FTEXT 数学

用語索引 — 高校数学の定義と定理

FTEXT の教科書に出てくる定義 89 件と 定理・公式 307 件の索引です。 用語をえらぶと、それが説明されている場所へ直接移動します。

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定義（89件）

教科書で「これはこういうものだ」と定めている用語です。

数学I

  • 自然数数と式 ／ いろいろな数1 から始めて、1 を足すことを次々と繰り返して得られる数を、自然数という。
  • 有理数数と式 ／ いろいろな数整数 a と 0 でない整数 b によって a/b の形で表せる数を、有理数という。
  • 絶対値数と式 ／ いろいろな数|a| は場合に分けて |a|=a(a≧0) -a(a<0) と表すことができる。
  • 複2次式の定義数と式 ／ 式の計算a、b、c を実数の定数とするとき ax⁴+bx²+c という形の多項式を複2次式 (biquadratic expression) という。
  • 1次関数の定義関数と方程式・不等式 ／ 1次関数とそのグラフ関数 f(x) が x の1次式で表されるとき、つまり、a(≠0)、b を定数として f(x)=ax+b の形で表されるとき、f(x) は x の1次関数 (linear function) であるという。
  • 直線の傾き a関数と方程式・不等式 ／ 1次関数とそのグラフ・1次関数の変化の割合は、常にそのグラフの傾きに等しい。
  • 1次方程式の定義とその解関数と方程式・不等式 ／ 1次方程式と1次関数a≠0、b を定数として ax+b=0 という形で表される方程式を、x についての1次方程式 (linear equation) という。
  • 不等式関数と方程式・不等式 ／ 1次不等式と1次関数2つの数の大小関係を、不等号を使って表したものを不等式 (inequality) という。
  • 2次関数の定義関数と方程式・不等式 ／ 2次関数とそのグラフ関数 f(x) が x の2次式で表されるとき、つまり、 a (≠0)、b、c を定数として f(x)=ax²+bx+c の形で表されるとき、f(x) は x の2次関数 (quadratic function) という。
  • 判別式 D の定義関数と方程式・不等式 ／ 2次関数とそのグラフ2次関数 y=ax²+bx+c において、b²-4ac を判別式 D とよぶ。
  • 真理集合論理と集合 ／ 条件と真理集合全体集合を U とするとき、U の要素 x のうち p(x) が真となるもの全体の集合を、p(x) の真理集合 (truth set) という。
  • 正接の定義三角比 ／ 鋭角の三角比図の直角三角形 ABC において tanA=a/b とする。
  • 正弦・余弦の定義三角比 ／ 鋭角の三角比次の図の直角三角形 ABC において sinA=a/c cosA=b/c とする。
  • 三角比の拡張三角比 ／ 三角比の拡張点 O を原点とする座標平面上に単位円の上半分をとり、その周上に一点 P をとる。

数学A

  • 順列 nPr の定義場合の数 ／ 順列「区別するn個のものからr個取り出して1列に並べた列」のことを 順列(permutation)といい、 その並べ方の総数を nPr と表す 上の例では、 4P2=4×3=12 である。
  • 円順列 cir(n) の定義場合の数 ／ 順列「区別するn個のものを、円形に並べた列」のことをn個の円順列(circular permutation)という。
  • 重複順列 nΠr の定義場合の数 ／ 重複順列「区別する n 個のものから、繰り返し用いることを許して、 r 個取り出して1列に並べた列」 のことをn-r重複（ちょうふく）順列(permutation with repetitions)といい、その並べ方の総数を nΠr と表す 順列(permutation)はnPrを用い…
  • 部屋割りの数room(n,r)の定義場合の数 ／ 部屋割り「区別するn個のボールを、区別するr個の箱に（空の箱がないように）最低1個は配る場合の数」を、 FTEXT では room(n, r) と表す。
  • 組合せ nCr の定義場合の数 ／ 組合せ「区別する n 個のものから r 個取り出して作った組」のことをn-r 組合せ(combination) といい、 その組の総数を nCr と表す。
  • 同じものを含む順列 C(n1,n2,…,nm) の定義場合の数 ／ 組合せ第 i 種 (1≦i≦m) のものが ni 個ずつ全部で n1+n2+…+nm=n 個あり、同種のものは区別しないものとするとき、 これら n 個を1列に並べた順列のことを、 同じものを含む順列 または、 一般順列(generalized permutation) といい、その…
  • 重複組合せ nHr の定義場合の数 ／ 重複組合せ「区別する n 個のものから、繰り返し用いることを許して、 r 個取り出して作った組」 のことをn-r 重複組合せ(combination with repetitions)（ちょうふく）といい、その組の総数を nHr と表す。
  • 資源配分の数 resource(n,r) の定義場合の数 ／ 資源配分「区別しないn個のボールを、区別するr個の箱に最低1個は配る場合の数」を、 FTEXT では resource(n,r) と表す。
  • 部屋割り(部屋の区別が無い場合)の数 nSr の定義場合の数 ／ 部屋割り（部屋に区別が無い場合）「区別する n 個のボールを、区別しない r 個の箱に最低1個は配る場合の数」を、 nSr と表す。
  • 資源配分(配分先に区別が無い場合)の数 p(n,r) の定義場合の数 ／ 資源配分（配分先に区別が無い場合）「区別しない n 個のボールを、区別しない r 個の箱に最低1個は配る場合の数」を、 FTEXT では p(n,r) と表す。
  • 確率の定義確率 ／ 確率とは何かある試行の標本空間を U とし、事象 A をその部分集合で表したとする。
  • 和事象と積事象確率 ／ 加法定理と排反事象標本空間 U の部分集合で表される2つの事象 A,B において「 A または B 」を A と B の 和事象(sum event) という。
  • 条件付き確率の定義確率 ／ 乗法定理と独立事象ある試行における事象を A,B とする。 事象 A という条件の下、事象 B の起こる確率 PA(B) を PA(B)=P(A∩B)P(A) と定義する。
  • 独立の定義確率 ／ 乗法定理と独立事象2つの事象 A,B において PA(B)=P(B) (⇔PB(A)=P(A)) が成り立つとき、事象 A と B は独立（independent）である、または独立事象（independent event）であるという。
  • 期待値の E(X) の定義確率 ／ 確率分布と期待値確率分布が P(X=xi)=pi (i=1,2,3,…,n) のとき、 期待値 E(X)を E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn と定義する。
  • 内分図形の性質 ／ 平面図形正の数 m,n とする。線分 AB 上の点 P について AP:PB=m:n が成り立つとき、点 P は線分 AB を m:n に 内分（interior division） するといい、 点 P のことを内分点という。
  • 外分図形の性質 ／ 平面図形正の数 m,n とする。線分ABの延長上の点 Q について AQ:QB=m : n が成り立つとき、点 Q は線分 AB を m:n に 外分（exterior division） するといい、点 Q のことを外分点という。
  • 重心図形の性質 ／ 平面図形三角形の中線の交点を重心という。
  • 内心図形の性質 ／ 平面図形三角形の内角の二等分線の交点を内心という。
  • 外心図形の性質 ／ 平面図形三角形の3辺の垂直二等分線の交点を外心という。
  • 垂心図形の性質 ／ 平面図形三角形の各頂点から、その向かい合う辺（またはその延長）に下ろした3本の垂線の交点を垂心という。
  • 多面体図形の性質 ／ 空間図形三角錐、四角柱などのように、平面だけで囲まれた立体を多面体といい、へこみのない多面体を凸（とつ）多面体という。
  • 約数と倍数整数の性質 ／ 整数の基本性質2つの整数 a,b が、ある整数 k を用いて a=bk と表せる時、 b は a の約数であるといい、 a は b の倍数であるという。
  • 最大公約数と最小公倍数整数の性質 ／ 整数の基本性質2つ以上の整数において、それらに共通する約数を公約数といい、公約数のうち最大のものを最大公約数という。
  • 素数整数の性質 ／ 整数の基本性質2以上の自然数で、正の約数が1とその数自体のみである数を、素数という。
  • 合成数整数の性質 ／ 整数の基本性質2以上の自然数で素数でないものを、合成数という。 例えば、14や60は 14=2・7 60=3・4・5 なので、合成数である。
  • 合同式整数の性質 ／ 整数の応用2つの整数 a,b を m で割った時の余りが等しいとき、 a と b は m を法として合同である、といい a≡ b±od m と表す。
  • ピタゴラス数整数の性質 ／ 整数の応用a²+b²=c² を満たす自然数の組 (a,b,c) を、ピタゴラス数という。

数学II

  • 多項式の相等式と証明 ／ 等式の証明2つのn次多項式 f(x),g(x) f(x)=anx^n+an-1x^n-1+…+a1x+a0 g(x)=bnx^n+bn-1x^n-1+…+b1x+b0 において、すべての係数が等しい、すなわち an=bn, an-1=bn-1, … , a1=b1, a0=b0 が成り立…
  • 恒等式の定義式と証明 ／ 等式の証明ある等式において、その変数にどのような値を代入しても、 常に等式が成り立つとき、その等式をそれらの文字についての恒等式(identity)という。
  • 対称式の定義式と証明 ／ 等式の証明式の中の文字 x, y を入れ換えても、同じ式となる式のことを、 その文字に関する対称式(symmetric expression)という。
  • 平均の定義式と証明 ／ 不等式の証明2つの数a1, a2において (1) a1 と a2 を使った計算で求められるものであり (2) 必ず a1 と a2 の間の数として求められるもの を a1, a2 の平均（mean）という。
  • 複素数の相等式と証明 ／ 複素数a, b, c, dを実数とする。2つの複素数a⊕biとc⊕diが等しいことを a⊕bi=c⊕di ⇔ a=c かつ b = d と定義する。
  • 共役な複素数式と証明 ／ 複素数a, bを実数とし、複素数αをα=a⊕biとする。
  • 複素数の加法・減法式と証明 ／ 複素数a, b, c, dを実数とする。 2つの複素数a⊕biとc⊕diの和を (a⊕bi)+(c⊕di)=(a+c)⊕(b+d)i 差を (a⊕bi)-(c⊕di)=(a-c)⊕(b-d)i と定義する。
  • 複素数の乗法式と証明 ／ 複素数a, b, c, dを実数とする。 2つの複素数a⊕biとc⊕diの積を (a⊕bi)(c⊕di)=(ac-bd)⊕(ad+bc)i と定義する。
  • 複素数の除法式と証明 ／ 複素数a, b, c, dを実数とする。 2つの複素数a⊕biとc⊕diの商を a⊕bic⊕di=(ac+bd)/(c²+d²)⊕((bc-ad)/(c²+d²))i と定義する。
  • 負の数の平方根式と証明 ／ 複素数a 0のとき、 − aの平方根は、√aiと−√aiである。
  • 負の数の平方根の表し方式と証明 ／ 複素数a 0のとき、√(-a)=√aiとする。
  • 多項式の次数式と証明 ／ 多項式の除法多項式f(x)の次数をdeg f(x)と表す。 たとえば、f(x) = x3 − 4x2 + 5x − 1, g(x) = 3x2 − 4x + 5とするとき、deg f(x) = 3, deg g(x) = 2である。
  • 多項式の除法式と証明 ／ 多項式の除法多項式f(x)と、0でない多項式g(x)において f(x)=g(x)Q(x)+r(x) (r(x)=0 または deg r(x) < deg g(x)) と変形できたとき、Q(x)を商、r(x)を余りという。
  • 多項式の約数と倍数について式と証明 ／ 多項式の除法多項式f(x)が多項式g(x)で割り切れるとき、すなわち f(x)=g(x)Q(x) となる多項式Q(x)が存在するとき f(x)はg(x)の倍数(multiple),g(x)はf(x)の約数(divisor) という たとえば、x² − 4x + 3 = (x − 1)(x …
  • 分数の乗法・除法式と証明 ／ 多項式の除法f(x)/g(x)×h(x)/i(x)=(f(x)× h(x))/(g(x)× i(x)) , f(x)/g(x)÷h(x)/i(x)=f(x)/g(x)×i(x)/h(x) =(f(x)× i(x))/(g(x)× h(x)) たとえば by²/ax²÷b²y/a²x=by²…
  • 分数式の加法・減法式と証明 ／ 多項式の除法f(x)/g(x)+h(x)/g(x)=(f(x)+h(x))/g(x) , f(x)/g(x)-h(x)/g(x)=(f(x)-h(x))/g(x) 分母が異なる分数式どうしは、通分してから計算する。
  • 内分図形と方程式 ／ 数直線と座標平面上の点正の数m, nとする。 線分AB上の点Pについて AP:PB=m : n が成り立つとき、点Pは線分ABをm : n に 内分（interior division） するといい、 点Pのことを内分点という。
  • 外分図形と方程式 ／ 数直線と座標平面上の点正の数m, nとする。 線分ABの延長上の点Qについて AQ:QB=m : n が成り立つとき、点Qは線分ABをm : n に 外分（exterior division） するといい、 点Qのことを外分点という。
  • 弧度法三角関数 ／ 一般角と弧度法弧の長さがl,半径がrの円弧のなす中心角θを θ=l/r で定義する。
  • 三角関数の定義三角関数 ／ 三角関数について単位円周と動径の交点をP,X(1, 0)とする。 ∠POX=θ(θは任意の実数)とするとき cosθ = (動点Pのx座標) sinθ = (動点Pのy座標) tanθ = (動点Pのy座標)/(動点Pのx座標)=(動径OPの傾き) とする。
  • 周期関数の定義三角関数 ／ 三角関数のグラフ関数f(x)が、ある正の実数pに対して次の条件 どんな実数xに対してもf(x)=f(x+p)が成立 を満たすとき、この関数f(x)のことを周期関数(periodic function)という。
  • n乗根の定義指数と指数関数 ／ 累乗と累乗根nを自然数とする。n乗するとaになる数、つまり x^n=a となるxの値を、aのn乗根（nth root）という。
  • 整数に拡張された指数の定義指数と指数関数 ／ 指数の拡張0でない実数aに関して、xが整数のとき a⁰=1 , a^-x=1/a^x とする。
  • 有理数に拡張された指数の定義指数と指数関数 ／ 指数の拡張a 0で、mを整数、nを自然数とするとき a^m/n=√[n]a^m とする。
  • 単調増加関数と単調減少関数の定義指数と指数関数 ／ 指数関数関数f(x)の定義域内の任意の実数x1, x2について (1) x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) が成り立つとき、関数f(x)は単調増加関数（monotone increasing function）という。
  • 指数関数の定義指数と指数関数 ／ 指数関数a 0, a≠1とするとき、実数xに対して f(x)=a^x で表される関数を、aを底てい（base）とするxの指数関数（exponential function）という。
  • 対数の定義対数と対数関数 ／ 対数の定義a 0, a≠1, M 0のとき a^x=M ⇔ x=logaM とする。
  • 対数関数の定義対数と対数関数 ／ 対数関数a0, a≠1のとき、正の実数x に対して y=logax で表される関数を、aを底てい（base）とするxの対数関数（logarithmic function）という。
  • 指数を使って数を表す方法〜その1〜対数と対数関数 ／ 常用対数x≧1を満たすxは、整数部分が1桁の数a (1≦a<10)と、負でない整数nを使って a×10^n という形ただ1通りに表すことができ、このときこの数は最高位がn+1桁の数である。
  • 指数を使って数を表す方法〜その2〜対数と対数関数 ／ 常用対数0 < x < 1を満たすxは、整数部分が1桁の数a (1≦a<10)と、負の整数nを使って a×10^n という形でただ1通りに表すことができ、このとき小数第-n位（n=-6ならば小数第6位）にはじめて0でない数があらわれる。
  • 常用対数の定義対数と対数関数 ／ 常用対数10を底とする対数log10xを常用対数(common logarithm)という。
  • 平均の速度微分法 ／ 平均の速度と瞬間の速度時刻が t1 から t2 に変化する間に、位置が x1 から x2 に変化する物体の平均速度 v は、時刻の変化量 Δt=t2-t1 と、位置の変化量 Δx=x2-x1 をもちいて v=Δx/Δt と表すことができる。
  • 瞬間の速度微分法 ／ 平均の速度と瞬間の速度時刻が t1 で位置が x1 の物体の瞬間の速度 v は v=limΔt→0Δx/Δt と表すことができる。
  • 極限の定義微分法 ／ 極限関数 f(x) において、x が a と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき、f(x) が定数α（アルファ）に限りなく近づくならば limx→af(x)=α または f(x)→α (x→a) と書き、この値 α のことを、x→a のときの f(x) の極限値 (lim…
  • 微分係数微分法 ／ 微分係数と導関数関数 y=f(x) の x=a における微分係数 f'(a) は f'(a)=limx→a(f(x)-f(a))/(x-a) と定義する。
  • 関数の増減微分法 ／ 関数のグラフ関数 f(x) のある区間 I において、I に含まれる任意の値 s、t について s<t ⇒ f(s)<f(t) が成り立つとき、f(x) はその区間 I で単調増加 (monotonically increasing) するという。
  • 2つの曲線が接することの定義微分法 ／ 接線とグラフ2つの曲線 y=f(x) と y=g(x) が x=α で共通の接線をもつとき、この2つの曲線は x=α で接する (contact) という。
  • 定積分の定義積分法 ／ 定積分関数 f(x) に関して、定積分 ∫f(x)dx を ∫f(x)dx=limn→∞Σf(xk)Δx と定義する。
  • 偶関数・奇関数積分法 ／ 工夫のできる積分計算関数 f(x) において (1) f(-x)=f(x) を満たすものを偶関数 (2) f(-x)=-f(x) を満たすものを奇関数 という。

数学B

  • 等差数列の漸化式と一般項数列の一般項と和 ／ 等差数列初項 a 、公差 d の等差数列の漸化式は a1=a an+1=an+d (n=1,2,3,…) 初項 a 、公差 d の等差数列の一般項 an は an=a+(n-1)d (n=1,2,3,…)
  • Σ 記号の定義数列の一般項と和 ／ Σ記号数列 {an} の初項から、第 n 項までの和 a1+a2+a3+…+an-1+an を、 Σ 記号を用いて a1+a2+a3+…+an-1+an=Σk=1ak と表す。
  • 階差数列の定義数列の一般項と和 ／ 階差数列数列 {an} に対して bn=an+1-an となる数列 {bn} を、数列 {an} の階差数列 (progression of differences) という。
  • 1 次結合の定義平面ベクトルと平面図形 ／ 平面ベクトルの1次独立2 つのベクトル、a, b に対して、適当な実数s, t を用いて sa + tb と表されるベクトルのことを、a とb の1 次結合(linear combination) という。
  • 1 次独立の定義平面ベクトルと平面図形 ／ 平面ベクトルの1次独立「a とb が1 次独立(linearly independent)である」とは sa + tb = 0 を満たす実数s, t がs = t = 0 のときに限る、ことである。
  • ベクトルの内積平面ベクトルと平面図形 ／ ベクトルの内積a, b に対して、内積a ・ b を a ・ b = |a| |b| cos θ とする。
  • 1 次結合の定義空間ベクトルと空間図形 ／ 空間ベクトルの1次独立3 つのベクトル、a, b, c に対して、適当な実数s, t, u を用いて sa + tb + uc と表されるベクトルのことを、a, b, c の1 次結合という。
  • 1 次独立の定義空間ベクトルと空間図形 ／ 空間ベクトルの1次独立「a, b, c が1 次独立である」とは sa + tb + uc = 0 を満たす実数s, t, u がs = t = u = 0 のときに限る、ことである。

定理（307件）

証明つきで示される定理・公式です。

数学I

数学A

数学II

数学B