数学II 第4章指数と指数関数 — 累乗と累乗根

同じ数 $x$ を何回か掛けて $a$ という値になるとき、 $x$ を「 $a$ の累乗根」という。ここでは、累乗根に関する計算法則を学ぶ。

累乗と指数法則

累乗と指数法則について

\FTEXT 数学Iで学んだように、数 $a$ の $n$ 個の積 $個 n個 a\times a\times\dots\times a^$ を $a^n$ と書き、「 $a$ の $n$ 乗」と読む。つまり

$個 a\times a\times\dots\times a=a^n n個$

である。このとき、 $a$ の右上に乗っている数 $n$ のことを $a^n$ の指数（index number）という。 $a¹ = a$ とし、特に、 $a²$ のことを $a$ の平方（square）、 $a³$ のことを $a$ の立方（cube）という。また、 $a, a², a³, \dots$ を総称して $a$ の累乗（power）という。

累乗に関して

$個個 a²\times a⁴= (a\times a) 2個 \times (a\times a\times a\times a) 4個$ $=a⁶ (=a^2+4)$
$個個個個 (a²)⁴= (a\times a) 2個 (a\times a) 2個 (a\times a) 2個 (a\times a) 2個$ $=a⁸ (=a^2\times4)$
$(a\times b)⁴$ $=(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)$ $=a⁴\times b⁴$

などの例からわかるように、一般に次のような指数法則（law of exponents）が成り立つ。

定理1指数法則

$x, y$ が自然数のとき、次の関係が成り立つ。

$a^xa^y=a^x+y$
$(a^x)^y=a^xy$
$(ab)^x=a^xb^x$
$(a/b)^x=a^x/b^x$ （ただし $b\neq0$ ）

累乗根

累乗根とは何か

$2$ 乗して $3$ になる数を $3$ の平方根とよび $\pm\sqrt3$ と表していた。ここでは、 $2$ 乗だけに限らず、 $3$ 乗、 $4$ 乗、 $\dots$ の場合についても拡張して考えてみよう。

定義2 $n$ 乗根の定義

$n$ を自然数とする。 $n$ 乗すると $a$ になる数、つまり

$x^n=a$

となる $x$ の値を、 $a$ の $n$ 乗根（ $n$ th root）という。

ただし、高次方程式でみたように、複素数の範囲まで考えれば $1$ の $3$ 乗根は $1, (-1\pm\sqrt3i)/2$ の3個ある。以下では、 $n$ 乗根のうち実数であるものだけを考えることにする。

たとえば、 $2³ = 8$ なので、 $2$ は $8$ の $3$ 乗根である。また、 $2⁴ = 16$ であり $( - 2)⁴ = 16$ であるから、 $- 2$ と $2$ はともに $16$ の $4$ 乗根である。

特に、 $2$ 乗根を平方根（square root）、 $3$ 乗根を立方根（cubic root）という。また、 $2$ 乗根、 $3$ 乗根、 $4$ 乗根、 $\dots$ を総称して、 累乗根（radical root）という。

定理3 $a$ の $n$ 乗根の表し方

$0$ でない実数 $a$ の $n$ 乗根は、次のようになる。

原点を通る曲線 y=x^n が描かれ、y軸上の正の値 a から曲線上の点を通ってx軸上の正の値 n乗根a へと点線が引かれている。

$n$ が奇数のとき

$y = x^n$ のグラフは図のようになるので（たとえば $n = 3$ として $x$ を変化させて計算してみるとよい）、 $a$ の正負に関係なく、 $a$ の $n$ 乗根はただ1つだけ存在し、それを $\sqrt[n]a$ （ $n$ 乗根 $a$ と読む）と表す。

$\sqrt[n]a$ の正負は $a$ の正負と同じになる。

たとえば、 $2³ = 8$ であるから、 $\sqrt[3]8=2$ である。
$n$ が偶数のとき

$y = x^n$ のグラフは図のようになるので（たとえば $n = 4$ として $x$ を変化させて計算してみるとよい）、 $a$ が正のときに正と負の2つの $n$ 乗根が存在する。そのうち正のものを $\sqrt[n]a$ と表し、負のものを $-\sqrt[n]a$ と表す。

たとえば、 $2⁴ = 16, ( - 2)⁴ = 16$ であるから、

$\sqrt[4]16=2, -\sqrt[4]16=-2$ である。

なお、 $a$ が負のときには、 $a$ の $n$ 乗根は実数の範囲には存在しない。

$0$ は何乗しても $0$ なので、 $0$ の累乗根はすべて $0$ である。つまり、 $\sqrt[n]0=0$ である。

問題1累乗根の値を求める-その1-

次の値を求めよ。

$\sqrt[3]-27$
$-\sqrt[4]81$
$\sqrt[6]0.000001$
$\sqrt[3]0.125$

解答を見る

$- 27$ の $3$ 乗根、つまり $x³ = - 27$ となる $x$ は $- 3$ である。

$正 x³=-27 \Leftrightarrow x³+27=0 arrayc \Leftrightarrow (x+3)(x²-3x+9)=0 正 array$

よって

$\sqrt[3]-27=-3$
$81$ の $4$ 乗根、つまり $x⁴ = 81$ となる $x$ は $- 3$ と $3$ である。 $-\sqrt[4]81$ は負の方を表すから

$正 x⁴=81 \Leftrightarrow x⁴-81=0 \Leftrightarrow (x²-9)(x²+9)=0 arrayc \Leftrightarrow (x-3)(x+3)(x²+9)=0 正 array$

$-\sqrt[4]81=-3$

正の方の $\sqrt[4]81=3$ にマイナスがつき $- 3$ となると考えても良い
$0.000001$ の $6$ 乗根、つまり $x⁶ = 0.000001$ となる $x$ は $- 0.1$ と $0.1$ である。 $\sqrt[6]0.000001$ は正の方を表すから

$正 x⁶=0.000001 \Leftrightarrow x⁶-0.000001=0 \Leftrightarrow (x³-0.001)(x³+0.001)=0 arrayc (x-0.1)(x²+0.1x+0.01)=0 正 array$ または $正 arrayc (x+0.1)(x²-0.1x+0.01)=0 正 array$

$\sqrt[6]0.000001=0.1$
$0.125$ の $3$ 乗根、つまり $x³ = 0.125$ となる $x$ は $0.5$ である。よって

$正 x³=0.125 \Leftrightarrow x³-0.125=0 arrayc \Leftrightarrow (x-0.5)(x²+0.5x+0.25)=0 正 array$

$\sqrt[3]0.125=0.5$

$a$ の $n$ 乗根の表し方でもみたように、負の数 $a$ の $n$ 乗根は存在しないことがある。以下では簡単のため、特にことわりのない限り正の数 $a$ の $n$ 乗根について考えることにする。

一般に、累乗根について、次のことが成り立つ。

定理4累乗根の基本性質

$a > 0, b > 0$ で、 $m, n, l$ が自然数のとき、次の等式が成り立つ。

$(\sqrt[n]a )^n=a$
$\sqrt[n]a\sqrt[n]b=\sqrt[n]ab$
$\sqrt[n]a\sqrt[n]b=\sqrt[n]a/b$
$(\sqrt[n]a )^m=\sqrt[n]a^m$
$\sqrt[m]\sqrt[n]a=\sqrt[mn]a$
$\sqrt[n]a^m=\sqrt[nl]a^ml$

この基本法則により、たとえば $\sqrt[4]2\sqrt[4]8$ は2.と4.と1.を使い

$\sqrt[4]2\sqrt[4]8=\sqrt[4]2\times8=\sqrt[4]2⁴=(\sqrt[4]2)⁴=2$

と計算できる。

証明を見る

証明

$\sqrt[n]a$ の定義は、 $n$ 乗して $a$ になる数であるから、 $\sqrt[n]a$ を $n$ 乗すれば当然 $a$ になる。
$\sqrt[n]a>0, \sqrt[n]b>0$ より、 $\sqrt[n]a\sqrt[n]b>0$ であり、

$(\sqrt[n]a\sqrt[n]b)^n=(\sqrt[n]a)^n(\sqrt[n]b)^n$

指数法則の3.

$=ab$

累乗根の基本性質の1.

であるから、左辺の $\sqrt[n]a\sqrt[n]b$ は、 $ab$ の $n$ 乗根のうち正のもの、すなわち $\sqrt[n]ab$ を表す。
$\sqrt[n]a>0, \sqrt[n]b>0$ より、 $\sqrt[n]a\sqrt[n]b>0$ であり

$(\sqrt[n]a\sqrt[n]b)^n=(\sqrt[n]a)^n(\sqrt[n]b)^n$

指数法則の4.

$=a/b$

累乗根の基本性質の1.

であるから、左辺の $\sqrt[n]a\sqrt[n]b$ は、 $a/b$ の $n$ 乗根のうち正のもの、すなわち $\sqrt[n]a/b$ を表す。

∎

暗記1累乗根の基本性質の証明

指数法則を利用して、累乗の基本性質の4.～6.を証明せよ。

解答を見る

1. $(\sqrt[n]a)^m>0$ であり
${(√[n]a)^m}^n=(√[n]a)^mn$

指数法則2.

$={(√[n]a)^n}^m$

指数法則2.

$=a^m$

累乗根の基本性質1.

であるから、左辺の $(\sqrt[n]a)^m$ は、 $a^m$ の $n$ 乗根のうち正のものを表す。これは、右辺の $\sqrt[n]a^m$ にほかならない。
1. $\sqrt[m]\sqrt[n]a>0$ であり
${√[m]√[n]a}^mn={(√[m]√[n]a)^m}^n$

指数法則2.

$=(\sqrt[n]a)^n$

累乗根の基本性質1.

$=a$

累乗根の基本性質1.

であるから、左辺の $\sqrt[m]\sqrt[n]a$ は、 $a$ の $mn$ 乗根のうち正のものを表す。これは、右辺の $\sqrt[mn]a$ にほかならない。
1. $\sqrt[n]a^m>0$ であり
${√[n]a^m}^nl={(√[n]a^m)^n}^l$

指数法則2.

$=(a^m)^l$

累乗根の基本性質1.

$=a^ml$

指数法則2.

であるから、左辺の $\sqrt[n]a^m$ は、 $a^ml$ の $nl$ 乗根のうち正のものを表す。これは、右辺の $\sqrt[nl]a^ml$ にほかならない。

問題2累乗根の値を求める-その2-

次の式を簡単にせよ。

$\sqrt[3]4\sqrt[3]16$
$\sqrt[5]96\sqrt[5]3$
$\sqrt[3]216$
$\sqrt[3]\sqrt729$
$\sqrt[6]8$
$\sqrt[15]27$

解答を見る

$\sqrt[3]4\sqrt[3]16=\sqrt[3]4\times16 =\sqrt[3]4³=4$

$\sqrt[5]96\sqrt[5]3=\sqrt[5]96/3 =\sqrt[5]32=\sqrt[5]2⁵=2$

$\sqrt[3]216=\sqrt[3]6³=6$

$\sqrt[3]\sqrt729=\sqrt[6]729 =\sqrt[6]3⁶=3$

$\sqrt[6]8=\sqrt[6]2³=\sqrt[2・3]2^1・3 =\sqrt[2]2¹=\sqrt2$

$\sqrt[15]27=\sqrt[15]3³=\sqrt[5・3]3^1・3 =\sqrt[5]3$

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学II 第4章 指数と指数関数 — 累乗と累乗根

累乗と指数法則

累乗と指数法則について

定理1指数法則

累乗根

累乗根とは何か

定義2n乗根の定義

定理3aのn乗根の表し方

問題1累乗根の値を求める-その1-

定理4累乗根の基本性質

暗記1累乗根の基本性質の証明

問題2累乗根の値を求める-その2-

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数学II 第4章指数と指数関数 — 累乗と累乗根

定義2 $n$ 乗根の定義

定理3 $a$ の $n$ 乗根の表し方