数学B 第5章平面ベクトルと平面図形 — 位置ベクトル

位置ベクトルの定義

平面上で、基準とする点 $O$ をあらかじめ定めておくと、任意の点 $P$ の位置は

$p =OP$

という $p$ によって表すことができる。

この $p$ を、点 $O$ に関する点 $P$ への位置ベクトル(position vector) という。また、位置ベクトルが $p$ である点 $P$ を、 $P (p)$ と表す。

点 $O$ に関して、2 点 $A, B$ がそれぞれ、 $A(a), B(b)$ であるとき

$AB =OB -OA$ であるから、 $AB$ は $AB = b - a$

と表される。

つまり、 $AB$ は「終点 $B$ の位置ベクトルから、始点 $A$ の位置ベクトルを引いた差」に等しい。

座標平面内で原点 $O$ を基準にとると、平面上の任意の点 $P(x0, y0)$ への位置ベクトル $p$ は、 $p =(x0,y0)$ となる。

実際、成分は「終点の座標から始点の座標を引いたもの」であり、 $p =OP$ の始点は原点 $O(0, 0)$ 、終点は点 $P(x0, y0)$ であるから、 $p =(x0 - 0,y0 - 0)=(x0,y0)$ である。

また、逆に原点 $O$ に関する点 $P$ の位置ベクトル $p$ が $p =(x0,y0)$ であるとき、点 $P$ の座標は $(x0, y0)$ となる（上の式を逆にたどればよい）。

つまり

$「点の座標がである」「原点に関する点への位置ベクトルはである」「点P の座標が(x0, y0) である」 \Leftrightarrow 「原点O に関する点P への位置ベクトルは p =(x0,y0)である」$

となる。

$a =(1,2), b =(-4,-1)$ とする。

座標平面上の点 $A(3, 1)$ から $3a + 2b$ だけ移動した点 $P$ の座標を求めよ。

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まず、 $AP = 3a + 2b$ であるから

$AP = 3 (1,2)+ 2 (-4,-1) = (3,6)+ (-8,-2) = (3 - 8,6 - 2) = (-5,4)$

また、 $AP =OP -OA$ であるから

$OP =AP +OA =(-5,4)+ (3,1) = (-5 + 3,4 + 1)= (-2,5)$

よって、 $OP =(-2,5)$ であるから、点 $P$ の座標は $(-2, 5)$ である。

最終更新: 2026-08-20

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