数学B 第2章 漸化式 — 線形2項間漸化式: an+1=pan+q
線形2項間漸化式の解法
線形2項間漸化式
次の問題について考えてみよう。
問題1線形2項間漸化式～その１～
a1=1,an+1=3an+2 (n≧1) で定まる数列 {an} の一般項 an を n の式で表せ。
まず、上の式の n に n=1,2,3,4,5,6,…,n を代入し、具体的に数列を書き並べてみると
n:123456…n {an}:151753161485…［?］
となるが、数列 {an} は等差数列でも等比数列でもないので、 ［?］ の部分はすぐにはわからない。
等比数列の漸化式に帰着させる（2項間）
漸化式
an+1=3an+2 ①
において注目すべきは an の係数(=3)である。具体的に数列を書き並べていくと、数列 {an} は約3倍ずつ増えていっていることがわかるだろう。
しかしさきほど述べたように、純粋に3倍されているわけではないので等比数列ではない。原因は漸化式 ① で定数(=2)が加えられているためである。そこで、この定数をうまく消去して、最終的に等比数列の性質から一般項を求める方針で考えてみよう。
定数(=2)を消去するために、 an+1 と an を x に置きなおした等式を考える.
x=3x+2 ②
① と ② の式を並べて引き算する。
an+1=3an+2 -)x=3x+2 an+1-x=3(an-x)
これで定数部分を消去することができた。
また、 an-x=bn と置きなおすと、 bn+1=3bn となることからもわかるように、等比数列の漸化式に帰着することができた。
あとは ② を解いて x=-1 を得るから、これを an+1-x=3(an-x) に代入して
an+1+1=3(an+1)
となり、数列 {an+1} は初項 a1+1=2 、公比3の等比数列であることがわかる。よって an+1=2・3^n-1 となるから
an=2・3^n-1-1
と求められる。実際、 n=1,2,3 とすると順に1、5、17となり、はじめに書き並べた数列と一致する。これで ［?］ の部分が埋まったことになる。
線形2項間漸化式の解法
問題2線形2項間漸化式～その２～
a1=1,an+1=4an+6 (n≧1) で定まる数列 {an} の一般項 an を n の式で表せ。
解答を見る
漸化式
an+1=4an+6
から、式
x=4x+6 ①
を辺々ひくと
an+1-x=4(an-x) ②
ここで、 ① を解くと
x=4x+6 ⇔ -3x=6 ∴x=-2
となるから、 ② の x にこの値を代入し
an+1-(-2)=4{an-(-2)} ↑ an+1-α=p(an-α) ∴an+1+2=4(an+2)
を得る。
これは、数列 {an+2} が、初項 (a1+2)=3 、公比4の等比数列であることを表している。
よって
an+2=(a1+2)・4^n-1 ∴an=3・4^n-1-2
定理1線形2項間漸化式の解法
p,q は定数で、 p≠1 とする。
STEP1
漸化式 an+1=pan+q から方程式 x=px+q をつくる。
STEP2
漸化式 an+1=pan+q から方程式 x=px+q を引き
an+1-x=p(an-x)
を得る。
STEP3
方程式の解 α を求め、 STEP2 で得られた漸化式に代入する。
an+1-α=p(an-α)
STEP4
等比数列の公式を用いて、漸化式を解き、 an を求めれば完成。
an+1-α=p(an-α) ∴an-α=(a1-α)p^n-1 ↑等比数列の一般項の公式を用いた
よって、 an=(a1-α)p^n-1+α となる。
最終更新: 2026-08-20
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