数学II 第1章式と証明 — 複素数

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いままでは数といえば実数を扱ってきたが、ここではより広い数概念である、複素数を学ぶ。複素数を利用することにより、今まで表せなかったものが数式で表せるようになる。たとえば、大学の物理学の範囲ではあるが、物体の回転や振動といった運動を記述する際に活躍する。以下では、複素数の基本について学んでいこう。

複素数とその演算

複素数の導入

1次方程式 $3x - 2 = 0$ は整数の範囲に解をもたないが、有理数の範囲では $x=2/3$ という解をもつ。また、2次方程式 $x² = 3$ は有理数の範囲に解をもたないが、実数の範囲では $x=\pm\sqrt3$ という解をもつ。

このように、数の考え方を広げることで、方程式が新しく解をもつ場合がある。

実数の2乗は負にはならないので、2次方程式 $x² = - 3$ は実数の範囲に解をもたない。では、どのように数の考え方を広げれば、この方程式も解をもつだろうか。以下では、そのことについて考えていく。

内側から順に自然数、整数、有理数、実数、複素数という入れ子の枠で数の包含関係が示されている。それぞれの領域に、1や2などの自然数から2-3iなどの複素数まで具体的な例が書かれている。

複素数の定義

2乗すると $- 1$ となる数を新しく考え、それを記号 $i$ で表し、虚数単位(imaginary unit)という。つまり

$i²=-1$

である。実数は2乗しても負にはならないので、 $i$ は実数ではない。

さらに、 $a, b$ を実数として $a\oplusbi$ の形に表される数を考え、それを複素数(complex number)という。また、 $a⊖bi$ は $a\oplus(-b)i$ のことであると決めるので、やはり複素数である（ $\oplus$ や $⊖$ は\FTEXTだけで使う表記であり、一般的な記号ではない。説明のため一時的にもちいるだけで、後に使わなくなる）。

たとえば

$2\oplus3i , \sqrt2⊖4i , -2/3\oplus\sqrt5i$

などは、どれも複素数である。

複素数 $a\oplusbi$ において、 $a$ を実部(real part)、 $b$ を虚部(imaginary part)という。

問題1複素数

次の複素数の実部、虚部をいえ。

$\sqrt2\oplus3i$
$1\oplus2i$
$0\oplus0i$
$5⊖\sqrt7i$

解答を見る

実部は $\sqrt2$ 、虚部は $3$
実部は $1$ 、虚部は $2$
実部は $0$ 、虚部は $0$
実部は $5$ 、虚部は $-\sqrt7$

複素数の相等

2つの複素数の実部と虚部がそれぞれ等しいとき、その2つの複素数は等しいという。つまり

定義1複素数の相等

$a, b, c, d$ を実数とする。2つの複素数 $a\oplusbi$ と $c\oplusdi$ が等しいことを

$a\oplusbi=c\oplusdi \Leftrightarrow a=c$ かつ $b = d$

と定義する。

問題2複素数の相等

次の等式を満たす実数 $x, y$ を求めよ。

$(2x-y)\oplus(6x+2y)i=1\oplus8i$
$(x+2y)\oplus(3x-y)i=0\oplus0i$

解答を見る

$2x - y, 6x + 2y$ は実数なので、実部と虚部を比較すると

$2x-y=1 6x+2y=8$

これを解くと $x=1, y=1$ となる。
$x + 2y, 3x - y$ は実数なので、実部と虚部を比較すると

$x+2y=0 3x-y=0$

これを解くと $x=0, y=0$ となる。

$a, b$ を実数とするとき、複素数 $a\oplusbi$ を一文字のギリシア文字で表すことがある。つまり、 $α=a\oplusbi$ などと書く。複素数 $α=a\oplusbi$ に対して、 $a⊖bi$ を、 $α$ と共役(conjugate)な複素数といい、 $α$ で表す。

定義2共役な複素数

$a, b$ を実数とし、複素数 $α$ を $α=a\oplusbi$ とする。このとき、 $α$ を

$α=a⊖bi$

と定義する。 $α$ と $α$ は共役であるという。

複素数の加法と減法

次に複素数どうしの加法と減法について定義する。

定義3複素数の加法・減法

$a, b, c, d$ を実数とする。 2つの複素数 $と a\oplusbiとc\oplusdi$ の和を

$(a\oplusbi)+(c\oplusdi)=(a+c)\oplus(b+d)i$

差を

$(a\oplusbi)-(c\oplusdi)=(a-c)\oplus(b-d)i$

と定義する。

問題3複素数の加法と減法

次の計算をせよ。

$(1\oplus2i)+(3\oplusi)$
$(3⊖2i)-(4⊖i)$
$(1/2\oplus(1/3)i)+(1\oplus(2/3)i)$
$(1\oplus\sqrt2i)-(\sqrt3\oplus2\sqrt2i)$

解答を見る

$(1+3)\oplus(2+1)i=4\oplus3i$
$(3-4)\oplus(-2+1)i=-1⊖i$
$(1/2+1)\oplus(1/3+2/3)i =3/2\oplusi$
$(1-\sqrt3)\oplus(\sqrt2-2\sqrt2)i$ $=(1-\sqrt3)⊖\sqrt2i$

複素数の乗法

次に複素数どうしの乗法について定義する。

定義4複素数の乗法

$a, b, c, d$ を実数とする。 2つの複素数 $a\oplusbi$ と $c\oplusdi$ の積を

$(a\oplusbi)(c\oplusdi)=(ac-bd)\oplus(ad+bc)i$

と定義する。

この計算結果を暗記しようとすると難しい。そこで、 $(a\oplusbi)(c\oplusdi)$ の計算の $\oplus$ を $+$ とみなして、普通の文字式の計算と同じように展開していくと覚えやすい。

その際、 $i²$ がでてきたら $- 1$ に変えていけばよい。

$(a\oplusbi)(c\oplusdi)$ $=ac+(ad+bc)i+bdi²$ ←普通の文字式のように展開した $=ac+(ad+bc)i-bd$ ← $i²$ を $-1$ に変えた $=(ac-bd)\oplus(ad+bc)i$ ←実部と虚部にまとめた

この計算のやり方は、現時点ではただの記憶法にすぎないが、後に正当化される。

問題4複素数の乗法～その１～

次の計算をせよ。

$(1\oplus2i)(4\oplusi)$
$(1⊖2i)(3⊖i)$
$(1/2⊖i)(1\oplus(1/3)i)$
$(\sqrt3\oplusi)(\sqrt3⊖i)$

解答を見る

展開して計算していくと

$(1\oplus2i)(4\oplusi) =4+(1+8)i+2i² =4+9i-2 =2\oplus9i$
展開して計算していくと

$(1⊖2i)(3⊖i) =3+(-1-6)i+2i² =3-7i-2 =1⊖7i$
展開して計算していくと

$(1/2⊖i)(1\oplus(1/3)i) =1/2+(1/6-1)i-(1/3)i² =1/2-(5/6)i+1/3 =5/6⊖(5/6)i$
展開して計算していくと

$(\sqrt3\oplusi)(\sqrt3⊖i) =3+(-\sqrt3+\sqrt3)i-i² =3+0i+1 =4\oplus0i$

問題5複素数の乗法～その２～

複素数 $α$ において、 $αα$ の虚部は $0$ になることを証明せよ。

解答を見る

$α=a\oplusbi$ とおくと、 $α=a⊖bi$ であるから $αα=(a\oplusbi)(a⊖bi) =a²+(-ab+ab)i-b²i² =(a²+b²)\oplus0i$

複素数の除法

次に複素数どうしの除法について定義する。

定義5複素数の除法

$a, b, c, d$ を実数とする。 2つの複素数 $a\oplusbi$ と $c\oplusdi$ の商を

$a\oplusbic\oplusdi=(ac+bd)/(c²+d²)\oplus((bc-ad)/(c²+d²))i$

と定義する。ただし、 $c\neq0$ または $d\neq0$ とする。

乗法の場合と同じように、この計算結果も暗記するのは難しい。そこで、 $a\oplusbic\oplusdi$ の計算の $\oplus$ を、やはり $+$ とみなして、文字式と同様の計算をすると覚えやすい。

次の計算にあるように、計算の初めに分母に共役な複素数 $c⊖di$ を、分母と分子にかけ、分母を実数に変えるのがポイントである。

$a\oplusbic\oplusdi$ $=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)$ ←分母と分子に $c-di$ をかけた

$=(ac+(-ad+bc)i-bdi²)/(c²+(-cd+cd)i-d²i²)$ ←普通の文字式のように展開した $=(ac+(-ad+bc)i+bd)/(c²+d²)$ ← $i²$ を $-1$ に変えた $=(ac+bd+(bc-ad)i)/(c²+d²)$ ← $i$ をくくってまとめた $=(ac+bd)/(c²+d²)\oplus((bc-ad)/(c²+d²))i$ ← $i$ を含む項と含まない項に分けた

この計算のやり方も、現時点ではやはり記憶法にすぎないが、後に正当化される。

問題6複素数の除法

次の計算をせよ。

$1\oplusi3\oplus2i$
$1⊖2i2⊖i$
$3\oplusi3⊖i$
$\sqrt2⊖\sqrt3i\sqrt2\oplus\sqrt3i$

解答を見る

分母に共役な複素数を分母子にかけて

$1\oplusi3\oplus2i=(1+i)(3-2i)/(3+2i)(3-2i) =(3+(-2+3)i-2i²)/(9+(-6+6)i-4i²)=(3+i+2)/(9+4) =(5+i)/13=5/13\oplus(1/13)i$
分母に共役な複素数を分母子にかけて

$1⊖2i2⊖i=(1-2i)(2+i)/(2-i)(2+i) =(2+(1-4)i-2i²)/(4+(2-2)i-i²)=(2-3i+2)/(4+1) =(4-3i)/5=4/5⊖(3/5)i$
分母に共役な複素数を分母子にかけて

$3\oplusi3⊖i=(3+i)(3+i)/(3-i)(3+i) =(9+(3+3)i+i²)/(9+(3-3)i-i²)=(9+6i-1)/(9+1) =(8+6i)/10=4/5\oplus(3/5)i$
分母に共役な複素数を分母子にかけて

$\sqrt2⊖\sqrt3i\sqrt2\oplus\sqrt3i=(\sqrt2-\sqrt3i)(\sqrt2-\sqrt3i)/(\sqrt2+\sqrt3i)(\sqrt2-\sqrt3i) =(2+(-\sqrt6-\sqrt6)i+3i²)/(2+(-\sqrt6+\sqrt6)i-3i²) =(2-2\sqrt6i-3)/(2+3) =(-1-2\sqrt6i)/5=-1/5⊖(2\sqrt6/5)i$

$\oplus$ と $+$ を同一視する

⊕ と+ を同一視する

複素数 $a\oplusbi$ は、虚部が $0$ 、すなわち $b = 0$ のとき、 $a\oplus0i$ となるが、これを単に $a$ と書き、実数 $a$ のことだと考える。また、実部が $0$ 、すなわち $a = 0$ のとき、 $0\oplusbi$ となるが、これを単に $bi$ と書く。特に、 $a = 0$ かつ $b\neq0$ のとき、 $bi$ を純虚数(pure imaginary)という.

このように決めると

$a\oplusbi$ $=(a+0)\oplus(0+b)i$ ← $a\oplusbi$ を２つの複素数の和で書き換えた $=(a\oplus0i)+(0\oplusbi)$ $=a+bi$ ← $a\oplus0i$ を $a$ 、 $0\oplusbi$ を $bi$ に書き換えた

と表せるので、結局 $a\oplusbi$ は $a + bi$ と表してかまわない、つまり $\oplus$ と $+$ は混同させてかまわないことになる。

これから以下では、 $\oplus$ はすべて + と表記するようにする。 $⊖$ と $-$ も同様である。

暗記1複素数の実数条件と純虚数条件

$α$ を複素数とするとき、次のことを証明せよ。

「 $α$ が実数である」 $\Leftrightarrow α=α$ 「 $α$ が純虚数である」 $\Leftrightarrow α=-α$ かつ $α\neq0$

解答を見る

$α = a + bi$ とおくと、 $α=a-bi$ であるので

$α=α \Leftrightarrow α-α=0 \Leftrightarrow (a+bi)-(a-bi)=0 \Leftrightarrow (a-a)+(b+b)i=0 \Leftrightarrow 0+2bi=0 \Leftrightarrow 2b=0\Leftrightarrow b=0$

以上から、 $α = a + 0i$ つまり $α$ は実数である。
$α = a + bi$ とおくと、 $α=a-bi$ であるので

$α=-α \Leftrightarrow α+α=0 \Leftrightarrow (a+bi)+(a-bi)=0 \Leftrightarrow (a+a)+(b-b)i=0 \Leftrightarrow 2a+0i=0 \Leftrightarrow 2a=0\Leftrightarrow a=0$

以上から、 $α = 0 + bi$ となり、さらに $α\neq0$ より $b\neq0$ であるから、 $α$ は純虚数である。

定理6複素数の実数条件と純虚数条件

複素数 $α$ について、次のことがいえる。

「 $α$ が実数である」 $\Leftrightarrow α=α$

「 $α$ が純虚数である」 $\Leftrightarrow α=-α$ かつ $α\neq0$

複素数の性質

暗記2複素数の性質

複素数 $α, β$ において

$αβ=0\Leftrightarrow α=0$ または $β = 0$

を証明せよ。

解答を見る

は明らかなので、以下では $\Rightarrow$ を証明する。

$α = a + bi, β = c + di$ とおく。

$αβ = 0$ の両辺に $α$ をかけて

$ααβ=0 ∴(a-bi)(a+bi)(c+di)=0 \Leftrightarrow (a²+b²)(c+di)=0 \Leftrightarrow (a²+b²)c+(a²+b²)di=0$

よって

$(a²+b²)c=0 (a²+b²)d=0$ (上の式を①、下の式を②とする。)

①となるのは、 $a² + b² = 0$ つまり $a = b = 0$ 、または $c = 0$ のときである。

$a = b = 0$ のときは、②も成立。

$a = b = 0$ でないとき、すなわち $a² + b²\neq0$ のときは、①より $c = 0$ 、②より $d = 0$ となる。

以上より、( $a = 0$ かつ $b = 0$ )または( $c = 0$ かつ $d = 0$ )、つまり $α = 0$ または $β = 0$ が示せた。

暗記3共役な複素数の性質

$α, β$ を複素数とするとき、次の等式を証明せよ。

$α+β=α+β$
$α-β=α-β$
$αβ=αβ$
$（ただし、） α/β=α/β （ただし、β\neq0）$

解答を見る

$α = a + bi, β = c + di$ とおく。

（左辺）

$=(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i =(a+c)-(b+d)i$

（右辺）

$=a+bi+c+di =(a-bi)+(c-di) =(a+c)-(b+d)i$

以上より、（左辺） $=$ （右辺）となる。

（左辺）

$=(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i =(a-c)-(b-d)i$

（右辺）

$=a+bi-c+di =(a-bi)-(c-di) =(a-c)-(b-d)i$

以上より、（左辺） $=$ （右辺）となる。

（左辺）

$=(a+bi)(c+di) =ac+(ad+bc)i+bdi² =(ac-bd)+(ad+bc)i =(ac-bd)-(ad+bc)i$

（右辺）

$=a+bi c+di =(a-bi)(c-di) =ac-(ad+bc)i+bdi² =(ac-bd)-(ad+bc)i$

以上より、（左辺） $=$ （右辺）となる。

（左辺）

$=((a+bi)/(c+di)) =((a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)) =((ac-(ad-bc)i-bdi²)/(c²+(-cd+cd)i-d²i²)) =((ac+bd)/(c²+d²)-((ad-bc)/(c²+d²))i) =(ac+bd)/(c²+d²)+((ad-bc)/(c²+d²))i$

（右辺）

$=(a+bi)/(c+di) =(a-bi)/(c-di) =(a-bi)(c+di)/(c-di)(c+di) =(ac+(ad-bc)i-bdi²)/(c²+(cd-cd)i-d²i²) =((ac+bd)+(ad-bc)i)/(c²+d²) =(ac+bd)/(c²+d²)+((ad-bc)/(c²+d²))i$

以上より、（左辺）=（右辺）となる。

負の数の平方根

数の範囲を、いままでみてきたような複素数にまで拡張すれば、負の数の平方根を求めることができる。例として、 $- 3$ の平方根を求めてみよう。

$- 3$ の平方根は、方程式 $x² = - 3$ の解である。 $i² = - 1$ を利用して

$x²=3i² \Leftrightarrow x²-3i²=0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3i)(x+\sqrt3i)=0 \Leftrightarrow x=\sqrt3i, -\sqrt3i$

つまり、 $- 3$ の平方根は $\sqrt3i$ と $-\sqrt3i$ である。一般には次のようにまとめられる。

定義7負の数の平方根

$a > 0$ のとき、 $- a$ の平方根は、 $\sqrtai$ と $-\sqrtai$ である。

特に、 $- 1$ の平方根は $i$ と $- i$ である。

問題7負の数の平方根

次の数の平方根を求めよ。

$- 36$
$- 20$
$-49/81$
$-5/12$

解答を見る

$\pm\sqrt36i=\pm6i$
$\pm\sqrt20i=\pm2\sqrt5i$
$\pm\sqrt(49/81)i=\pm7/9i$
$\pm\sqrt(5/12)i=\pm(\sqrt5/2\sqrt3)i=\pm(\sqrt15/6)i$

負の数 $- a$ の平方根のうち、 $\sqrtai$ のことを $\sqrt(-a)$ と表す。

定義8負の数の平方根の表し方

$a > 0$ のとき、 $\sqrt(-a)=\sqrtai$ とする。

問題8負の数の平方根の計算

次の式を計算せよ。

$\sqrt(-9)+\sqrt(-1)$
$\sqrt(-48)-\sqrt(-75)$
$\sqrt24\sqrt(-18)$
$\sqrt(-2)\sqrt(-8)$
$\sqrt(-15)/\sqrt108$
$\sqrt80/\sqrt(-10)$

解答を見る

$\sqrt(-9)+\sqrt(-1)=3i+i=4i$
$\sqrt(-48)-\sqrt(-75)=4\sqrt3i-5\sqrt3i$

$=-\sqrt3i$
$\sqrt24\sqrt(-18)=2\sqrt6\times3\sqrt2i=12\sqrt3i$
$\sqrt(-2)\sqrt(-8)=\sqrt2i\times2\sqrt2i=4i²=-4$
$\sqrt(-15)/\sqrt108=(\sqrt15/6\sqrt3)i =(\sqrt5/6)i$
$\sqrt80/\sqrt(-10)=4\sqrt5/\sqrt10i =-(4\sqrt5/\sqrt10)i=-2\sqrt2i$

$a, b$ が実数のとき $\sqrta\sqrtb=\sqrtab , \sqrta/\sqrtb=\sqrt(a/b)$ は一般には成り立たない。このことを、次の例題で確認しておこう。

問題9負の数の根号の計算

次の問いに答えよ。ただし、 $a > 0$ かつ $b > 0$ のとき、 $\sqrta\sqrtb=\sqrtab$ および $\sqrta/\sqrtb=\sqrt(a/b)$ が成り立つことは使ってよい。

$a < 0$ かつ $b < 0$ のとき、 $\sqrta\sqrtb\neq\sqrtab$ であることを証明せよ。
$a > 0$ かつ $b < 0$ のとき、 $\sqrta/\sqrtb\neq\sqrt(a/b)$ であることを証明せよ。

解答を見る

(1) $a < 0$ かつ $b < 0$ のとき

（左辺）

$=\sqrta\sqrtb=\sqrt(-(-a))\sqrt(-(-b)) =\sqrt(-a)i\sqrt(-b)i=\sqrt(-a)(-b)i² =-\sqrtab$

$\neq$ （右辺）

$a < 0$ かつ $b < 0$ より $ab > 0$ であるから、 $\sqrtab > 0$ であり、 $-\sqrtab\neq\sqrtab$ となる。
(2) $a > 0$ かつ $b < 0$ のとき

（左辺）

$=\sqrta/\sqrt(-(-b))=\sqrta/\sqrt(-b)i =-(\sqrta/\sqrt(-b))i=-\sqrt(-a/b)i =-\sqrt(-(-a/b))=-\sqrt(a/b)$

$\neq$ （右辺）

$a > 0$ かつ $b < 0$ より $a/b < 0$ であるから、 $\sqrt(a/b)=\sqrt(-a/b)i\neq0$ であり、 $-\sqrt(a/b)\neq\sqrt(a/b)$ となる。

2次方程式の解の公式の拡張

2次方程式の解の公式の拡張について

実数 $a, b, c$ を係数にもつ2次方程式

$ax²+bx+c=0$

$①$

を解くことを考える。 \FTEXT 数学Iで学んだときには、解を実数の範囲でしか考えていなかったが、ここではより広く複素数の範囲で解を考えることにする。

$①$ を変形していくと

$ax²+bx+c=0 \Leftrightarrow x²+(b/a)x+c/a=0 \Leftrightarrow (x+b/2a)²-b²/4a²+c/a=0 \Leftrightarrow (x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²$

複素数の範囲では負の数の平方根も求められるので、 $b² - 4ac$ の符号が何であっても

$x+b/2a=\pm\sqrt(b²-4ac)/2a$

と表せ、 $x=(-b\pm\sqrt(b²-4ac))/2a$ となる。

定理92次方程式の解の公式の拡張

実数 $a, b, c$ を係数にもつ2次方程式 $ax² + bx + c = 0$ の解は（ $b² - 4ac$ の値の符号が何であっても）

$x=(-b\pm\sqrt(b²-4ac))/2a$

と表せる。

問題102次方程式の複素数の範囲での解

次の2次方程式を解け。

$2x² + 5x + 1 = 0$
$3x² - 2x + 2 = 0$
$\sqrt2x²+4x+3\sqrt2=0$
$(\sqrt3-1)x²-2x+3\sqrt3+3=0$

解答を見る

2次方程式の解の公式より

$x=(-5\pm \sqrt(5²-4・ 2・ 1))/(2・ 2) =(-5\pm\sqrt17)/4$
2次方程式の解の公式より

$x=(1\pm \sqrt((-1)²-3・ 2))/3 =1\pm\sqrt5i/3$
両辺に $\sqrt2$ を掛けると

$\Leftrightarrow 2x²+4\sqrt2x+6=0 \Leftrightarrow x²+2\sqrt2x+3=0$

であるから、2次方程式の解の公式より

$x=(-\sqrt2\pm\sqrt((\sqrt2)²-1・ 3))/1 =-\sqrt2\pm i$
両辺に $(\sqrt3+1)$ を掛けると

$\Leftrightarrow (\sqrt3-1)(\sqrt3+1)x² -2(\sqrt3+1)x +(3+3\sqrt3)(\sqrt3+1)=0 \Leftrightarrow 2x²-2(\sqrt3+1)x +3(\sqrt3+1)²=0$

であるから、2次方程式の解の公式より

$x= (\sqrt3+1)/2 \pm\sqrt((\sqrt3+1)²-2・ 3(\sqrt3+1)²)/2 = (\sqrt3+1)/2(1\pm\sqrt5i)$

2次方程式の判別式

2次方程式 $ax² + bx + c = 0$ について、\FTEXT 数学Iでは

$D = b² - 4ac > 0$ のとき、2つの異なる解をもつ。
$D = b² - 4ac = 0$ のとき、重解をもつ。
$D = b² - 4ac < 0$ のとき、解は存在しない。

と学んだが、解を複素数の範囲まで拡張して考えるならば、次のようにまとめられる。

定理102次方程式の判別式

実数 $a, b, c$ を係数にもつ2次方程式 $ax² + bx + c = 0$ の判別式 $D = b² - 4ac$ について

$D = b² - 4ac > 0$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。
$D = b² - 4ac = 0$ のとき、重解（実数解）をもつ。
$D = b² - 4ac < 0$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。

となる。

問題11解の判別

次の2次方程式の解を判別せよ。

$x² - 4x + 2a + 1 = 0$
$x² + (a - 1)x - a + 3 = 0$

解答を見る

判別式を $D$ とすると

$D/4=(-2)²-(2a+1)=3-2a$
1. $D/4 > 0$ 、すなわち $a<3/2$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。
2. $D/4=0$ 、すなわち $a=3/2$ のとき、重解をもつ。
3. $D/4 < 0$ 、すなわち $a>3/2$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。
判別式を $D$ とすると

$D=(a-1)²-4(-a+3) =a²+2a-11$

$y = a² + 2a - 11$ のグラフは下に凸な放物線で、 $a²+2a-11=0$ の解が $a=-1\pm2\sqrt3$ であるから
1. $D > 0$ 、すなわち $a<-1-2\sqrt3, -1+2\sqrt3< a$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。
2. $D = 0$ 、すなわち $a=-1\pm 2\sqrt3$ のとき、重解をもつ。
3. $D < 0$ 、すなわち $-1-2\sqrt3< a<-1+2\sqrt3$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学II 第1章 式と証明 — 複素数

複素数とその演算

複素数の導入

複素数の定義

問題1複素数

複素数の相等

定義1複素数の相等

問題2複素数の相等

定義2共役な複素数

複素数の加法と減法

定義3複素数の加法・減法

問題3複素数の加法と減法

複素数の乗法

定義4複素数の乗法

問題4複素数の乗法～その１～

問題5複素数の乗法～その２～

複素数の除法

定義5複素数の除法

問題6複素数の除法

⊕と+を同一視する

暗記1複素数の実数条件と純虚数条件

定理6複素数の実数条件と純虚数条件

複素数の性質

暗記2複素数の性質

暗記3共役な複素数の性質

負の数の平方根

定義7負の数の平方根

問題7負の数の平方根

定義8負の数の平方根の表し方

問題8負の数の平方根の計算

問題9負の数の根号の計算

2次方程式の解の公式の拡張

2次方程式の解の公式の拡張について

定理92次方程式の解の公式の拡張

問題102次方程式の複素数の範囲での解

2次方程式の判別式

定理102次方程式の判別式

問題11解の判別

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数学II 第1章式と証明 — 複素数

$\oplus$ と $+$ を同一視する