数学B 第1章 数列の一般項と和 — 等比数列

等比数列の一般項

等比数列の定義

初項aに順次，一定の数 (公比(common ratio)という)をかけて得られる数列のことを等比数列(geometric sequence)という．具体的に書き表すと

となる．

また，等比数列は漸化式を用いて

と表すこともできる．

試しに，この漸化式 の に を代入すると，確かに が作られるのがわかる．

なお，次のような数列も等比数列となることに注意しておこう．

(初項 ，公比 の等比数列)

(初項 ，公比 の等比数列)

初項 の条件は必須であることに注意しよう．

等比数列の一般項

この等比数列の第 項つまり一般項 は

「初項から第 項までには を 個かける」

と考えて

となるのはすぐにわかるだろう．

また，漸化式 から一般項 を求める方法もみておこう．

STEP1

漸化式 の に を代入し，得られる式を縦に並べておく．

STEP2

すべての式の辺々を掛け合わせると， が打ち消される．

よって， に注意して，次式を得る．

等比数列の和

等比数列の和の求め方

ここでは，等比数列の初項 から第 項までの和 を求めてみよう． のときは次のようになる．

STEP1

等比数列の一般項 に， を代入して足し合わせる式を書く．

STEP2

この式の辺々 倍した式を書く．

STEP3

上の2 つの式を並べる．このとき， 倍した式の方を右に1段ずらして書いておく．

STEP4

上の式から下の式を引く．そのとき，各項のかたまりを崩さないようにする．

ならば，この式の両辺を で割ることができるので， より

を得る．

また， のときは， となる．

以上，まとめておこう．

問題3等比数列の和～その１～

次の等比数列 の初項から第 項までの和 を求めよ．また， を求めよ．

解答を見る

初項が2，公比が3の等比数列だから，初項から第 項までの和 は

また， である．

初項が81，公比が の等比数列だから，初項から第 項までの和 は

また

元記事: http://www.ftext.org/text/section/144（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-07