数学II 第1章式と証明 — 多項式の除法

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多項式の除法の基本定理

整数の割り算（多項式の除法）

まず，小学校以来慣れ親しんできた，整数の除法(integer division)について復習する．

たとえば，右図のような計算により， $17$ を $3$ で割ると，商は $5$ で余りは $2$ とわかる．この関係を式で表すと

$17=3\times5+2$

となる．

このとき， $17$ を割られる数， $3$ を割る数と呼ぶので，一般的には次のような関係が成り立つ．

（割られる数） $＝＝$ （割る数） $\times$ （商） $＋＋$ （余り）

また，（割る数） $>$ （余り） $≧ 0$ の関係がある．

整数の除法とは何か，つまり整数 $a$ を整数 $b$ で割ったときの商と余りを求めるとはどういうことなのかをきちんと定義すると

$a=b・ Q+r (0≦r< Q)$

を満たす整数 $Q$ と $r$ を求めることとなる. そして，この求まった値 $Q$ と $r$ をそれぞれ，商と余りと呼ぶのである．

「筆算したもの」という記述のもと、17を3で割る割り算の筆算が示されている。割る数が3、割られる数が17で、筆算の上部に商の5、最下部に余りの2が書かれている。

多項式の次数の表し方

まず，多項式の次数を表す記号を定義しておこう．

定義1多項式の次数

多項式 $f(x)$ の次数を $deg f(x)$ と表す．

たとえば， $， f(x) = x3 - 4x2 + 5x - 1，$ $g(x) = 3x2 - 4x + 5$ とするとき， $， deg f(x) = 3，deg g(x) = 2$ である．

多項式の除法について

整数の除法に続き，今度は多項式の除法(polynomial division)について考えてみる．

たとえば，「 $x³ - x² + 2x - 3$ を $x² + 2x - 1$ で割る」とは

$x³-x²+2x-3 =(x²+2x-1)Q(x)+r(x)$

と変形することであると定義する．ただし，このとき $， Q(x)，r(x)$ は共に $x$ の多項式であり， $deg(x² + 2x - 1) > deg r(x)$ であるとする．この結果の $Q(x)$ と $r(x)$ をそれぞれ，多項式の除法における商(quotient)と余り(remainder)と呼ぶ．

定義2多項式の除法

多項式 $， f(x)，g(x)$ において

$f(x)=g(x)Q(x)+r(x) (deg r(x) < deg g(x))$

と変形できたとき， $Q(x)$ を商， $r(x)$ を余りという．

特に，余り $r(x)$ が $0$ のとき， $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れるという．

さきほどの例では，商 $Q(x)$ は $x - 3$ ，余り $r(x)$ は $9x - 6$ となる．つまり

$x³-x²+2x-3 =(x²+2x-1)\times(x-3)+(9x-6)$

となる．各自，以下の2点について確認しておこう．

上の式の右辺を展開すると左辺と等しいこと
$x² + 2x - 1$ の次数が余り $9x - 6$ の次数より大きいこと

以下では，多項式の除法の計算方法についてみていく．

多項式の除法の計算方法

ここでは， $x⁴ + 3x³ - 4x + 3$ を $x² - 3x + 1$ で割ったときの商と余りを求める方法を例として，具体的な計算方法を見ていく．計算方法には次の2つの方法がある．

問題1除法の計算方法～筆算形式～

$x⁴ + 3x³ - 4x + 3$ を $x² - 3x + 1$ で割ったときの商と余りを求めよ．

解答を見る

STEP1

まず，整数の割り算と同じように，下図のように書いておく．この例題では，割られる多項式には $x²$ の項はないが，その場合でも適度にスペースを空け，計算できるようにしておく．

割る式 x^2-3x+1 の右側に割り算の筆算の記号が付いており、その中に割られる式 x^4+3x^3 と、x^2の項の場所をあけて -4x+2 が書かれている。

STEP2

$x² - 3x + 1$ に何をかけて引くと， $x⁴ + 3x³ - 4x + 2$ の最高次の項 $x⁴$ が消えるかを考える．この例題では $x²$ なので， $x²$ を下図のように書く．

多項式の除法の筆算で、割る式 x^2-3x+1 と割られる式 x^4+3x^3-4x+2 が配置され、上の横線に商の一部である x^2 が x^4 の真上に書かれている。

STEP3

下図のようにして， $x² - 3x + 1$ に $x²$ をかけた式を $x⁴ + 3x³ - 4x + 2$ から引く．

x^2-3x+1でx^4+3x^3-4x+2を割る筆算。商にx^2を立て、x^4+3x^3-4x+2からx^4-3x^3+x^2を引いた結果の6x^3-x^2-4xまでが書かれている。

STEP4

STEP2と同じように， $6x³$ が消えるように $x² - 3x + 1$ に $6x$ をかけて引く．

多項式 x^4+3x^3-4x+2 を x^2-3x+1 で割る筆算で、商の x^2+6x まで計算が進んでいる。6x^3-x^2-4x から 6x^3-18x^2+6x を引き、17x^2-10x+2 が一番下に書かれている。

STEP5

同じように， $17x²$ が消えるように $x² - 3x + 1$ に $17$ をかけて引く．

x^2-3x+1 で x^4+3x^3-4x+2 を割る筆算で、計算の最後までが表されている。上に商の x^2+6x+17 が、最下段には引いた結果の 41x-15 が書かれている。

STEP6

最下段の $41x - 15$ の次数が，割る多項式 $x² - 3x + 1$ の次数より低いので，ここでやめる．

x^4+3x^3-4x+2をx^2-3x+1で割る筆算の計算が完了しており、上に商のx^2+6x+17、最下段にあまりの41x-15が書かれている。

この結果から $x⁴+3x³-4x+2 =(x²+6x+17)(x²-3x+1)+41x-15$
となることがわかり，商は $x² + 6x + 17$ ，余りは $41x - 15$ とわかる．

問題2除法の計算方法～暗算形式～

$x⁴ + 3x³ - 4x + 3$ を $x² - 3x + 1$ で割ったときの商と余りを求めよ．

解答を見る

STEP1

まず，右辺を展開したときに $x⁴$ が現れるように，下のように書く．

$x⁴+3x³-4x+2 =(x²-3x+1)(x² )$

STEP2

このままでは，右辺の $x³$ の係数は $- 3$ となり，左辺の $3$ と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 6x$ を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに $x³$ の係数が $3$ となり，左辺とあう．

$x⁴+3x³-4x+2 =(x²-3x+1)(x²+6x )$

STEP3

しかし，このままでは，右辺の $x²$ の係数は $- 17$ となり，左辺の $0$ と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 17$ を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに $x²$ の係数が $0$ となり，左辺とあう．

$x⁴+3x³-4x+2 =(x²-3x+1)(x²+6x+17)$

STEP4

しかし，このままでは，右辺の $x$ の係数は $- 45$ となり，左辺の $- 4$ と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 41x$ を右のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに $x$ の係数が $- 4$ となり，左辺とあう．

$x⁴+3x³-4x+2 =(x²-3x+1)(x²+6x+17)+41x$

STEP5

最後に，右辺の定数項 $17$ と左辺の定数項 $2$ を合わせるため，右のように $- 15$ を書く．こうすれば，右辺を展開したときの定数項が $17$ となり，左辺とあう．

$x⁴+3x³-4x+2 =(x²-3x+1)(x²+6x+17) +41x-15$

この結果から，商は $x² + 6x + 17$ ，余りは $41x - 15$ とわかる．

問題3多項式の除法～その１～

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを求めよ．

$， x² + 2x + 1，x - 1$
$， x³ + 3，x + 1$
$， x³ + x² + 4x + 3，x² - x + 1$
$， x⁴ + 2x³ - 3x² + 5x + 6，x² + x - 1$

解答を見る

計算すると（筆算形式は下図を参照）

$x²+2x+1=(x-1)(x+3)+4$

となるので，商は $x+3$ ，余りは $4$ である．

計算すると（筆算形式は下図を参照）

$x³+3=(x+1)(x²-x+1)+2$

となるので，商は $x²-x+1$ ，余りは $2$ である．

計算すると（筆算形式は下図を参照）

$x³+x²+4x+3 =(x²-x+1)(x+2)+5x+1$

となるので，商は $x+2$ ，余りは $5x+1$ である．

計算すると（筆算形式は下図を参照）

$x⁴+2x³-3x²+5x+6 =(x²+x-3)(x²+x-1)+9x+3$

となるので，商は $x²+x-3$ ，余りは $9x+3$ である．

問題4多項式の除法～その２～

$x² + 2x - 3$ で割ると，商が $x + 1$ ，余りが $x + 2$ になる多項式を求めよ.
$2x³ - 3x² + 2x + 4$ を割ると，商が $2x + 1$ ，余りが $2x + 3$ になる多項式を求めよ．

解答を見る

求める多項式を $f(x)$ とすると，商が $x + 1$ ，余りが $x + 2$ であるから

$f(x) =(x+1)(x²+2x-3)+x+2 =x³+3x²-x-3+x+2 =x³+3x²-1$
求める多項式を $f(x)$ とおくと

$2x³-3x²+2x+4 =f(x)(2x+1)+2x+3 \Leftrightarrow f(x)(2x+1)=2x³-3x²+1 \Leftrightarrow f(x)(2x+1) =(2x+1)(x²-2x+1) ∴f(x)=x²-2x+1$

であるから，求める多項式は $x²-2x+1$ である．

多項式の除法の一意性

ここまで計算してきた経験から，多項式の除法では，商や余りが必ず存在し，さらにそれらが一通りに定まることは明らかであろう．

一般に，ある定義で定められたものがただ一通りに定まることを一意性(uniqueness)という．次に，多項式の除法の一意性について，まとめておこう．

定理3多項式の除法の一意性

多項式 $， f(x)，g(x)$ において

$f(x)=g(x)Q(x)+r(x) (deg r(x) < deg g(x))$

を満たす多項式 $， Q(x)，r(x)$ が

ただ一通りに

存在する．

【証明：背理法】

【証明：背理法】

多項式 $f(x)$ と $g(x)$ について

$f(x)=g(x)Q1(x)+r1(x)$ $deg r1(x) < deg g(x)$ $①$

$f(x)=g(x)Q2(x)+r2(x)$ $deg r2(x) < deg g(x)$ $②$

と2通りに表されたとする．

$①-②$ より

$0=g(x)Q1(x)+r1(x) -g(x)Q2(x)-r2(x) \Leftrightarrow g(x){Q1(x)-Q2(x)} =r2(x)-r1(x)$ $③$

となる．

$③$ において， $Q1(x) - Q2(x)$ が $0$ ではないとすると，左辺の次数が右辺の次数より大きくなってしまう．よって， $Q1(x) - Q2(x)$ は $0$ ，つまり $Q1(x) = Q2(x)$ である．

また，このとき③の左辺は $0$ となるので

$0=r2(x)-r1(x) \Leftrightarrow r1(x)=r2(x)$

以上より，商と余りが一致することが示されたので，多項式の除法の商と余りは一通りに定まることが証明された．

1次の多項式の除法の計算方法

多項式の除法において，特に1次式で割る場合には，前節で紹介した2つの方法以外にも，覚えておきたい計算方法が2つある．

組立除法

ここでは， $x³ + 2x² + 3x + 1$ を $x - 2$ で割ったときの商と余りを求めることを例として，具体的な計算方法を見ていく．

ここではまず，組立除法(synthetic division)という計算方法について学ぶ．

$a0x³ + a1x² + a2x + a3$ を $x - α$ で割ったときの，商を $b0x² + b1x + b2$ ，余りを $R$ とすると

$a0x³+a1x²+a2x+a3 =(x-α)(b0x²+b1x+b2)+R$

と表せるが，右辺を展開して整理すると

左上に枠で囲まれたα、その右にa0, a1, a2, a3が並び、横線の下にb0, b1, b2と枠内のRが並ぶ。a0から直下のb0へ、b0, b1, b2から右上のαb0, αb1, αb2へ矢印が向かっている。

$a0x³+a1x²+a2x+a3 =b0x³+(b1-α b0)x² +(b2-α b1)x+R-α b2$

となるので，両辺の係数を比較することにより

$a0=b0 , a1=b1-α b0 , a2=b2-α b1 , a3=R-α b2$

が成り立つ．

これから， $，，，， b0，b1，b2，b3，R$ を解くことにより，商の係数や余りは

$b0=a0 , b1=a1+α b0 , b2=a2+α b1 , R=a3+α b2$

と計算できる．

この計算の手順は，右上の図のように考えればよい．

左上に2を置き、1行目に1、-4、2、5を並べ、下向きや斜め上の矢印に沿って計算を進め、最下行に商の係数である1、-2、-2と枠で囲まれた余りの1を導く組立除法の過程。

たとえば， $x³ - 4x² + 2x + 5$ を $x - 2$ で割ったときには，右図のような計算結果になるので

商は $x² - 2x - 2$ 余り1

と求まる．

問題5例題(組立除法)

$x³ + 2x² + 3x + 1$ を $x - 2$ で割ったときの商と余りを組立除法で計算せよ．

解答を見る

組立除法を実行すると

左上に2を置き、1行目に1, 2, 3, 1、2行目に2, 8, 22を並べている。横線の下の最下行には1, 4, 11と、枠で囲まれた23が並んでいる。

となるので，商は $x²+4x+11$ ，余りは $23$ となる．

$x-a$ で展開するということ

x−a で展開するということ

たとえば，多項式 $x³ - 4x² + 2x + 5$ は

$x³-4x²+2x+5 =(x-1)³-(x-1)²-3(x-1)+8$

のように表すことができる（右辺を展開して左辺と等しくなることを確かめてみよ）．このような変形を行ったとき，右辺のような形の式のことを $x - 1$ で展開された式という．

このように変形するには，次の手順を踏めばよい．

STEP1

まず， $x³ - 4x² + 2x + 5$ の各項から，無理やり $(x - 1)$ をくくる．このとき， $x = (x - 1) + 1$ とみるのがポイントである．

$x³-4x²+2x+5 ={(x-1)+1}³-4{(x-1)+1}² +2{(x-1)+1}+5$

STEP2

次に， $(x - 1)$ のかたまりを崩さないように，展開していく．

${(x-1)+1}³-4{(x-1)+1}² +2{(x-1)+1}+5 ={(x-1)³+3(x-1)². . +3(x-1)+1} -4{(x-1)²+2(x-1)+1} +2{(x-1)+1}+5$

STEP3

最後に，同類項どうしで整理する．

${(x-1)³+3(x-1)²+3(x-1)+1} -4{(x-1)²+2(x-1)+1} +2{(x-1)+1}+5 =(x-1)³+3(x-1)²+3(x-1)+1 -4(x-1)²-8(x-1) -4+2(x-1)+2+5 =(x-1)³-(x-1)²-3(x-1)+8$

このような変形を利用して，1次式の割り算を考えることもできる．

問題6例題( $x-a$ で展開するということ)

$x³ + 2x² + 3x + 1$ を $x - 2$ で割ったときの商と余りを， $x³ + 2x² + 3x + 1$ を $x - 2$ で展開することにより求めよ．

解答を見る

まず， $x³ + 2x² + 3x + 1$ を $x - 2$ で展開する．

$x³+2x²+3x+1 ={(x-2)+2}³+2{(x-2)+2}² +3{(x-2)+2}+1 ={(x-2)³+6(x-2)²+12(x-2)+8} +2{(x-2)²+4(x-2)+4} +3{(x-2)+2}+1 =(x-2)³+6(x-2)² +12(x-2)+8+2(x-2)² +8(x-2)+8+3(x-2)+6+1 =(x-2)³+8(x-2)²+23(x-2)+23$

次に，この式を $(x - 2)$ でくくると

$(x-2)³+8(x-2)²+23(x-2)+23 =(x-2){(x-2)²+8(x-2)+23} +23$

最後に，中括弧の中を展開すると

$(x-2){(x-2)²+8(x-2)+23}+23 =(x-2)(x²-4x+4+8x-16+23) +23 =(x-2)(x²+8x+11)+23$

となるので，結局

$x³+2x²+3x+1 =(x-2)^A(x²+8x+11)^B+23^C$

と変形できる．

多項式の除法の一意性より，（ $A$ の次数） $>$ （ $C$ の次数）を満たす関係は一通りに定まるので，商は $x²+8x+11$ で，余りは $23$ となる．

問題7多項式の除法(再)

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを組立除法と $x - α$ で展開する方法の2通りで求めよ．

$， x² + 2x + 1，x - 1$
$， x³ + 3，x + 1$
$， x³ - 4x² - 2x + 5，x - 2$
$， x³ - 2x² - x + 6，x - 3$

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【解1：組立除法】

組立除法を行うと

となるので，商は $x+3$ ，余りは $4$ である．

【解2： $x - α$ で展開する方法】

$x²+2x+1 ={(x-1)+1}²+2{(x-1)+1}+1 =(x-1)²+4(x-1)+4 =(x-1)(x-1+4)+4 =(x-1)(x+3)+4$

となるので，商は $x+3$ ，余りは $4$ である．
【解1：組立除法】

組立除法を行うと

となるので，商は $x²-x+1$ ，余りは $2$ である．

【解2： $x - α$ で展開する方法】

$x³+3 ={(x+1)-1}³+3 =(x+1)³+3(x+1)²(-1) +3(x+1)-1+3 =(x+1)(x²+2x+1-3x-3+3) +2 =(x+1)(x²-x+1)+2$

となるので，商は $x²-x+1$ ，余りは $2$ である．
【解1：組立除法】

組立除法を行うと

となるので，商は $x²-2x-6$ ，余りは $-7$ である．

【解2： $x - α$ で展開する方法】

$x³-4x²-2x+5 = {(x-2)+2}³ - 4 {(x-2)+2}² -2 {(x-2)+2} +5 =(x-2){(x-2)²+2(x-2)-6} -7 =(x-2)(x²-2x-6)-7$

となるので，商は $x²-2x-6$ ，余りは $-7$ である．
【解1：組立除法】

組立除法を行うと

となるので，商は $x²+x+2$ ，余りは $12$ である

【解2： $x - α$ で展開する方法】

$x³-2x²-x+6 = {(x-3)+3}³ -2 {(x-3)+3}² -{(x-3)+3}+6 = (x-3)³+9(x-3)²+27(x-3) +27 -2(x-3)³-6(x-3) -18-(x-3)-3+6 =(x-3)(x²+x+2)+12$

となるので，商は $x²+x+2$ ，余りは $12$ である．

剰余の定理と因数定理

剰余の定理

多項式 $f(x)$ の $x$ に数 $a$ を代入したときの $f(x)$ の値を $f(a)$ と書く．

たとえば， $f(x) = x³ + 2x² + 3x + 1$ とすると

$f(1)=1³+2・2²+3・1+1=7 f(0)=0³+2・0²+3・0+1=1 f(2)=2³+2・2²+3・2+1=23$

である．

問題8剰余の定理のための補題

$f(x) = x⁴ - 3x² + 5x - 8$ とする．

$f(x)$ を $x - 2$ で割ったときの余りを求めよ．
$f(2)$ の値を計算せよ．

解答を見る

割り算を実行すると

$f(x)=(x-2)(x³+2x²+x+7)+6$

組立除法を使うなら図

となるので，余りは $6$ である．
$f(2)=2⁴-3・2²+5・2-8=6$

左端の2に対し、1行目に1、0、-3、5、-8、2行目に2、4、2、14が並び、横線の下に1、2、1、7と枠囲みの余り6が書かれた、組立除法の計算過程。上の例題では， $f(x)$ を $x - 2$ で割ったときの余りと， $f(2)$ の値が等しくなっているが，これは，偶然に一致したわけではなく，次の理由による．

多項式 $f(x)$ を1次式 $x - a$ で割ったときの商を $Q(x)$ ，余りを $r$ とすると， $r$ は定数であり

$f(x)=(x-a)Q(x)+r$

が成り立つ．この式に $x = a$ を代入すると

$f(a)=(a-a)Q(a)+r=r$

となり， $f(a)$ が $f(x)$ を $x - a$ で割ったときの余り $r$ と等しいことがわかる．

定理4剰余の定理

多項式 $f(x)$ を $x - a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である．

問題9剰余の定理の確認問題

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの余りだけ求めよ（商は求めなくてよい）．

$， x²+2x+1，x-1$
$， x³+3，x+1$
$， x³-4x²-2x+5，x-2$
$， x³-2x²-x+6，x-3$

解答を見る

剰余の定理より， $f(1)=4$
剰余の定理より， $f(-1)=2$
剰余の定理より， $f(2)=-7$
剰余の定理より， $f(3)=12$

暗記1剰余の定理の拡張

多項式 $f(x)$ を1次式 $ax + b$ で割ったときの余りは $f(-b/a)$ であることを証明せよ．

解答を見る

$f(x)$ を1次式 $ax + b$ で割ったときの商を $Q(x)$ ，余りを $r$ とすると， $r$ は定数であり，次の関係式が成り立つ．

$f(x)=(ax+b)Q(x)+r$

この式の $x$ に $-b/a$ を代入すると

$f(-b/a) ={a・(-b/a)+b}Q(-b/a)+r =(-b+b)Q(-b/a)+r =r$

となり， $f(-b/a)$ と余り $r$ が等しいことが分かる．

定理5剰余の定理の拡張

多項式 $f(x)$ を1次式 $ax + b$ で割ったときの余りは $f(-b/a)$ となる．

問題10剰余の定理の利用

次の各問に答えよ．

多項式 $f(x)$ を $x - 1$ で割ると $2$ 余り， $x - 2$ で割ると $3$ 余る． $f(x)$ を $(x - 1)(x - 2)$ で割ったときの余りを求めよ．
多項式 $f(x)$ を $x - 1$ で割ると $3$ 余り， $(x - 2)(x - 3)$ で割ると $3x - 2$ 余る． $f(x)$ を $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ で割ったときの余りを求めよ．
多項式 $f(x)$ を $x - 1$ で割ると $2$ 余り， $(x - 2)²$ で割ると $3x - 2$ 余る． $f(x)$ を $(x - 1)(x - 2)²$ で割ったときの余りを求めよ.

解答を見る

【解1：除法の式を変形して解く】

$f(x)$ を $x - 1$ で割ったときの商を $Q1(x)$ とすると，余りが $2$ だから

$f(x)=(x-1)Q1(x)+2$

多項式の除法の一意性より

とおける．さらに， $Q1(x)$ を $x - 2$ で割ったときの商を $Q2(x)$ ，余りを $a$ とすると

$f(x) =(x-1){Q2(x)(x-2)+a}+2 =(x-1)(x-2)Q2(x) +ax+2-a$

$Q1(x) = Q2(x)(x - 2) + a$ である

ここで，剰余の定理より

$f(2)=2a+2-a=3 ∴a=1$

$f(2) = 3$ を使った

となる．よって，求める余りは $x+1$ である．

【解2：余りの多項式をおく】 $f(x)$ を $(x - 1)(x - 2)$ で割ったときの，商を $Q3(x)$ ，余りを $ax + b$ とすると

$f(x)=(x-1)(x-2)Q3(x)+ax+b$

多項式の除法の一意性より

である．ここで，剰余の定理より

$(f(1)=)a+b=2 （注） f(1) = 2$ を使った

$(f(2)=)2a+b=3 （注） f(2) = 3$ を使った

これを解くと $， a = 1，b = 1$ であるから，求める余りは $x+1$ である．
【解1：除法の式を変形して解く】

$f(x)$ を $(x - 2)(x - 3)$ で割ったときの商を $Q1(x)$ とすると，余りが $3x - 2$ だから

$f(x)=(x-2)(x-3)Q1(x)+3x-2$

多項式の除法の一意性より

とおける．さらに， $Q1(x)$ を $x - 1$ で割ったときの商を $Q2(x)$ ，余りを $a$ とすると

$f(x) =(x-2)(x-3){Q2(x)(x-1). . +a} +3x-2 =(x-1)(x-2)(x-3)Q2(x) +a(x-2)(x-3)+3x-2$

$Q1(x) = Q2(x)(x - 1) + a$ である.

である．ここで，剰余の定理より

$f(1)=a(-1)(-2)+3-2=3 ∴a=1$

$f(1) = 3$ を使った

となる．よって，求める余りは $(x-2)(x-3)+3x-2=x²-2x+4$ である．

【解2:余りの多項式をおく】 $f(x)$ を $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ で割ったときの，商を $Q3(x)$ ，余りを $ax² + bx + c$ とすると

$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q4(x) +ax²+bx+c$

多項式の除法の一意性より

ここで，剰余の定理より $，， f(1) = 3，f(2) = 4，f(3) = 7$ なので

$(f(1)=)a+b+c=3 （注） f(1) = 3$ を使った

$(f(2)=)4a+2b+c=4 （注） f(2) = 4$ を使った

$(f(3)=)9a+3b+c=7 （注） f(3) = 7$ を使った

これを解くと $，， a = 1，b = - 2，c = 4$ であるから，求める余りは $x²-2x+4$ である．
【解1：除法の式を変形して解く】

$f(x)$ を $(x - 2)²$ で割ったときの商を $Q1(x)$ とすると，余りが $3x - 2$ だから

$f(x)=(x-2)²Q1(x)+3x-2$

多項式の除法の一意性より

とおける．さらに， $Q1(x)$ を $x - 1$ で割ったときの商を $Q2(x)$ ，余りを $a$ とおくと，

$f(x) =(x-2)²{Q2(x)(x-1)+a} +3x-2 =(x-1)(x-2)²Q2(x) +a(x-2)²+3x-2$

$Q1(x) = Q2(x)(x - 1) + a$ である

ここで，剰余の定理より

$f(1)=a(-1)²+3-2=2 ∴a=1$

$f(1) = 2$ を使った

であるから，求める余りは $(x-2)²+3x-2=x²-x+2$ である．

【解2：余りの多項式をおく（微分法を使う）】

$f(x)$ を $(x - 2)²$ で割ったときの商を $Q1(x)$ とすると，余りが $3x - 2$ だから

$f(x)=(x-2)²Q1(x)+3x-2$

多項式の除法の一意性より

とおける．この式を $x$ で微分すると

$f'(x) =(x-2)Q1(x)+(x-2)²Q1'(x)+3 =(x-2){Q1(x)+(x-2)Q1'(x)}+3$

微分の計算法則の関数の積の微分法を使った

$Q1(x) + (x - 2)Q1'(x)$ は多項式なので，これを $Q2(x)$ とおくと

$f'(x)=(x-2)Q2(x)+3$

$∴f'(2)=3$

$①$

いま， $f(x)$ を $(x - 1)(x - 2)²$ でわったときの商を $Q3(x)$ ，余りを $ax² + bx + c$ とおくと，

$f(x)=(x-1)(x-2)²Q3(x)$ $+ax²+bx+c$

$f'(x)=((x-2)$ を因数に持つ多項式 $)+2ax+b$

であるから

$f'(2)=4a+b=3$

$①$ を使った

さらに，剰余の定理より

$f(1)=a+b+c=2 （注） f(1) = 2$ を使った

$f(2)=4a+2b+c=4 （注） f(2) = 4$ を使った

これを解くと $，， a = 1，b = - 1，c = 2$ であるから，求める余りは $x²-x+2$ である．

因数定理

多項式 $f(x)$ を1次式 $x - a$ で割ったときの商を $Q(x)$ ，余りを $r$ とすると， $r$ は定数であり

$f(x)=(x-a)Q(x)+r$

が成り立つ．この式に $x = a$ を代入すると

$f(a)=(a-a)Q(a)+r=r$

となり， $f(a) = r$ がわかり，これが剰余の定理だった．

特に， $f(x)$ が $x - a$ で割り切れる，つまり $(r=) f(a)=0$ のとき

$f(x)=(x-a)Q(x)$

と表すことができる．さらにいいかえるならば， $x - a$ は $f(x)$ の因数になっている．

定理6因数定理

$f (x)$ を多項式とすると

「 $x - a$ が $f (x)$ の因数である」 $\Leftrightarrow$ 「 $f (a) = 0$ 」

この因数定理（factor theorem）を利用して，多項式の因数分解をすることができる．次の例題で具体的にみていこう．

問題11因数定理による因数分解-その1-

因数定理を利用して，次の式を因数分解せよ．

$x³+3x²-4$
$2x³-7x²+9$
$x⁴-6x³+7x²+6x-8$
$x⁴-8x³-2x²+72x-63$

解答を見る

$f(1)$ や $f( - 1)$ などを計算してみて $0$ になるものをみつける．

$f(x) = x3 + 3x2 - 4$ とおく．

$f(1)=1+3-4=0$

であるから，因数定理より $f(x)$ は $x - 1$ を因数にもつ．

先に $f( - 2) = 0$ を見つけてもよい

よって説明文

$f(x)=(x-1)(x²+4x+4) =(x-1)(x+2)²$

組立除法を使うなら図
$f(x) = 2x3 - 7x2 + 9$ とおく．

$f(-1)=-2-7+9=0$

であるから，因数定理より $f(x)$ は $x + 1$ を因数にもつ．

先に $f(3) = 0$ や $f(3/2)=0$ を見つけてもよい

よって説明文

$f(x)=(x+1)(2x²-9x+9) =(x+1)(2x-3)(x-3)$

組立除法を使うなら図
$f(x) = x4 - 8x3 + 7x2 + 6x - 8$ とおく．

$f(1)=1-6+7+6-8=0$

であるから，因数定理より $f(x)$ は $x - 1$ を因数にもつ．

先に $f( - 1) = 0$ や $f(2) = 0$ などを見つけてもよい

よって説明文

$f(x)=(x-1)(x³-5x²+2x+8)$

組立除法を使うなら図

さらに， $g(x) = x3 - 5x2 + 2x + 8$ とおくと

$g(-1)=-1-5-2+8=0$

であるから，因数定理より $g(x)$ は $x + 1$ を因数にもつ．

先に $g(2) = 0$ や $g(4) = 0$ などを見つけてもよい

よって説明文

$g(x)=(x+1)(x²-6x+8) =(x+1)(x-2)(x-4)$

組立除法を使うなら図

より， $f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ ．
$f(x) = x4 - 8x3 - 2x2 + 72x - 63$ とおく．

$f(1)=1-8-2+72-63=0$

であるから，因数定理より $f(x)$ は $x - 1$ を因数にもつ．

先に $f(3) = 0$ や $f( - 3) = 0$ などを見つけてもよい

よって説明文

$f(x)=(x-1)(x³-7x²-9x+63)$

組立除法を使うなら図

さらに， $g(x) = x3 - 7x2 - 9x + 63$ とおくと

$g(3)=27-63-27+63=0$

であるから，因数定理より $g(x)$ は $x - 3$ を因数にもつ．

先に $g( - 3) = 0$ や $g(7) = 0$ などを見つけてもよい．

よって説明文

$g(x)=(x-3)(x²-4x-21) =(x-3)(x+3)(x-7)$

組立除法を使うなら図

より， $f(x)=(x-1)(x-3)(x+3)(x-7)$ である．

多項式 $f(x)$ を因数定理を利用して因数分解するとき， $f(a) = 0$ となる $a$ を見つけることが大切である．この $a$ を見つける手段として，次の定理を知っておくとよい．

定理7多項式の因数を見つけるための定理

係数 $a0, a1, \dots, an$ がすべて整数である多項式

$f(x)=anx^n+an-1x^n-1+\dots+a1x+a0$

に対し，既約分数 $p/q$ が， $f(p/q)=0$ を満たすとき

$p$ は $a0$ の約数， $q$ は $an$ の約数

である（ただし，約数には負の数も含めるとする）．

この定理の証明は多項式の因数を見つけるための定理を参照のこと．

たとえば， $f(x) = 2x³ - 5x² + 7x - 6$ の因数分解について考えてみると，最高次の係数の約数には $1 , 2$ があり，定数項の約数には $1 , 2, 3, 6$ があるので， $f(a) = 0$ となる $a$ の候補は

$1/1 , 2/1 , 3/1 , 6/1 , 1/2 , 2/2 , 3/2 , 6/2$

と，これらにマイナスをつけた数がある．

これらを順に

$f(1)=2-5+7-6\neq0 f(2)=2・2³-5・2²+7・2-6\neq0 ⋮$

などと調べていくと， $f(3/2)=0$ となるので

$f(x)=(2x-3)(x²-x+2)$

と因数分解できる．

問題12因数定理による因数分解-その2-

次の多項式を因数分解せよ

$3x³-4x²+4x-1$
$24x³-22x²+x+2$

解答を見る

$f(x) = 3x³ - 4x² + 4x - 1$ とおくと

$f(1/3)=0$

であるから

$f(x)=(3x-1)(x²-x+1)$

となる． 2. $f(x) = 24x³ - 22x² + x + 2$ とおくと

$△f(a) = 0$ となる $a$ の候補は $\pm1/1 , \pm1/2 , \pm1/3 , \pm1/4 ,$

$\pm1/6 , \pm1/8 , \pm1/12 , \pm1/24 , \pm2/3$ がある

$f(1/2)=0$

であるから

$f(x)=(2x-1)(12x²-5x-2)$

となる．また， $12x² - 5x - 2 = (3x - 2)(4x + 1)$ と因数分解できるので

$f(x)=(2x-1)(3x-2)(4x+1)$

となる．

多項式の約数と倍数

多項式の約数と倍数について

定義8多項式の約数と倍数について

多項式 $f(x)$ が多項式 $g(x)$ で割り切れるとき，すなわち

$f(x)=g(x)Q(x)$

となる多項式 $Q(x)$ が存在するとき

$f(x)$ は $g(x)$ の倍数(multiple), $g(x)$ は $f(x)$ の約数(divisor)

という

たとえば， $x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ であるから， $x² - 4x + 3$ は $x - 1$ の倍数であり， $x - 1$ は $x² - 4x + 3$ の約数である

公約数・公倍数

いくつかの多項式に共通な約数を，それらの多項式の公約数(common divisor)といい，公約数の中で次数の最も高いものを最大公約数(greatest common divisor)という．

また，いくつかの多項式に共通な倍数を，それらの多項式の公倍数(common multiple)といい，公倍数の中で次数の最も低いものを最小公倍数(least common multiple)という．

問題13最大公約数と最小公倍数

次の各組の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めよ．ただし，答えの式は展開しなくてもよい．

$x²-1 , x+1$
$x²-4x+4 , x²-4$
$x²+2x-3 , x²+x-6$
$x³-27 , x²-2x-3$

解答を見る

$x² - 1 = (x + 1)(x - 1)$ なので，最大公約数は $x+1$ ，

最小公倍数は $(x+1)(x-1)$ である．
$x² - 4x + 4 = (x - 2)²$ ， $x² - 4 = (x - 2)(x + 2)$ なので，最大公約数は $x+2$ ，最小公倍数は $(x+2)(x-2)²$ である．
$x² + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$ ， $x² - x + 6 = (x + 3)(x - 2)$ なので，最大公約数は $x+3$ ，最小公倍数は $(x-1)(x+3)(x-2)$ である．
$x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9)$ ， $x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ なので，最大公約数は $x-3$ ，最小公倍数は $(x-1)(x+3)(x²+3x+9)$ である．

分数式の計算

分数式とは何か

$f(x)$ を多項式， $g(x)$ を定数でない多項式とするとき， $f(x)/g(x)$ の形で表した式のことを分数式（fractional expression）という．

たとえば

$(2x-1)/(x-1) , 3a/(x-4b) , (x-5)/(x²-2x+3)$

などは，どれも分数式である．

多項式と分数式を合わせて，有理式（rational expression）という．

分数式では，普通の分数と同じように，分母，分子に $0$ 以外の同じ式をかけてもよいし，分母，分子に共通な因数で割ってもよい．

定理9分数式の基本演算

分数式 $f(x)/g(x)$ に関して，次の式が成り立つ．

$f(x)/g(x)=(f(x)\times h(x))/(f(x)\times h(x)) , f(x)/g(x)=(f(x)\div h(x))/(g(x)\div h(x))$

ただし， $h(x)\neq0$ とする．

これらの変形を行えば，普通の分数と同じように約分（reduction of fraction to its lower terms）や通分（reduction fractions to common denominator）ができる．

問題14分数式の約分

次の分数式を約分せよ．

$(2x-2)/6$
$(x²-1)/(x+1)$
$(x²-x-12)/(x²+2x-3)$
$(x²+x-2)/(x³-1)$

解答を見る

実際に約分をすると

$(2x-2)/6=(x-1)/3$
分子を因数分解すると

$(x²-1)/(x+1)=(x-1)(x+1)/(x+1)=x-1$
分母・分子を因数分解すると

$(x²-x-12)/(x²+2x-3)=(x+3)(x-4)/(x-1)(x+3) =(x-4)/(x-1)$
分母・分子を因数分解すると

$(x²+x-2)/(x³-1)=(x-1)(x+2)/(x-1)(x²+x+1) =(x+2)/(x²+x+1)$

分数式の分母と分子に共通な因数がないとき，この分数式は既約（irreducible）であるという．

分数式の乗法と除法

分数式の乗法と除法は，普通の分数の場合と同じように，次の規則にしたがって計算する．

定義10分数の乗法・除法

$f(x)/g(x)\timesh(x)/i(x)=(f(x)\times h(x))/(f(x)\times i(x)) , f(x)/g(x)\divh(x)/i(x)=f(x)/g(x)\timesi(x)/h(x) =(f(x)\times i(x))/(g(x)\times h(x))$

たとえば

$by²/ax²\divb²y/a²x=by²/ax²\timesa²x/b²y =(by²\times a²x)/(ax²\times b²y)=ay/bx (x+1)/x\times(x-2)/x(x+1) =(x+1)\times(x-2)/(x\times x(x+1))=(x-2)/x²$

と計算することができる．

問題15分数式の乗法と除法

次の式を計算せよ．

$(x-1)/x(x+2)\timesx(x+1)/(x-2)$
$(x+2)/(x+4)\times(x²-8x+16)/x(x-4)$
$(x-3)/(x²+x)\div (x+2)/x$
$(x³-1)/(x+2)\div (x-1)/(x+4)$

解答を見る

$((x-1)\times x(x+1))/x(x+2)(x-2)=(x+1)(x-1)/(x-2)(x+2)$
$(x+2)(x-4)²/x(x+4)(x-4)=(x+2)(x-4)/x(x+4)$
$(x-3)x/x(x+2)(x+2)=(x-3)/(x+2)²$
$(x-1)(x²+x+1)(x+4)/(x+2)(x-1)$

$=(x²+x+1)(x+4)/(x+2)$

分数式の加法と減法

分数式の加法と減法は，普通の分数の場合と同じように，次の規則にしたがって計算する．

定義11分数式の加法・減法

$f(x)/g(x)+h(x)/g(x)=(f(x)+h(x))/g(x) ,$

$f(x)/g(x)-h(x)/g(x)=(f(x)-h(x))/g(x)$

分母が異なる分数式どうしは，通分してから計算する．

たとえば

$2/(x-2)+1/(x+1) =2(x+1)/(x-2)(x+1)+(x-2)/(x-2)(x+1) =(2(x+1)+x-2)/(x-2)(x+1)=3x/(x-2)(x+1)$

と計算することができる．

問題16分数式の加法と減法

次の式を計算せよ．

$2/(x²+1)+x/(x²+1)$
$1/(x+1)+1/(x²-1)$
$x/(x+2)-(-x+5)/(x+2)$
$3/(x²-x-2)+1/(x²-5x+6)$

解答を見る

$(2+x)/(x²+1)=(x+2)/(x²+1)$
$(x-1)/(x²-1)+1/(x²-1)=x/(x²-1)$
$(x-(-x+5))/(x+2)=(2x-5)/(x+2)$
$3/(x-2)(x+1)+1/(x-2)(x-3)$

$=(3(x-3)+x+1)/(x-2)(x+1)(x-3)$

$=(4x-8)/(x³-4x²+x+6)$

問題17分数式の恒等式

次の式が恒等式となるように，定数 $，， a，b，c$ の値を定めよ．

$(3x²-x)/(x³-x²-x+1)$

$=a/(x+1)+b/(x-1)+c/(x-1)²$
$1/(x³+7x²+14x+8)$

$=a/(x+1)+b/(x+2)+c/(x+4)$

解答を見る

両辺に， $(x + 1)(x - 1)²$ を掛けると

$3x²-x =a(x-1)²+b(x-1)(x+1)+c(x+1)$

となる．

両辺に $x = 1$ を代入すると

$3-1=c(1+1) \Leftrightarrow c=1$

両辺に $x = - 1$ を代入すると

$3+1=a(-1-1)² \Leftrightarrow a=1$

両辺に $x = 0$ を代入すると

$0=a(0-1)²+b(0+1)(0-1) +c(0+1) \Leftrightarrow b=2$

$， a = 1，c = 1$ を用いた
両辺に， $(x + 1)(x + 2)(x + 4)$ を掛けると

$1= a(x+2)(x+4)+b(x+1)(x+4) +c(x+1)(x+2)$

となる．

両辺に $x = - 1$ を代入すると

$1=a(-1+2)(-1+4) \Leftrightarrow a=1/3$

両辺に $x = - 2$ を代入すると

$1=b(-2+1)(-2+4) \Leftrightarrow b=-1/2$

両辺に $x = - 4$ を代入すると

$1=c(-4+1)(-4+2) \Leftrightarrow c=1/6$

最終更新: 2026-08-10

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質問の内容

数学II 第1章 式と証明 — 多項式の除法

多項式の除法の基本定理

整数の割り算（多項式の除法）

多項式の次数の表し方

定義1多項式の次数

多項式の除法について

定義2多項式の除法

多項式の除法の計算方法

多項式の除法の計算方法

問題1除法の計算方法～筆算形式～

問題2除法の計算方法～暗算形式～

問題3多項式の除法～その１～

問題4多項式の除法～その２～

多項式の除法の一意性

定理3多項式の除法の一意性

1次の多項式の除法の計算方法

1次の多項式の除法の計算方法

組立除法

問題5例題(組立除法)

x-aで展開するということ

問題6例題( x-aで展開するということ)

問題7多項式の除法(再)

剰余の定理と因数定理

剰余の定理

問題8剰余の定理のための補題

定理4剰余の定理

問題9剰余の定理の確認問題

暗記1剰余の定理の拡張

定理5剰余の定理の拡張

問題10剰余の定理の利用

因数定理

定理6因数定理

問題11因数定理による因数分解-その1-

定理7多項式の因数を見つけるための定理

問題12因数定理による因数分解-その2-

多項式の約数と倍数

多項式の約数と倍数について

定義8多項式の約数と倍数について

公約数・公倍数

問題13最大公約数と最小公倍数

分数式の計算

分数式とは何か

定理9分数式の基本演算

問題14分数式の約分

分数式の乗法と除法

定義10分数の乗法・除法

問題15分数式の乗法と除法

分数式の加法と減法

定義11分数式の加法・減法

問題16分数式の加法と減法

問題17分数式の恒等式

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数学II 第1章式と証明 — 多項式の除法

$x-a$ で展開するということ

問題6例題( $x-a$ で展開するということ)