数学B 第1章 数列の一般項と和 — 等比数列

1. 初項が2、公比が3の等比数列であり、第 n 項(一般項)は初項 a1 に公比 r を n-1 回かけることによって求められるので

   

   an=2・3^n-1

   また、第10項は a10=2・3⁹=39366 である。

2. 初項が81、公比が -1/3 の等比数列だから

   

   an=81(-1/3)^n-1

   また、第10項は a10=81(-1/3)⁹=-1/243 である。

1. 等比数列は公比が一定であるので、条件からまず公比を求めよう。初項から第4項までは、公比が(4-1=)3回掛けられるので、公比を r とすると

   

   a1r³=a4 ⇔ r³=a4/a1=(-54)/2=-27 ∴r=-3

   よって、 an=2(-3)^n-1 となる。

   【別解】

   等比数列の一般項は an=a1r^n-1 として与えられるので、問題の条件から a1 と r の連立方程式を立てることができる。初項を a 、公比を r とすると

   a1=a=2 a4=ar³=-54

   となる。これらを連立させて解くと

   a=2,r=-3

   よって、 an=2(-3)^n-1 となる。

2. 第3項から第7項までは、公比が(7-3=)4回かけられるので、公比を r とすると

   a3r⁴=a7 ⇔ r⁴=a7/a3=3/64÷3/4=1/16 ∴r=±1/2

   r⁴=1/16 を満たす実数 r は 1/2 と -1/2 の2つあるので、答えも2つになる。第3項から第 n 項までは、公比の n-3 乗がかかるので、

   an=a3r^n-3 =3/4(±1/2)^n-3 =3(1/2)^n-1,3(-1/2)^n-1

   【別解】

   初項を a 、公比を r とすると

   第3項が 3/4 であるから ar²=3/4

   第7項が 3/64 であるから ar⁶=3/64

   となる。これらを連立させて解くと

   a=3,r=±1/2

   よって、 an=3(±1/2)^n-1 となる。

1. 初項が2、公比が3の等比数列だから、初項から第 n 項までの和 Sn は

   

   Sn=2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1

   また、 S6=3⁶-1=728 である。

2. 初項が81、公比が -1/3 の等比数列だから、初項から第 n 項までの和 Sn は

   

   Sn=(81{1-(-1/3)^n})/(1-(-1/3)) =243/4{1-(-1/3)^n}

   また

   S6=243/4{1-(-1/3)⁶} =243/4(1-1/729) =182/3

金額は万円を単位として考える。毎年の元利がいくらになるかを考えると

1年目 100×1.03 2年目 (100+100×1.03)×1.03 =100×1.03+100×1.03² 10年目 100×1.03+100×1.03²+100×1.03³ +…+100×1.03¹⁰

これは初項 100×1.03 、公比 1.03 、項数 10 の等比数列の和なので

S10=100×1.03(1.03¹⁰-1)1.03-1 =100×1.03(1.34-1)/(1.03-1) =100×1.03×0.34/0.03 ≒1167

よって、元利合計は約 1167 万円、すなわち S≒11670000 (円)である。