数学II 第8章本文の補足 II — 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式

一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式

FTEXT 数学IIのコーシー・シュワルツの不等式では、実数が2つずつの場合

$(ax+by)²≦(a²+b²)(x²+y²)$

と、3つずつの場合

$(ax+by+cz)² ≦ (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)$

をみた。ここでは、これを $n$ 個ずつの場合に一般化した不等式と、その3通りの証明をみておく。

定理1一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式

$a1, a2, \dots, an$ と $b1, b2, \dots, bn$ を実数とすると

$(a1b1+a2b2+\dots+anbn)² ≦ (a1²+a2²+\dots+an²) \times(b1²+b2²+\dots+bn²)$

が成り立つ。

等号が成立するのは、 $1≦ i < j≦ n$ を満たすすべての $i$ 、 $j$ について

$aibj-ajbi=0$

が成り立つとき、すなわち

$a1:a2:\dots:an=b1:b2:\dots:bn$

のときである。

問題1一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式の証明

上の一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式を証明せよ。また、等号が成立する条件も求めよ。

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［コーシー・ラグランジュの恒等式を用いる］

一般に

$Σak²Σbk²-(Σakbk)² = Σ(aibj-ajbi)²$

$①$

が成立する。これをコーシー・ラグランジュの恒等式という。

$①$ の右辺は実数の2乗の和であるから $0$ 以上であり、したがって

$(Σakbk)²≦Σak²Σbk²$

となって、題意の成立は明らかである。

また、等号が成立するのは $①$ の右辺のすべての項が $0$ のとき、すなわち $1≦ i < j≦ n$ を満たすすべての $i$ 、 $j$ について $aibj-ajbi=0$ のときである。

この等式の証明は帰納法による。

証明

$n$ についての数学的帰納法で示す。

i) $n = 2$ のとき

$①$ の左辺を計算すると

$(a1²+a2²)(b1²+b2²) -(a1b1+a2b2)² = a1²b2²-2(a1b2)(a2b1)+a2²b1² = (a1b2-a2b1)²$

となり、右辺と一致するので $①$ が成り立つ。

ii) $n$ （ただし $n≧2$ ）のとき $①$ が成り立つと仮定すると、 $n + 1$ のとき

$Σak²Σbk²-(Σakbk)² = (Σak²+an+1²)(Σbk²+bn+1²) -(Σakbk+an+1bn+1)² = Σak²Σbk²-(Σakbk)² +bn+1²Σak²-2an+1bn+1Σakbk +an+1²Σbk² = Σ(aibj-ajbi)² +Σ(akbn+1-an+1bk)² = Σ(aibj-ajbi)²$

となり、 $n + 1$ のときも $①$ が成り立つ。

i)、ii) より、 $2$ 以上のすべての整数 $n$ について $①$ が成り立つ。

∎

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［2次関数の判別式］

2次関数

$f(t)= (a1t-b1)²+(a2t-b2)² +\dots+(ant-bn)²$

とおくと

$f(t)= (a1²+a2²+\dots+an²)t² -2(a1b1+a2b2+\dots+anbn)t +(b1²+b2²+\dots+bn²)$

すべての実数 $t$ において、 $f(t)≧0$ なので

$D/4= (a1b1+a2b2+\dots+anbn)² -(a1²+a2²+\dots+an²) \times(b1²+b2²+\dots+bn²)≦0$

$∴(a1b1+a2b2+\dots+anbn)² ≦(a1²+a2²+\dots+an²) \times(b1²+b2²+\dots+bn²)$

等号成立は $D/4=0$ のとき、すなわち $a1t-b1=0, a2t-b2=0, \dots, ant-bn=0$ を同時に満たす $t$ が存在すること、すなわち

$b1=a1t, b2=a2t, \dots, bn=ant$

と書けることであり、これは

$a1:a2:\dots:an=b1:b2:\dots:bn$

のことである。

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［ベクトルの内積］

この解答は、FTEXT 数学Bのベクトルの内積を学んだ人向けのものである。

$a$ と $b$ をともに $0$ でないベクトルとし、そのなす角を $θ$ とすると $(a・b)²=|a|²|b|²cos²θ$ であるから、 $cos²θ≦1$ より、一般に

$|a|²|b|²≧(a・b)²$

が成立する。

$a=(a1, a2, \dots, an)$ 、 $b=(b1, b2, \dots, bn)$ を考えれば

$|a|²=a1²+a2²+\dots+an² |b|²=b1²+b2²+\dots+bn² a・b=a1b1+a2b2+\dots+anbn$

であるから、与式が成り立つ。

等号成立は $cosθ=\pm1$ つまり $θ=0°$ または $180°$ のとき。成分でいえば、 $aik=bi (i=1, 2, \dots, n)$ を満たす実数 $k$ が存在するとき、つまり

$a1:a2:\dots:an=b1:b2:\dots:bn$

のときである。

最終更新: 2026-08-20

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