数学B 第2章漸化式 — 分数漸化式: $an+1=(pan+q)/(ran+s)$

分数漸化式の解法

分数型漸化式 $an+1=(pan+q)/(ran+s)$ について、 $ps=qr$ のときは $r(pan+q)=p(ran+s)$ となるので $an+1=p/r$ 、つまり第2項からはずっと同じ値が並ぶ定数の数列になってしまう。そこで以下では、 $ps\neq qr$ のもとで考える。

簡単な分数漸化式( $q=0$ の場合)

分数型漸化式が $an+1=pan/(ran+s)$ のような形をしている場合は、両辺の逆数をとって

$1an+1=(ran+s)/pan ∴1an+1=s/p・1/an+r/p$

と変形し、 $bn=1/an$ とおくことにより

$bn+1=s/p・ bn+r/p$

となり線形2項間漸化式へ帰着される。

ここからは、 $q\neq0$ の場合も含めた一般の形 $an+1=(pan+q)/(ran+s)$ を扱う。解き方には次の2通りがある。

解答等比数列に帰着させる方法

解答1を見る

分数型漸化式 $an+1=(pan+q)/(ran+s)$ の $t$ に関する

$t=(pt+q)/(rt+s)$

という方程式が異なる2つの実数解 $t=α,β$ をもつとき

$bn=(an-β)/(an-α)$

とおくと、 ${bn}$ が等比数列となることを利用する。ただし、 $a1\neqα$ とする。

実際、【解答2】で計算するように $an+1-t=(p-rt)(an-t)/(ran+s)$ が成り立つので、これを $t=β$ 、 $t=α$ として辺々わると

$bn+1=an+1-βan+1-α=((p-rβ)(an-β)/(ran+s))/((p-rα)(an-α)/(ran+s)) =(p-rβ)/(p-rα)・ bn$

となり、数列 ${bn}$ は公比 $(p-rβ)/(p-rα)$ の等比数列となる。

解答簡単な分数型漸化式に帰着させる方法

解答2を見る

$t$ に関する

$t=(pt+q)/(rt+s)$

という方程式が実数解 $t$ をもつとき(2解あるときはどちらでもよい)、この式より $t$ は

$t=(pt+q)/(rt+s) \Leftrightarrow t(rt+s)=pt+q \Leftrightarrow (p-rt)t=st-q ①$

となるのを利用して、 $an+1-t$ を計算すると

$より an+1-t=(pan+q)/(ran+s)-t =(pan+q-t(ran+s))/(ran+s) =((p-rt)an-(st-q))/(ran+s) ①より =((p-rt)an-(p-rt)t)/(ran+s) =(p-rt)(an-t)/(ran+s)$

となる。ここで、 $bn=an-t$ とおくと

$bn+1=(p-rt)bn/(r(bn+t)+s) =(p-rt)bn/(rbn+(rt+s))$

となり、簡単な分数型漸化式( $q=0$ の場合)に帰着される。

簡単な分数漸化式の解法

問題1分数漸化式～その１～

$a1=1/2,an+1=an/(4an+5) (n≧1)$ で定まる数列 ${an}$ の一般項 $an$ を $n$ の式で表せ。

解答を見る

$a1=1/2>0$ であり、 $an>0$ ならば $4an+5>0$ だから $an+1=an/(4an+5)>0$ となる。よって、すべての $n$ で $an>0$ 、とくに $an\neq0$ であるから、逆数をとることができる。

漸化式 $an+1=an/(4an+5)$ の逆数をとると

$1an+1=(4an+5)/an \Leftrightarrow 1an+1=5・1/an+4$

となるので、 $bn=1/an$ とおくと、数列 ${bn}$ は

$bn+1=5bn+4 ①$

を満たす。

ここで、 $α=5α+4$ を満たす $α$ つまり、 $α=-1$ を用いて $①$ は

$bn+1=5bn+4 -)α=5α+4 bn+1-α=5(bn-α)$

に、特性方程式の解 $α=-1$ を代入して

$bn+1+1=5(bn+1)$

と変形できる。 $cn=bn+1$ とおくと、数列 ${cn}$ は

$cn+1=5cn$

を満たすので、 $cn$ は

$cn=c15^n-1 =(b1+1)5^n-1 =(1/a1+1)5^n-1 =3・5^n-1$

$cn=bn+1$ であったから $cn$ を $bn$ の式に戻す

$bn+1=3・5^n-1 ∴bn=3・5^n-1-1$

さらに、 $bn=1/an$ であったから $bn$ を $an$ の式に戻す

$1/an=3・5^n-1-1 ∴an=13・5^n-1-1$

定理1簡単な分数漸化式の解法

$STEP1$

漸化式 $an+1=pan/(ran+s)$ の逆数をとって

$1an+1=(ran+s)/pan ∴1an+1=s/p・1/an+r/p$

と変形する。

$STEP2$

(以下、2項間漸化式の解法に準じる)

一般の分数漸化式の解法

問題2分数漸化式～その２～

$a1=2,an+1=(2an+2)/(an+3) (n≧1)$ で定まる数列 ${an}$ の一般項 $an$ を $n$ の式で表せ。

解答1を見る

まず、特性方程式 $t=(2t+2)/(t+3)$ を解く。

$t=(2t+2)/(t+3) \Leftrightarrow t(t+3)=2t+2 \Leftrightarrow t²+t-2=0 \Leftrightarrow (t+2)(t-1)=0 ∴t=-2,1$

また、 $a1=2>0$ であり、 $an>0$ ならば $an+1=(2an+2)/(an+3)>0$ だから、すべての $n$ で $an>0$ 、とくに $an+2\neq0$ である。

この異なる2解のうち $α=-2,β=1$ ととり、 $bn=(an-1)/(an+2)$ とおくと

$分子と分母にを掛けた bn+1=an+1-1an+1+2 =((2an+2)/(an+3)-1)/((2an+2)/(an+3)+2) =((2an+2)-(an+3))/((2an+2)+2(an+3)) ↑分子と分母にan+3を掛けた =(an-1)/(4an+8)$

$bn+1=(an-1)/(4an+8) =(an-1)/4(an+2) =1/4・ bn$

となり、数列 ${bn}$ は初項 $b1=(a1-1)/(a1+2)=1/4$ 、公比 $1/4$ の等比数列となるので

$bn=b1・(1/4)^n-1=(1/4)^n$

ここで、 $bn=(an-1)/(an+2)$ であったから $bn$ を $an$ の式に戻す

$bn=(1/4)^n \Leftrightarrow (an-1)/(an+2)=(1/4)^n \Leftrightarrow (an-1)4^n=an+2 \Leftrightarrow (4^n-1)an=4^n+2 ∴an=(4^n+2)/(4^n-1)$

解答2を見る

まず、特性方程式 $t=(2t+2)/(t+3)$ を解く。

$t=(2t+2)/(t+3) \Leftrightarrow t(t+3)=2t+2 \Leftrightarrow t²+t-2=0 \Leftrightarrow (t+2)(t-1)=0 ∴t=-2,1$

この解の1つ $t=1$ を利用して

$通分した an+1-1=(2an+2)/(an+3)-1 =(2an+2-(an+3))/(an+3) ↑通分した =(an-1)/(an+3)$

$an+1-1=(an-1)/(an+3) =(an-1)/((an-1)+4)$

と変形できる。ここで、 $a1-1=1>0$ であり、 $an-1>0$ ならば $an+1-1=(an-1)/(an+3)>0$ だから、すべての $n$ で $an-1>0$ 、とくに $an\neq1$ である。

この漸化式の逆数をとって

$1an+1-1=((an-1)+4)/(an-1) =4/(an-1)+1$

$bn=1/(an-1)$ とおくと

$bn+1=4bn+1 ①$

となる。

ここで、 $α=4α+1$ を満たす $α$ つまり、 $α=-1/3$ を用いて $①$ より

$bn+1=4bn+1 -)α=4α+1 bn+1-α=4(bn-α)$

に、特性方程式の解 $α=-1/3$ を代入

$bn+1+1/3=4(bn+1/3)$

と変形できる。さらに、 $cn=bn+1/3$ とおくと、数列 ${cn}$ は

$cn+1=4cn$

を満たすので、 $cn$ は

$cn=c14^n-1 =(b1+1/3)4^n-1 =(1/(a1-1)+1/3)4^n-1 =4/3・4^n-1 =(1/3)4^n$

$cn=bn+1/3$ であったから $cn$ を $bn$ の式に戻す

$bn+1/3=(1/3)4^n \Leftrightarrow bn=(1/3)4^n-1/3 ∴bn=(4^n-1)/3$

さらに、 $bn=1/(an-1)$ であったから $bn$ を $an$ の式に戻す

$通分した 1/(an-1)=(4^n-1)/3 \Leftrightarrow an-1=3/(4^n-1) \Leftrightarrow an=3/(4^n-1)+1 \Leftrightarrow an=(3+4^n-1)/(4^n-1) ↑通分した ∴an=(4^n+2)/(4^n-1)$

最終更新: 2026-09-03

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