数学II 第7章積分法 — 定積分

定積分の定義

定積分の定義について

関数 $y=f(x)$ において、 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分 $\intf(x)dx$ を次のように定義する。

STEP1：区間を $n$ 等分する

下図のように、 $y=f(x)$ の区間 $a≦x≦b$ を $n$ 等分し、細かい区間に分ける。

このとき細かい区間の幅 $Δx$ は、 $a$ から $b$ までの長さ $b-a$ を $n$ 等分したものなので、 $Δx=(b-a)/n$ となる。

xy平面上に曲線 y=f(x) があり、x軸上の区間 a から b までが縦線で等間隔に分割されている。各区間の幅には Δx が示され、途中2箇所に省略を表す波線が入っている。

STEP2：区間の境界の座標を求める

まず、 $a=x0$ とおき、左から順に各区間の境界の $x$ 座標を $x1$ 、 $x2$ 、 $\dots$ とおいていく。

このようにおくと、 $x0=a$ 、 $x1=a+Δx$ 、 $x2=a+2Δx$ 、 $\dots$ となるので、境界 $xk$ の値は $xk=a+kΔx$ となる。

座標平面上に曲線 y=f(x) があり、x軸上の x0 から xn までの区間が x1、x2、xk などで細かく分割され、各境界から曲線へ縦の線分が引かれている。

STEP3：境界ごとに長方形を作りその面積を足し合わせる

各区間の右側の境界から左側の境界に向かって、下図のように $x$ 軸に平行な線分を書き、全部で $n$ 個の長方形を作る。左から $k$ 番目の長方形の面積は、幅が $Δx$ 、高さが $f(xk)$ なので、 $f(xk)Δx$ であるから、すべての長方形の面積は $f(x1)Δx+f(x2)Δx+f(x3)Δx +\dots+f(xn)Δx =Σf(xk)Δx$ と表される。

曲線 y=f(x) の下で、x_0 から x_n までの区間が n 個に分割され、各区間の右端の値 f(x_k) を高さとする n 個の長方形が並べられてグレーに塗られている。

STEP4：極限をとる

最後にSTEP3で得られた長方形の面積の総和 $Σf(xk)Δx$ に対して極限 $limn\to\infty$ をとり、この値を $\intf(x)dx$ と書く。つまり $\intf(x)dx=limn\to\inftyΣf(xk)Δx$ と定義する。

定義1定積分の定義

関数 $f(x)$ に関して、定積分 $\intf(x)dx$ を $\intf(x)dx=limn\to\inftyΣf(xk)Δx$ と定義する。ただし、 $xk=a+kΔx$ 、 $Δx=(b-a)/n$ である。

分割を細かくしていくことによって、長方形の様子は下図のように変化していく。だんだんと曲線で囲まれた部分の面積を表すようになるのがわかるだろう。

曲線 y=f(x) と x軸上の区間 a から b において、分割数 n が 6, 15, n→∞ と増えるにつれ、灰色の長方形の集まりが階段状から曲線で囲まれた領域へと変化していく様子が左から順に示されている。

定積分の表記に関する注意

定積分 $\intf(x)dx$ の中の文字 $x$ が「 $x$ 」であることに意味は無く、使う文字は何でもよい。すなわち $\intf(x)dx=\intf(□)d□$ であり、 $□$ には同じ文字ならどんな文字を入れてもよい。

特に積分区間の端に $x$ を含む場合、混乱をさけるため文字 $t$ などを使うことが多い。つまり $ではなく \intf(x)dxではなく\intf(t)dt$ とする。

定積分の性質

定積分の性質について

定積分に関して次のような式が成り立つ。

定理2定積分の性質

$\intf(x)dx=0$
$\intf(x)dx=-\intf(x)dx$
$\intf(x)dx=\intf(x)dx+\intf(x)dx$
$\int{f(x)+tg(x)}dx =\intf(x)dx+t\intg(x)dx$ ただし、 $t$ は定数とする。

証明

定義に戻って考えると $\intf(x)=limn\to\inftyΣf(xk)Δx =limn\to\inftyΣf(xk)\times0 =0$
定義に戻って考えると $\intf(x)dx=limn\to\inftyΣf(xk)Δx =-limn\to\inftyΣf(xk)(-Δx) =-\intf(x)dx$
左辺は

右辺は

であり等しい面積を表していると考えられる。
定義に戻って考えると $\int{f(x)+tg(x)}dx =limn\to\inftyΣ{f(xk)+tg(xk)}Δx =limn\to\infty{Σf(xk)Δx +tΣg(xk)Δx} =limn\to\inftyΣf(xk)Δx +tlimn\to\inftyΣg(xk)Δx =\intf(x)dx+t\intg(x)dx$

∎

定積分と面積の関係

定積分と面積の関係について

今まで見てきたように、 $\intf(x)dx$ の値は、基本的には $a≦x≦b$ において $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸の囲む面積を表すのだが、 $a≦x≦b$ において $f(x)$ の値が負の値をとるときには、この表現は正しいとはいえない。以下ではこの点についてまとめておこう。

$a≦x≦b$ で $f(x)≧0$ のとき（基本形）

右図のように $a≦x≦b$ で $y=f(x)$ と $x$ 軸の囲む面積を $S$ とすると $S=limn\to\inftyΣf(xk)Δx=\intf(x)dx$ である。
$a≦x≦b$ で $f(x)≦0$ のとき

右図のように $a≦x≦b$ で $y=f(x)$ と $x$ 軸の囲む面積を $S$ とする。 $f(x)≦0$ なので、 $n$ 等分したときの長方形の面積を $0$ 以上にするため、 $-f(x)$ を高さとして計算していく。 $S=limn\to\inftyΣ{-f(xk)}Δx =-limn\to\inftyΣf(xk)Δx =-\intf(x)dx$ である。 $\intf(x)dx$ は $S$ ではなく $-S$ 、いわば「負の面積」を表すといえる。
$a≦x≦b$ で $f(x)≧0$ 、 $b≦x≦c$ で $f(x)≦0$ のとき

右図のように $a≦x≦b$ で $y=f(x)$ と $x$ 軸の囲む面積を $S1$ 、 $b≦x≦c$ で $y=f(x)$ と $x$ 軸の囲む面積を $S2$ とすると、それぞれの面積は積分区間を分割して考えることにより $S1+S2 =\intf(x)dx +(-\intf(x)dx)$ である。

特に、iii において $\intf(x)dx=\intf(x)dx+\intf(x)dx =S1-S2$ であることに注意しよう。

問題1定義を利用した定積分の計算

次の値を求めよ。

$\intxdx$
$\intx²dx$
$\intx²dx$
$\intx³dx$

解答を見る

$f(x)=x$ とおき、積分区間 $0≦x≦1$ を $n$ 等分して幅 $Δx=1/n$ の区間に分け、各区間の境界の $x$ 座標を左から $x0, x1, \dots, xn$ とおく。座標 $xk$ は、 $xk=k・1/n$ となるので

$Σf(xk)Δx =Σxk・1/n =Σ(k・1/n)・1/n =1/n²Σk =1/n²・n(n+1)/2 =1/2(1+1/n) \to1/2 (n\to\infty)$
$f(x)=x²$ とおき、積分区間 $0≦x≦1$ を $n$ 等分して幅 $Δx=1/n$ の区間に分け、各区間の境界の $x$ 座標を左から $x0, x1, \dots, xn$ とおく。座標 $xk$ は、 $xk=k・1/n$ となるので

$Σf(xk)Δx =Σxk²・1/n =Σk²/n²・1/n =1/n³Σk² =1/n³・n(n+1)(2n+1)/6 =1/6(1+1/n)(2+1/n) \to1/3 (n\to\infty)$
$f(x)=x²$ とおき、積分区間 $1≦x≦2$ を $n$ 等分して幅 $Δx=1/n$ の区間に分け、各区間の境界の $x$ 座標を左から $x0, x1, \dots, xn$ とおく。座標 $xk$ は、 $xk=1+k・1/n$ となるので

$Σf(xk)Δx =Σ(1+k・1/n)²・1/n =Σ(1+2k/n+k²/n²)・1/n =1/nΣ+2/n²Σk+1/n³Σk² =1/n・n+2/n²・n(n+1)/2 +1/n³・n(n+1)(2n+1)/6 =1+(1+1/n) +1/6(1+1/n)(2+1/n) \to1+1+1/6・2 (n\to\infty) =7/3$ 【別解：2を利用する方法】

$の結果 \intx²dx=\intx²dx-\intx²dx^2の結果$ の利用を考える。

$f(x)=x²$ とおき、積分区間 $0≦x≦2$ を $n$ 等分して幅 $Δx=2/n$ の区間に分け、各区間の境界の $x$ 座標を左から $x0, x1, \dots, xn$ とおく。座標 $xk$ は、 $xk=k・2/n$ となるので $Σf(xk)Δx =Σxk²・2/n =Σ4k²/n²・2/n =8/n³Σk² =8/n³・n(n+1)(2n+1)/6 =4/3(1+1/n)(2+1/n) \to8/3 (n\to\infty)$ よって、 $\intx²dx=8/3-1/3=7/3$ 。
$f(x)=x³$ とおき、積分区間 $0≦x≦1$ を $n$ 等分して幅 $Δx=1/n$ の区間に分け、各区間の境界の $x$ 座標を左から $x0, x1, \dots, xn$ とおく。座標 $xk$ は、 $xk=k・1/n$ となるので

$Σf(xk)Δx =Σxk³・1/n =Σk³/n³・1/n =1/n⁴Σk³ =1/n⁴・{n(n+1)/2}² =1/4(1+1/n)² \to1/4 (n\to\infty)$

最終更新: 2026-08-10

この節についてAIに質問する

この節に書かれている内容だけを根拠に答えます。個人情報は書かないでください。

質問の内容