数列の和に書き下して同一であることを確かめればよい．和はそれぞれ

1. k に 1,2,…,n を代入して 2¹+2²+…+2^n
2. k に 2,3,…,n+1 を代入して 2^2-1+2^3-1+…+2^(n+1)-1=2¹+2²+…+2^n
3. i に 1,2,…,n を代入して 2・2⁰+2・2¹+…+2・2^n-1=2¹+2²+…+2^n

となり，どれも 2¹+2²+…+2^n を表している．

となり，同じことを表現している．

1. 展開してから公式を使うと Σk(k+1)=Σ(k²+k) =Σk²+Σk =1/6n(n+1)(2n+1)+1/2n(n+1) =1/6n(n+1){(2n+1)+3} =1/3n(n+1)(n+2)
2. 同じように展開してから公式を使うと Σ(2k+1)²=Σ(4k²+4k+1) =4Σk²+4Σk+Σ1 =2/3n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n =1/3n(4n²+12n+11)