数学II 第1章 式と証明 — 複素数

複素数とその演算

複素数の導入

1次方程式 は整数の範囲に解をもたないが，有理数の範囲では という解をもつ． また，2次方程式 は有理数の範囲に解をもたないが，実数の範囲では という解をもつ．

このように，数の考え方を広げることで，方程式が新しく解をもつ場合がある．

実数の2乗は負にはならないので，2次方程式 は実数の範囲に解をもたない． では，どのように数の考え方を広げれば，この方程式も解をもつだろうか． 以下では，そのことについて考えていく．

複素数の定義

2乗すると となる数を新しく考え，それを記号 で表し，虚数単位(imaginary unit)という．つまり

である．実数は2乗しても負にはならないので， は実数ではない．

さらに， を実数として の形に表される数を考え， それを複素数(complex number)という． また， は のことであると決めるので，やはり複素数である （ や は\FTEXTだけで使う表記であり，一般的な記号ではない．説明のため一時的にもちいるだけで，後に使わなくなる）．

たとえば

などは，どれも複素数である．

複素数 において， を実部(real part)， を虚部(imaginary part)という．

複素数の相等

2つの複素数の実部と虚部がそれぞれ等しいとき，その2つの複素数は等しいという．つまり

複素数の加法と減法

次に複素数どうしの加法と減法について定義する．

複素数の乗法

次に複素数どうしの乗法について定義する．

複素数の除法

次に複素数どうしの除法について定義する．

とを同一視する

⊕ と+ を同一視する

複素数 は，虚部が，すなわち のとき， となるが，これを単にと書き，実数のことだと考える． また，実部が，すなわち のとき， となるが，これを単にと書く． 特に， かつ のとき，を純虚数(pure imaginary)という.

このように決めると

注 単に のとき， を虚数(imaginary)という．

← を２つの複素数の和で書き換えた ← を をに書き換えた

と表せるので，結局 は と表してかまわない，つまりと は混同させてかまわないことになる．

これから以下では，はすべて + と表記するようにする．と も同様である．

複素数の性質

負の数の平方根

数の範囲を，いままでみてきたような複素数にまで拡張すれば，負の数の平方根を求めることができる． 例として， の平方根を求めてみよう．

の平方根は，方程式 の解である． を利用して

つまり， の平方根はとである． 一般には次のようにまとめられる．