数学B 第1章 数列の一般項と和 — 等比数列

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等比数列の一般項

等比数列の定義

初項aに順次，一定の数 r (公比(common ratio)という)をかけて得られる数列のことを等比数列(geometric sequence)という．具体的に書き表すと

となる．

また，等比数列は漸化式を用いて

a1=a an+1=anr (n=1,2,3,…) ①

と表すこともできる．

試しに，この漸化式 ① の n に 1,2,3 を代入すると，確かに ar,ar²,ar³ が作られるのがわかる．

なお，次のような数列も等比数列となることに注意しておこう．

a,0,0,0,… (初項 a ，公比 0 の等比数列)

a,a,a,a,… (初項 a ，公比 1 の等比数列)

等比数列の一般項

この等比数列の第 n 項つまり一般項 an は

「初項から第 n 項までには r を n-1 個かける」

と考えて

an=ar^n-1

となるのはすぐにわかるだろう．

また，漸化式 (1) から一般項 an を求める方法もみておこう．

STEP1

漸化式 (1) の n に 1,2,3,…,n-2,n-1 を代入し，得られる式を縦に並べておく．

a2=a1r a3=a2r ⋮ an-1=an-2r an=an-1r

STEP2

すべての式の辺々を掛け合わせると， a2,a3,…,an-1 が打ち消される．

a2=a1r a3=a2r ⋮ an-1=an-2r an=an-1r an=a1r^n-1

よって， a1=a に注意して，次式を得る．

an=ar^n-1

等比数列の和

等比数列の和の求め方

ここでは，等比数列の初項 a から第 n 項までの和 Sn を求めてみよう． r≠1 のときは次のようになる．

STEP1

等比数列の一般項 an=a1r^n-1 に， 1,2,3,…,n-2,n-1,n を代入して足し合わせる式を書く．

［1］［2］［3］ Sn=a+ar+ar² ［n-2］［n-1］［n］ +…+ar^n-3+ar^n-2+ar^n-1

STEP2

この式の辺々 r 倍した式を書く．

［1］［2］［3］ rSn=ar+ar²+ar³ ［n-2］［n-1］［n］ +…+ar^n-2+ar^n-1+ar^n

STEP3

上の2 つの式を並べる．このとき， r 倍した式の方を右に1段ずらして書いておく．

STEP4

上の式から下の式を引く．そのとき，各項のかたまりを崩さないようにする．

r≠1 ならば，この式の両辺を 1-r で割ることができるので， (1-r)Sn=a(1-r^n) より

Sn=a(1-r^n)/(1-r) (=a(r^n-1)/(r-1))

を得る．

また， r=1 のときは， Sn=n個a+a+a+…+a+a=an となる．

以上，まとめておこう．

問題3等比数列の和～その１～

次の等比数列 {an} の初項から第 n 項までの和 Sn を求めよ．また， S6 を求めよ．

1. 2,6,18,54,162,…
2. 81,-27,9,-3,1,…

解答を見る

初項が2，公比が3の等比数列だから，初項から第 n 項までの和 Sn は

Sn=2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1

また， S6=3⁶-1=728 である．

初項が81，公比が -1/3 の等比数列だから，初項から第 n 項までの和 Sn は

Sn=(81{1-(-1/3)^n})/(1-(-1/3)) =243/4{1-(-1/3)^n}

また

S6=243/4{1-(-1/3)⁶} =243/4(1-1/729) =182/3

最終更新: 2026-08-09