数学II 第5章対数と対数関数 — 対数関数

これまでは対数の計算を中心に見てきたが、ここでは対数関数としての振る舞いについて学ぶ。後半では対数を含む方程式や不等式の解き方についてみていく。

対数関数のグラフ

点 $(a, b)$ と点 $(b, a)$ の関係

点 $(a,b)$ と点 $(b,a)$ の関係

座標平面上のある点 $A(a, b) (a\neq b)$ に対して、この点の $x$ 座標の値 $a$ と $y$ 座標の値 $b$ を交換した点 $B(b, a)$ をつくる。

このとき、2点 $A, B$ の中点の座標は $((a+b)/2, (a+b)/2)$ なので、直線 $y = x$ 上にあることがわかる。また、2点 $A, B$ を結ぶ直線は、傾きが $(a-b)/(b-a)=-1$ なので、直線 $y = x$ と直交するのがわかる。以上のことから、2点 $A, B$ は、次の図のように、直線 $y = x$ に関して対称となる。

このことを踏まえて、以下に述べる対数関数についてみていこう。

座標平面上に直線y=xがあり、2点A(a, b)とB(b, a)を結ぶ点線が直線y=xと直交している。さらに、直線y=xとの交点によってその点線が2等分されていることが記号で示されている。

対数関数とは何か

定義1対数関数の定義

$a>0, a\neq1$ のとき、正の実数 $x$ に対して

$y=logax$

で表される関数を、 $a$ を底てい（base）とする $x$ の対数関数（logarithmic function）という。

この対数関数 $y = logax$ のグラフがどのような形になるのかを調べるため、以下のように考えていく。

STEP1

まず、対数の定義より

$y=a^x\Leftrightarrowx=logay$

であるから、指数関数 $y = a^x$ のグラフと、 $x = logay$ のグラフは等しい。

STEP2

この $x = logay$ を満たす点 $(x,y)$ の $x$ 座標と $y$ 座標を入れ換えたものが、対数関数 $y = logax$ を満たすものとなるから

$y = a^x$ と $y = logax$ は、直線 $y = x$ に関して対称なグラフ

となる。

これをもとに対数関数 $y = logax$ のグラフについてまとめると次のようになる

定理2指数関数と対数関数のグラフ

指数関数 $y = a^x$ と対数関数 $y = logax$ のグラフは、次のような関係になる。

a>1のときと0<a<1のときのそれぞれにおいて、指数関数y=a^xと対数関数y=log_a xの曲線が、直線y=xに関して互いに対称な関係で描かれている。

対数関数の性質

対数関数の性質について

対数関数のグラフで学んできたことをまとめると、次のようになる。対数関数 $y = logax$ のグラフを見ながら１つ１つ確認しよう。

定理3対数関数の性質

対数関数の性質について、次のようにまとめることができる。

定義域は正の実数全体、値域は実数全体である。
グラフは定点 $(1, 0)$ を通り、 $y$ 軸が漸近線となる。
単調な関数であるから、 $x$ の値と $y$ の値は1対1に定まる、すなわち

$logax1=logax2\Leftrightarrowx1=x2$
関数の増加と減少について
1. $a > 1$ のとき、単調増加関数である、すなわち
  
  $x1 < x2\Leftrightarrowlogax1 < logax2$
2. $0 < a < 1$ のとき、単調減少関数である、すなわち
  
  $x1 < x2\Leftrightarrowlogax1 > logax2$

a>1のとき右上がりの曲線y=log_a x上でx_1<x_2のときlog_a x_1<log_a x_2となり、0<a<1のとき右下がりの曲線上でlog_a x_1>log_a x_2となる位置関係を表している。

問題1対数の大小関係

次の値を小さいものから順に並べよ。

$(1/2)log21/3, -1, log23^-1$
$1/2, (1/2)log35, -log31/2$

解答を見る

対数関数の性質より

左から順に

$(1/2)log21/3=log2(1/3)¹/2=log21/\sqrt3 -1=log22^-1=log21/2$

$log23^-1=log21/3$

$y = log2x$ は増加関数で、 $1/3<1/2<1/\sqrt3$ だから

$log21/3<log21/2<log21/\sqrt3 ∴log23^-1<-1<(1/2)log21/3$

右上がりの曲線y=log_2 x上に、x座標が1/3、1/2、1/√3である3点をとり、それぞれのy座標が下からlog_2 3^(-1)、-1、(1/2)log_2(1/3)の順に並ぶことを破線で示している。

対数関数の性質より

左から順に

$1/2=log3(3)¹/2=log3\sqrt3 (1/2)log35=log35¹/2=log3\sqrt5$

$-log31/2=log3(1/2)^-1=log32$

$y = log3x$ は増加関数で、 $\sqrt3<2<\sqrt5$ だから

$log3\sqrt3<log32<log3\sqrt5 ∴1/2<-log31/2<(1/2)log35$

右上がりの曲線y=log_3 x上に、x座標が√3、2、√5である3点をとり、それぞれのy座標が下から1/2、-log_3(1/2)、(1/2)log_3 5の順に並ぶことを破線で示している。

問題2対数を含む1次方程式・1次不等式-その1-

次の方程式、または不等式を解け。

$log2x=2$
$log3x<1$
$log1/3x>1$
$log1/2(x+1)>3$