数学II 第8章本文の補足 II — 多項式が恒等的に0になる条件の証明

多項式が恒等的に0になる条件の証明

ここでは、数学II「式と証明」の等式の証明であげた、次の定理を証明する。証明には多項式の除法で学ぶ『因数定理』を使うので、そこまで進んだあとに読むとよい。

$f(x)=anx^n+an-1x^n-1+\dots+a1x+a0$ とするとき、

「 $f(x)=0$ が恒等式である」 $\Leftrightarrow an=an-1=\dots=a1=a0=0$

が成り立つ。

は明らかなので、以下 $\Rightarrow$ の証明を行う。

証明を見る

証明

$f(x)=0$ が恒等式である、すなわち $x$ にどのような値を代入しても成り立つから、相異なる $n+1$ 個の数、 $α1, α2, \dots, αn, αn+1$ に対して $f(α1)=f(α2)=\dots=f(αn)=f(αn+1)=0$ が成り立つ。

このとき、『因数定理』より $f(x)=(x-α1)(x-α2)\dots(x-αn+1)Q(x)$ と書けるが、 $f(x)$ は $n$ 次以下の多項式であるから、 $Q(x)=0$ となり、 $f(x)=0$ が成り立つ。

以上より、「 $f(x)=0$ が恒等式である」ことと、 $f(x)$ の各項の係数がすべて $0$ になる、すなわち $an=an-1=\dots=a1=a0=0$ となることとは同値である。

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最終更新: 2026-08-20

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