数学B 第1章 数列の一般項と和 — 等差数列

この節の練習問題6問だけをまとめて見る・印刷する →

等差数列の一般項

等差数列の定義

数列とは何かでとりあげた貯金の例のように，初項 a に順次，一定の数 d (公差(common difference)という)を加えて得られる数列のことを等差数列(arithmetic sequence)という．

具体的に数列を書き表すと

となる．

また，等差数列は漸化式を用いて

a1=a an+1=an+d (n=1,2,3,…) ①

と表すこともできる．

試しに，この漸化式 ① の n に 1,2,3 を代入すると，確かに a+d,a+2d,a+3d が作られるのがわかる．

等差数列の一般項

この等差数列の第 N 項つまり一般項 aN は

「第 N 項は初項 a に d を N−1 個加えたもの」

と考えて

aN=a+(N−1)d

となるのはすぐにわかるだろう．

また，漸化式 (1) から一般項 aN を求める方法もみておこう．

STEP1

漸化式を an+1−an=d と変形し， n に 1,2,3,…,N−2,N−1 を代入し，得られる式を縦に並べておく．

a2-a1=d a3-a2=d ⋮ aN-1-aN-2=d aN-aN-1=d

STEP2

すべての式の辺々を加え合わせる．

a2-a1=d a3-a2=d ⋮ aN-1-aN-2=d +)aN-aN-1=d aN-a1=(N-1)d

よって， a1=a であることに注意して，次式を得る．

aN=a+(N-1)d

nとNを混合してもちいる

さきほどSTEP1で使った文字 N は「ある N 番目」という意味で用いた．ただし慣例では “N” ではなく “n” を使うので，今後このテキストでもこの慣例に従い，特別 N を使用せずに n を使うものとする．

しかし，こうするとSTEP1で「 n に 1,2,3,…,n-2,n-1 を代入」と表現されることになり「 n に n-1 を代入する？」と誤解を招きやすい．

最初の n は 1,2,3,… を代入するための変数であり，後の n-2,n-1 に含まれる n は定数として用いられており，同じ n でも別物として取り扱うことに注意しよう．

等差数列の和

等差数列の和の求め方

ここでは，等差数列の初項 a から第 n 項までの和 Sn を求めてみよう．

STEP1

等差数列の一般項 an=a+(n-1)d に， 1,2,…,n-1,n を代入して足し合わせる式を書く．

［1］［2］ Sn=a+(a+d) ［3］ +(a+2d)+… ［n-2］［n-1］ +{a+(n-3)d}+{a+(n-2)d} ［n］ +{a+(n-1)d}

STEP2

この式の右辺を，逆に並べて書く．

［n］［n-1］ Sn={a+(n-1)d}+{a+(n-2)d} ［n-2］ +{a+(n-3)d}+… ［3］［2］ +(a+2d)+(a+d) ［1］ +a

STEP3

上の2式を縦に足し合わせる．

右辺は全て 2a+(n-1)d であり，これが n 個存在するので

2Sn={2a+(n-1)d}× n Sn=n/2{2a+(n-1)d}

と表すことができる．これが求めたかった等差数列の初項 a から第 n 項までの和 Sn である．

なお， 2a+(n-1)d=a1+an より

Sn=n/2(a1+an)

と表すこともできる．

以上，等差数列の和についてまとめておこう．

最終更新: 2026-08-09