数学II 第3章三角関数 — 一般角と弧度法

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FTEXT数学Iで学んだ三角比によって、さまざまな図形の辺の長さや角を計算で求めることができるようになった。この章では三角比を拡張した三角関数について学んでいこう。三角関数の応用範囲は広く、たとえばモーターの回転、ばねの伸縮、波の伝播などを数式で記述することができるようになる。まずは準備として、角度について新しい単位を導入していく。

一般角

動径

平面上で、点 $O$ を中心として半直線 $OP$ を回転させるとき、この半直線 $OP$ を動径(radius vector)といい、はじめの固定された半直線 $OX$ を始線(initial line)という。

角度の拡張

固定された図形にあらわれる角度の大きさは、 $0°$ から $360°$ である。この視点で見れば、時計の1時の長針と2時30分の長針のなす角度は $180°$ であり、1時の長針と3時30分の長針のなす角度も $180°$ である。しかし、時刻の変化に伴う長針の回転量は、前者と後者では明らかに異なる。また、長針を1時から10分進めても、10分戻してもどちらも $60°$ 回転するが、向きは逆である。

これらの点を考慮できるように $360°$ 以上の角や、回転の向きを考えた角を導入することにしよう。

$360°$ 以上の角度

点Oから右に伸びる半直線OXと、右上に伸びる半直線OPがある。OXから反時計回りに1周してOPに至る矢印付きの線と、2つの半直線のなす角に60°という表記がある。

動点 $P$ は(反時計回りに)1周より多く動いてもよいとする。たとえば、図では、 $P$ が反時計回りに１周と $60°$ 回転しているので、 $∠POX=360°+60°=420°$ と考える。

負の角度

動点 $P$ は、 $X$ から時計回りに動いてもよいとし、この場合は $∠POX$ を負の値で定める。たとえば、図では、 $P$ が時計回りに $120°$ 回転しているので、 $∠POX=-120°$ と考える。

これらのように、 $360°$ 以上回転する場合や、回転の向きも考えた角を 一般角(general angle)という。

また、一般角 $θ$ に対して、始線 $OX$ から角 $θ$ だけ回転した位置にある動径 $OP$ を、 $θ$ の動径という。

点Oから右に伸びる始線OXと、左下に伸びる動径OPがある。OXからOPに向かって時計回りの矢印の付いた弧と120°の表記があり、時計回りに120°回転した角を表している。

問題1一般角の練習〜その1〜

次の図の $θ$ を一般角で表せ。

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動径 $OP$ は、反時計回りに1周と $120°$ 進んだので

$θ=360°+120°=480°$
動径 $OP$ は、反時計回りに2周と $210°$ 進んだので

← $360°-150°=210°$

$θ=360°\times2+210°=930°$
動径 $OP$ は、時計回りに $300°$ 進んだので

← $360°-60°=300°$

$θ=-300°$

問題2一般角の練習〜その2〜

次の角の動径を図示せよ。

$150°$
$390°$
$-90°$
$-690°$

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動径の表す角

動径は $360°$ 回転するともとの位置に戻るので、たとえば、 $60°$ の動径は、図のように

$420° ( =60°+360°) 780° ( =60°+360°\times2) -300° ( =60°-360°)$

などの角の動径と同じ位置にくる。すなわち、 $60°+360°\times n$ ( $n$ は整数)の動径はすべて同じ位置にくる。これらの角を動径 $OP$ の表す角という。

一般に、次のことがいえる。

始線OXから動径OPの位置を表す角として、反時計回りの60°と1周した420°、時計回りの-300°の3つの角が、それぞれ矢印付きの弧で示されている。

定理1動径の表す角

動径 $OP$ と始線 $OX$ のなす角の1つを $α$ とすると、動径 $OP$ の表す角 $θ$ は

$θ=α+360°\times n$ ( $n$ は整数)

のようにあらわされる。

問題3動径の表す角

次の角の動径を $OP$ とするとき、動径 $OP$ の表す角を

$α+360°\times n$ ( $n$ は整数)

の形で表せ。ただし、 $0°≦α<360°$ とする。

$420°$
$1450°$
$-80°$
$-895°$

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$420°=360°\times1+60°$ なので $60°+360°\times n$
$1450°=360°\times4+10°$ なので $10°+360°\times n$
$-80°=360°\times(-1)+280°$ なので $280°+360°\times n$
$-895°=360°\times(-3)+185°$ なので $185°+360°\times n$

弧度法

度数法の問題点

これまで、角度の大きさは「1周は $360°$ 」と定義して表してきた。この方法は度数法(degree measure)と呼ばれ、紀元前から用いられてきたものである。しかし、度数法で表わされた角の値は便宜的なもので数学的根拠がなく、数学の発展と共に不便が生じてきた。

弧度法の定義

そこで、これらの不便を解消するための新しい角度を導入しよう。

定義2弧度法

弧の長さが $l$ ,半径が $r$ の円弧のなす中心角 $θ$ を

$θ=l/r$

で定義する。

このような角度の表し方を弧度法(circular measure)という。弧度法は比で角度の大きさを表すため、単位が無いが、あえて単位を付けたいときにはラジアン(radian)や弧度をもちいる。

半径の長さがr、弧の長さがlのおうぎ形が描かれている。中心角の位置にθが示され、水平な半径の下にr、弧のすぐ外側にlの記号が添えられている。

上の定義において、 $r = 1$ とすると $θ = l$ となる。これは、単位円で考えたときには、中心角は対応する弧の長さで表されることを意味している。半径 $1$ の円の周の長さは $2π\times1=2π$ であり、1周分の弧に対応する中心角は $θ=2π/1=2π$ となる。すなわち

$360°=2π$ ラジアン

である。

また、 $360°=2π$ ラジアンの両辺を $2$ で割ると $180°=π$ ラジアン、さらに両辺を $180$ で割ると $1°=π/180$ ラジアンとなる。したがって、度数法から弧度法へなおすには $π/180$ を、弧度法から度数法へなおすには $180/π$ をかければよい。たとえば、 $210°=210\timesπ/180=(7/6)π$ 、 $(5/4)π=5/4\times180°=225°$ である。

主な角について、度数法と弧度法の値をまとめると次のようになる。

度数法		$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$
弧度法		$0$	$π/6$	$π/4$	$π/3$	$π/2$	$(2/3)π$

度数法		$135°$	$150°$	$180°$	$270°$	$360°$
弧度法		$(3/4)π$	$(5/6)π$	$π$	$(3/2)π$	$2π$

弧度法についても動径の表す角について、次のことがいえる。

半径が1、弧の長さがlのおうぎ形が描かれており、その中心角はθと示されている。また、おうぎ形の左下には、中心角と弧の長さの関係を表す式θ=lが書かれている。

定理3弧度法での動径の表す角

動径 $OP$ と始線 $OX$ のなす角の1つを $α$ とすると、動径 $OP$ の表す角 $θ$ は

$θ=α+2nπ$ ( $n$ は整数)

のようにあらわされる。

問題4度数法を弧度法になおす

次の角を弧度法で表せ。また、 $α + 2n π$ ( $n$ は整数)の形で表せ。ただし、 $0≦α<2π$ とする。

$15°$
$550°$
$80°$
$-570°$

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$π/12,π/12+2nπ$
$(55/18)π,(19/18)π+2nπ$
$(4/9)π,(4/9)π+2nπ$
$-(19/6)π,(5/6)π+2nπ$

問題5弧度法を度数法になおす

次の角を度数法で表せ。

$8π$
$-(7/3)π$
$-(43/12)π$
$-(21/10)π$

解答を見る

$1440°$
$-420°$
$-645°$
$-378°$

扇形の弧の長さと面積

扇形の弧の長さと面積を、弧度法をもちいて表してみよう。

図のように半径が $r$ ,中心角が $θ$ の扇形の弧の長さを $l$ ,面積を $S$ とすると、弧度法の定義より $θ=l/r$ だから

$∴l=rθ$ $①$

面積と中心角の比から

$S:θ=π r²:2π$ $∴S=(1/2)r²θ$ $②$

以上、 $①$ 、 $②$ より、 $S=(1/2)rl$ となる。

中心Oの円の中に、半径r、中心角θの扇形がグレーで塗りつぶされています。その太い弧の長さがl、扇形の面積がSと示されています。

定理4扇形の弧の長さと面積

半径が $r$ ,中心角が $θ$ (弧度法)の扇形の弧の長さを $l$ ,面積を $S$ とすると

$l=rθ S=(1/2)r²θ=(1/2)rl$

である。

中心角の位置にθ、下側の半径の線にr、弧の位置にlが表記された扇形がある。その扇形の内側には、面積を表す記号Sが描かれている。

頂点を上にして描かれた扇形があり、底辺に見立てた下の弧にl、頂点から弧の中点へ下ろした中央の破線の横に半径rが記されている。

問題6扇形の弧の長さと面積

次のような扇形の弧の長さ $l$ と面積 $S$ を求めよ。

半径が $9$ 、中心角が $(2/3)π$
半径が $3$ 、中心角が $π/5$

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$l=9\times(2/3)π=6π,$ $S=1/2\times9\times6π=27π$
$l=3\timesπ/5=(3/5)π,$ $S=1/2\times3\times(3/5)π=(9/10)π$

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学II 第3章 三角関数 — 一般角と弧度法

一般角

動径

角度の拡張

問題1一般角の練習〜その1〜

問題2一般角の練習〜その2〜

動径の表す角

定理1動径の表す角

問題3動径の表す角

弧度法

度数法の問題点

弧度法の定義

定義2弧度法

定理3弧度法での動径の表す角

問題4度数法を弧度法になおす

問題5弧度法を度数法になおす

扇形の弧の長さと面積

定理4扇形の弧の長さと面積

問題6扇形の弧の長さと面積

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