等差数列の練習問題（全6問・解答つき）

1. 初項が2、公差が3の等差数列であり、第 n 項(一般項)は初項 a1 に公差 d を n-1 回加えることによって求められるので

   

   an=2+(n-1)3=3n-1

   また、第10項は a10=3・10-1=29 である。

2. 初項が100、公差が-2の等差数列だから

   

   an=100+(n-1)・(-2)=-2n+102

   また、第10項は a10=-2・10+102=82 である。

1. 等差数列は公差が一定であるので、条件からまず公差を求めよう。初項から第4項までは、公差が3回足されるので、公差を d とすると

   

   3d=a4−a1=22-13=9 ∴d=3

   よって、 an=13+(n-1)・3=3n+10 となる。

   【別解】

   等差数列の一般項は an=a1+(n-1)d として与えられるので、問題の条件から a1 と d の連立方程式を立てることができる。初項を a 、公差を d とすると

   a1=a=13 a4=a+3d=22

   となる。これらを連立させて解くと

   a=13,d=3

   よって、 an=13+(n-1)・3=3n+10 となる。

2. 第3項から第10項までは、公差が7回足されるので、公差を d とすると

   7d=a10−a3=-13-1=-14 ∴d=-2

   第10項から第 n 項までは、公差が n-10 回足されるので

   an=a10+(n-10)d =-13+(n-10)・(-2) =-2n+7

   【別解】

   初項を a 、公差を d とすると

   第3項が 1 であるから a+2d=1

   第10項が -13 であるから a+9d=-13

   となる。これらを連立させて解くと

   a=5,d=-2

   よって、 an=5+(n-1)・(-2)=-2n+7 となる。

この数列の初項を a 、公差を d とすると

an=a+(n-1)d

ここで a12=43,a27=223 であるから

43=a+11d 223=a+26d

これを解いて、 a=-89,d=12 。

よって一般項 an は

an=-89+(n-1)・12=12n-101

ここで 295 が第 n 項であるとすると

295=12n-101

これを解いて、 n=33 。

したがって、 295 はこの数列の 第33項 である。

1. 初項が2、公差が3の等差数列だから、この数列の一般項 an は

   

   an=2+(n-1)3=3n-1

   よって、初項から第 n 項までの和 Sn は

   Sn=n/2(a1+an)=n(3n+1)/2

   また、初項から第10項までの和 S10 は

   S10=10・(3・10+1)/2=155

2. 初項が100、公差が-2の等差数列だから、この数列の一般項 an は

   

   an=100+(n-1)・(-2)=-2n+102

   よって、初項から第 n 項までの和 Sn は

   Sn=n/2(a1+an)=n(101-n)

   また、初項から第10項までの和 S10 は

   S10=10・(101-10)=910

1. A2={2,4,6,…,50} は、初項2、項数25、末項50の等差数列であるから、求める和 S2 は

   S2=1/2・25(2+50)=650

2. A3={3,6,9,…,48} は、初項3、項数16、末項48の等差数列であるから、求める和 S3 は

   S3=1/2・16(3+48)=408

3. 6の倍数は、2の倍数としても3の倍数としても数えられており、二重に足されている。よって、2または3の倍数の和 S は、 S=S2+S3-S6 で与えられるので、 S6 を求めればよい。 A6={6,12,18,…,48} は、初項6、項数8、末項48の等差数列であるから、 S6 は

   S6=1/2・8(6+48)=216

   よって

   S=650+408−216=842

1. an=-6n+120 が負になるのは

   -6n+120<0 ⇔ 6n>120 ⇔ n>20

   つまり、 n=21 のとき an は負となる。よって、初めて負になるのは 第21項目 である。

2. 1. より、初項から第20項までの項は、すべて正、あるいは0なので、 S20 が初項からの和の最大値となる。第21項以降はすべて負であり、これらを加えると和は小さくなるからである。また、 a20=0 であるから、 S20=S19 であり、こちらも最大値である。よって、和が最大になるのは、 第19項目または第20項目 である。

   このとき、最大値は

   S19=19/2・(a1+a19) =19/2・(114+6) =1140

   【別解】

   一般項が an=-6n+120 である等差数列の和 Sn は

   Sn=n/2{114+(-6n+120)} =n/2(-6n+234) =-3n²+117n

   となり、 Sn が2次関数で与えられていることがわかる。下図のグラフより、 n が整数であることに注意すると、この Sn が最大値をとるのは n=19,20 のときである。