数学B 第2章 漸化式 — 変形階差型漸化式:

この解法では，漸化式 の の部分，つまりこの例題では2に着目して，漸化式を で割ることにより，線形2項間漸化式に帰着させる．

まず，漸化式 の両辺を で割る．

ここで， とおくと，漸化式は

と変形される．この漸化式は線形2項間漸化式になっているので，以下その方法に準じて漸化式を解けばよい．

この解法では，漸化式 の の部分，つまりこの例題では5に着目して，漸化式を で割ることにより，階差型漸化式に帰着させる．

まず，漸化式 の両辺を で割る．

ここで， とおくと，漸化式は

と変形される．この漸化式は階差型漸化式になっているので，以下その方法に準じて漸化式を解けばよい．

漸化式 の両辺を で割る．

線形2項間漸化式の形になっている

とおくと，数列 は

を満たす．

ここで，方程式 を解くと

となるので，これを利用して は

に， を代入

これより，数列 は，初項 ，公比 の等比数列とわかるので

ここで， であったから，もとに戻して

漸化式 の両辺を で割ると

階差数列漸化式の形になっている

とおくと

この漸化式より，数列 の階差数列を とすれば， となっていることがわかるので， では

階差数列の一般項

等比数列の和

この式の右辺の に1を代入すると，1となり， と一致するので，この式は のときにも成立する．

階差数列の公式を使った場合は を必ずチェックする

よって で

が成り立つ．ここで， であったから

漸化式の両辺を， で割ることにより

として，線形2項間漸化式を導く．

(以下，線形2項間漸化式の解法に準じる)

漸化式の両辺を， で割ることにより

として，階差型漸化式を導く．

(以下，階差型漸化式の解法に準じる)

この解法では，漸化式 の の部分(整式 の次数)，つまりこの例題では1に着目して，適当な1次式を用いて漸化式を変形することにより，等比数列に帰着させる．

具体的には次のようにする．

の1次式 を用いて，漸化式 が

と変形できたとすれば， とおくことにより，漸化式は

と変形される．この漸化式は等比数列を表しているので，以下その方法に準じて漸化式を 解けばよい．

このような を求めるためには， を展開・整理して

としておいて，これと漸化式 を比較して

を解けばよい．

この解法では，漸化式 の の部分，つまりこの例題では5に着目して，漸化式を で割ることにより，階差型漸化式に帰着させる．

具体的には次のようにする．

まず，漸化式 の両辺を で割る．

ここで， とおくと，漸化式は

と変形される．この漸化式は階差型漸化式になっているので，以下その方法に準じて漸化 式を解けばよい．

漸化式 を変形して

が1次式であることに着目して，同じ1次式 を考える

となるような， を求める．

そのためには，まずこの式を展開・整理して

この式を整理して， という形に変形していく

という形になった

この と，もとの漸化式 を比べて

と を比較する

を解けばよい．

まず， より であり，これを に代入して

を得る．この を に代入して

を得る．

ここで， とおくと， は

となり，数列 は初項

公比5の等比数列となるのがわかる．

よって

等比数列の一般項

であったから

置き換えていたのでもとに戻す

について解いて完成

漸化式 の両辺を で割ると

階差数列の漸化式の形になっている

とおくと

この漸化式により，数列 の階差数列を とすれば， となっていることがわかるので， では

階差数列の一般項

(等差) (等比)の形をしている

ここで

より

等比数列の和

よって

であるから， は

ここで， であったから

この式の右辺の に1を代入すると，1となり， と一致するので，この式は のときにも成立する．

階差数列の公式を使った場合は を必ずチェックする