数学B 第2章 漸化式 — 線形2項間漸化式: an+1=pan+q
線形2項間漸化式の解法
線形2項間漸化式
次の問題について考えてみよう．
問題1線形2項間漸化式～その１～
a1=1,an+1=3an+2 (n≧1) で定まる数列 {an} の一般項 an を n の式で表せ．
まず，上の式の n に n=1,2,3,4,5,6,…,n を代入し，具体的に数列を書き並べてみると
n:123456…n {an}:151753161485…［?］
となるが，数列 {an} は等差数列でも等比数列でもないので， ［?］ の部分はすぐにはわからない．
等比数列の漸化式に帰着させる（2項間）
漸化式
an+1=3an+2 ①
において注目すべきは an の係数(=3)である．具体的に数列を書き並べていくと，数列 {an} は約3倍ずつ増えていっていることがわかるだろう．
しかしさきほど述べたように，純粋に3倍されているわけではないので等比数列ではない．原因は漸化式 ① で定数(=2)が加えられているためである．そこで，この定数をうまく消去して，最終的に等比数列の性質から一般項を求める方針で考えてみよう．
定数(=2)を消去するために， an+1 と an を x に置きなおした等式を考える.
x=3x+2 ②
① と ② の式を並べて引き算する．
an+1=3an+2 -)x=3x+2 an+1-x=3(an-x)
これで定数部分を消去することができた．
また， an-x=bn と置きなおすと， bn+1=3bn となることからもわかるように，等比数列の漸化式に帰着することができた．
あとは ② を解いて x=-1 を得るから，これを an+1-x=3(an-x) に代入して
an+1+1=3(an+1)
となり，数列 {an+1} は初項 a1+1=2 ，公比3の等比数列であることがわかる．よって an+1=2・3^n-1 となるから
an=2・3^n-1-1
と求められる．実際， n=1,2,3 とすると順に1，5，17となり，はじめに書き並べた数列と一致する．これで ［?］ の部分が埋まったことになる．
線形2項間漸化式の解法
問題2線形2項間漸化式～その２～
a1=1,an+1=4an+6 (n≧1) で定まる数列 {an} の一般項 an を n の式で表せ．
解答を見る
漸化式
an+1=4an+6
から，式
x=4x+6 ①
を辺々ひくと
an+1-x=4(an-x) ②
ここで， ① を解くと
x=4x+6 ⇔ -3x=6 ∴x=-2
となるから， ② の x にこの値を代入し
an+1-(-2)=4{an-(-2)} ↑ an+1-α=p(an-α) ∴an+1+2=4(an+2)
を得る．
これは，数列 {an+2} が，初項 (a1+2)=3 ，公比4の等比数列であることを表している．
よって
an+2=(a1+2)・4^n-1 ∴an=3・4^n-1-2
定理1線形2項間漸化式の解法
p,q は定数で， p≠1 とする．
STEP1
漸化式 an+1=pan+q から方程式 x=px+q をつくる．
STEP2
漸化式 an+1=pan+q から方程式 x=px+q を引き
an+1-x=p(an-x)
を得る．
STEP3
方程式の解 α を求め， STEP2 で得られた漸化式に代入する．
an+1-α=p(an-α)
STEP4
等比数列の公式を用いて，漸化式を解き， an を求めれば完成．
an+1-α=p(an-α) ∴an-α=(a1-α)p^n-1 ↑等比数列の一般項の公式を用いた
よって， an=(a1-α)p^n-1+α となる．
最終更新: 2026-08-12
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