累乗と累乗根の練習問題

Question 1

次の値を求めよ．
(1) √[3]-27
(2) -√[4]81
(3) √[6]0.000001
(4) √[3]0.125

Accepted Answer

(1) − 27の3乗根，つまりx³ = − 27となるxは − 3である．
よって
√[3]-27=-3
(2) 81の4乗根， つまりx^4 = 81となるxは − 3と3である． -√[4]81は負の方を表すから
-√[4]81=-3
正の方の√[4]81=3にマイナスがつき − 3となると考えても良い
(3) 0.000001の6乗根， つまりx^6 = 0.000001となるxは − 0.1と0.1である． √[6]0.000001は正の方を表すから
√[6]0.000001=0.1
(4) 0.125の3乗根， つまりx³ = 0.125となるxは0.5である．よって
√[3]0.125=0.5
aのn乗根の表し方でもみたように， 負の数aのn乗根は存在しないことがある． 以下では簡単のため，特にことわりのない限り正の数aのn乗根について考えることにする．
一般に，累乗根について，次のことが成り立つ．

Question 2

指数法則を利用して，累乗の基本性質の4.～6.を証明せよ．

Accepted Answer

・4.(√[n]a)^m0であり
{(√[n]a)^m}^n=(√[n]a)^mn 指数法則2.
={(√[n]a)^n}^m 指数法則2.
=a^m 累乗根の基本性質1.
であるから，左辺の(√[n]a)^mは，a^mのn乗根のうち正のものを表す． これは，右辺の√[n]a^mにほかならない．
・5.√[m]√[n]a0であり
{√[m]√[n]a}^mn={(√[m]√[n]a)^m}^n 指数法則2.
=(√[n]a)^n 累乗根の基本性質1.
=a 累乗根の基本性質1.
であるから，左辺の√[m]√[n]aは，aのmn乗根のうち正のものを表す． これは，右辺の√[mn]aにほかならない．
・6.√[n]a^m0であり
{√[n]a^m}^nl={(√[n]a^m)^n}^l 指数法則2.
=(a^m)^l 累乗根の基本性質1.
=a^ml 指数法則2.
であるから，左辺の√[n]a^mは，a^mlのnl乗根のうち正のものを表す． これは，右辺の√[nl]a^mlにほかならない．

数学II 第4章指数と指数関数 — 累乗と累乗根

累乗と指数法則

累乗と指数法則について

累乗根

累乗根とは何か

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