多項式の除法の練習問題

Question 1

x⁴ + 3x³ − 4x + 3をx² − 3x + 1で割ったときの商と余りを求めよ．

Accepted Answer

STEP1
まず，整数の割り算と同じように，下図のように書いておく．この例題では，割られる多項式にはx²の項はないが，その場合でも 適度にスペースを空け，計算できるようにしておく．
STEP2
x² − 3x + 1に何をかけて引くと，x⁴ + 3x³ − 4x + 2の最高次の項x⁴が消えるかを考える． この例題ではx²なので，x²を下図のように書く．
STEP3
下図のようにして，x² − 3x + 1にx²をかけた式をx⁴ + 3x³ − 4x + 2から引く．
STEP4
STEP2と同じように，6x³が消えるようにx² − 3x + 1に6xをかけて引く．
STEP5
同じように，17x²が消えるようにx² − 3x + 1に17をかけて引く．
STEP6
最下段の41x – 15の次数が，割る多項式x² − 3x + 1の次数より低いので，ここでやめる．
この結果から
x⁴+3x³-4x+2
=(x²+6x+17)(x²-3x+1)+41x-15
となることがわかり，商はx² + 6x + 17，余りは41x – 15とわかる．
多項式の除法の計算方法
慣れてきたらx⁴やx³などを省略し，係数だけを並べて筆算するとよい． 上の計算では次のようになる．

Question 2

x⁴ + 3x³ − 4x + 3をx² − 3x + 1で割ったときの商と余りを求めよ．

Accepted Answer

STEP1
まず，右辺を展開したときにx⁴が現れるように，下のように書く．
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x² )
STEP2
このままでは，右辺のx³の係数は − 3となり，左辺の3と合わなくなるので，つじつまをあわせるために + 6xを下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときにx³の係数が3となり，左辺とあう．
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x²+6x )
STEP3
しかし，このままでは，右辺のx²の係数は − 17となり，左辺の0と合わなくなるので，つじつまをあわせるために + 17を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときにx²の係数が0となり，左辺とあう．
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x²+6x+17)
STEP4
しかし，このままでは，右辺のxの係数は − 45となり，左辺の − 4と合わなくなるので，つじつまをあわせるために + 41xを右のように書く．こうすれば，右辺を展開したときにxの係数が − 4となり，左辺とあう．
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x²+6x+17)+41x
STEP5
最後に，右辺の定数項17と左辺の定数項2を合わせるため，右のように − 15を書く． こうすれば，右辺を展開したときの定数項が17となり，左辺とあう．
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x²+6x+17)
+41x-15
この結果から，商はx² + 6x + 17，余りは41x – 15とわかる．
多項式の除法の計算方法
以上2つの方法を見てきたが，慣れると『暗算形式』の方が『筆算形式』より素早く計算できる． 多項式の係数に分数が含まれる場合など，暗算での計算が難しくなる場合には『筆算形式』を使うとよい．

Question 3

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを求めよ．
(1) x² + 2x + 1，x – 1
(2) x³ + 3，x + 1
(3) x³ + x² + 4x + 3，x² − x + 1
(4) x⁴ + 2x³ − 3x² + 5x + 6，x² + x − 1

Accepted Answer

(1) 計算すると（筆算形式は下図を参照）
x²+2x+1=(x-1)(x+3)+4
となるので，商はx+3，余りは4である．
計算すると（筆算形式は下図を参照）
x³+3=(x+1)(x²-x+1)+2
となるので，商はx²-x+1，余りは2である．
計算すると（筆算形式は下図を参照）
x³+x²+4x+3
=(x²-x+1)(x+2)+5x+1
となるので，商はx+2，余りは5x+1である．
計算すると（筆算形式は下図を参照）
x⁴+2x³-3x²+5x+6
=(x²+x-3)(x²+x-1)+9x+3
となるので，商はx²+x-3，余りは9x+3である．

Question 4

(1) x² + 2x – 3で割ると，商がx + 1，余りがx + 2になる多項式を求めよ.
(2) 2x³ − 3x² + 2x + 4を割ると，商が2x + 1，余りが2x + 3になる多項式を求めよ．

Accepted Answer

(1) 求める多項式をf(x)とすると，商がx + 1，余りがx + 2であるから
f(x) =(x+1)(x²+2x-3)+x+2
=x³+3x²-x-3+x+2
=x³+3x²-1
(2) 求める多項式をf(x)とおくと
2x³-3x²+2x+4
=f(x)(2x+1)+2x+3
⇔ f(x)(2x+1)=2x³-3x²+1
⇔ f(x)(2x+1)
=(2x+1)(x²-2x+1)
∴f(x)=x²-2x+1
であるから，求める多項式はx²-2x+1である．

Question 5

x³ + 2x² + 3x + 1をx – 2で割ったときの商と余りを組立除法で計算せよ．

Accepted Answer

組立除法を実行すると
となるので，商はx²+4x+11，余りは23となる．

Question 6

x³ + 2x² + 3x + 1をx – 2で割ったときの商と余りを，x³ + 2x² + 3x + 1をx – 2で展開することにより求めよ．

Accepted Answer

まず，x³ + 2x² + 3x + 1をx – 2で展開する．
x³+2x²+3x+1
={(x-2)+2}³+2{(x-2)+2}²
+3{(x-2)+2}+1
={(x-2)³+6(x-2)²+12(x-2)+8}
+2{(x-2)²+4(x-2)+4}
+3{(x-2)+2}+1
=(x-2)³+6(x-2)²
+12(x-2)+8+2(x-2)²
+8(x-2)+8+3(x-2)+6+1
=(x-2)³+8(x-2)²+23(x-2)+23
次に，この式を(x − 2)でくくると
(x-2)³+8(x-2)²+23(x-2)+23
=(x-2){(x-2)²+8(x-2)+23}
+23
最後に，中括弧の中を展開すると
(x-2){(x-2)²+8(x-2)+23}+23
=(x-2)(x²-4x+4+8x-16+23)
+23
=(x-2)(x²+8x+11)+23
となるので，結局
x³+2x²+3x+1
=(x-2)^A(x²+8x+11)^B+23^C
と変形できる．
多項式の除法の一意性 より，（Aの次数）（Cの次数）を満たす関係は一通りに定まるので， 商はx²+8x+11で，余りは23となる．

Question 7

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを 組立除法とx – αで展開する方法の2通りで求めよ．
(1) x² + 2x + 1，x − 1
(2) x³ + 3，x + 1
(3) x³ − 4x² − 2x + 5，x − 2
(4) x³ − 2x² − x + 6，x − 3

Accepted Answer

(1) 【解1：組立除法】
組立除法を行うと
となるので，商はx+3，余りは4である．
【解2：x − αで展開する方法】
x²+2x+1
={(x-1)+1}²+2{(x-1)+1}+1
=(x-1)²+4(x-1)+4
=(x-1)(x-1+4)+4
=(x-1)(x+3)+4
となるので，商はx+3，余りは4である．
(2) 【解1：組立除法】
組立除法を行うと
となるので，商はx²-x+1，余りは2である．
【解2：x − αで展開する方法】
x³+3
={(x+1)-1}³+3
=(x+1)³+3(x+1)²(-1)
+3(x+1)-1+3
=(x+1)(x²+2x+1-3x-3+3)
+2
=(x+1)(x²-x+1)+2
となるので，商はx²-x+1，余りは2である．
(3) 【解1：組立除法】
組立除法を行うと
となるので，商はx²-2x-6，余りは-7である．
【解2：x − αで展開する方法】
x³-4x²-2x+5
= {(x-2)+2}³ - 4 {(x-2)+2}²
-2 {(x-2)+2} +5
=(x-2){(x-2)²+2(x-2)-6}
-7
=(x-2)(x²-2x-6)-7
となるので，商はx²-2x-6，余りは-7である．
(4) 【解1：組立除法】
組立除法を行うと
となるので，商はx²+x+2，余りは12である
【解2：x − αで展開する方法】
x³-2x²-x+6
= {(x-3)+3}³ -2 {(x-3)+3}²
-{(x-3)+3}+6
= (x-3)³+9(x-3)²+27(x-3)
+27
-2(x-3)³-6(x-3)
-18-(x-3)-3+6
=(x-3)(x²+x+2)+12
となるので，商はx²+x+2，余りは12である．

Question 8

f(x) = x⁴ − 3x² + 5x – 8とする．
(1) f(x)をx – 2で割ったときの余りを求めよ．
(2) f(2)の値を計算せよ．

Accepted Answer

(1) 割り算を実行すると
f(x)=(x-2)(x³+2x²+x+7)+6
組立除法を使うなら図
となるので，余りは6である．
(2) f(2)=2⁴-3・2²+5・2-8=6
上の例題では，f(x)をx – 2で割ったときの余りと，f(2)の値が等しくなっているが， これは，偶然に一致したわけではなく，次の理由による．
多項式f(x)を1次式x – aで割ったときの商をQ(x)，余りをrとすると，rは定数であり
f(x)=(x-a)Q(x)+r
が成り立つ．この式にx = aを代入すると
f(a)=(a-a)Q(a)+r=r
となり，f(a)がf(x)をx – aで割ったときの余りrと等しいことがわかる．

Question 9

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの余りだけ求めよ（商は求めなくてよい）．
(1) x²+2x+1，x-1
(2) x³+3，x+1
(3) x³-4x²-2x+5，x-2
(4) x³-2x²-x+6，x-3

Accepted Answer

(1) 剰余の定理より，f(1)=4
(2) 剰余の定理より，f(-1)=2
(3) 剰余の定理より，f(2)=-7
(4) 剰余の定理より，f(3)=12
剰余の定理
余りを求めるだけならば剰余の定理が大変な威力を発揮する．

Question 10

多項式f(x)を1次式ax + bで割ったときの余りはf(-b/a)であることを証明せよ．

Accepted Answer

f(x)を1次式ax + bで割ったときの商をQ(x)，余りをrとすると，rは定数であり，次の関係式が成り立つ．
f(x)=(ax+b)Q(x)+r
この式のxに-b/aを代入すると
f(-b/a)
={a・(-b/a)+b}Q(-b/a)+r
=(-b+b)Q(-b/a)+r
=r
となり，f(-b/a)と余りrが等しいことが分かる．

Question 11

因数定理を利用して，次の式を因数分解せよ．
(1) x³+3x²-4
(2) 2x³-7x²+9
(3) x⁴-6x³+7x²+6x-8
(4) x⁴-8x³-2x²+72x-63

Accepted Answer

f(1)やf( − 1)などを計算してみて0になるものをみつける．
(1) f(x) = x3 + 3x2 – 4とおく．
f(1)=1+3-4=0
であるから，因数定理よりf(x)はx – 1を因数にもつ． 先にf( − 2) = 0を見つけてもよい
よって説明文
f(x)=(x-1)(x²+4x+4)
=(x-1)(x+2)²
組立除法を使うなら図
(2) f(x) = 2x3 − 7x2 + 9とおく．
f(-1)=-2-7+9=0
であるから，因数定理よりf(x)はx + 1を因数にもつ． 先にf(3) = 0やf(3/2)=0を見つけてもよい
よって説明文
f(x)=(x+1)(2x²-9x+9)
=(x+1)(2x-3)(x-3)
組立除法を使うなら図
(3) f(x) = x4 − 8x3 + 7x2 + 6x – 8とおく．
f(1)=1-6+7+6-8=0
であるから，因数定理よりf(x)はx – 1を因数にもつ． 先にf( − 1) = 0やf(2) = 0などを見つけてもよい
よって説明文
f(x)=(x-1)(x³-5x²+2x+8)
組立除法を使うなら図
さらに，g(x) = x3 − 5x2 + 2x + 8とおくと
g(-1)=-1-5-2+8=0
であるから，因数定理よりg(x)はx + 1を因数にもつ． 先にg(2) = 0やg(4) = 0などを見つけてもよい
よって説明文
g(x)=(x+1)(x²-6x+8)
=(x+1)(x-2)(x-4)
組立除法を使うなら図
より，f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)．
(4) f(x) = x4 − 8x3 − 2x2 + 72x – 63とおく．
f(1)=1-8-2+72-63=0
であるから，因数定理よりf(x)はx – 1を因数にもつ． 先にf(3) = 0やf( − 3) = 0などを見つけてもよい
よって説明文
f(x)=(x-1)(x³-7x²-9x+63)
組立除法を使うなら図
さらに，g(x) = x3 − 7x2 − 9x + 63とおくと
g(3)=27-63-27+63=0
であるから，因数定理よりg(x)はx – 3を因数にもつ． 先にg( − 3) = 0やg(7) = 0などを見つけてもよい．
よって説明文
g(x)=(x-3)(x²-4x-21)
=(x-3)(x+3)(x-7)
組立除法を使うなら図
より，f(x)=(x-1)(x-3)(x+3)(x-7)である．
多項式f(x)を因数定理を利用して因数分解するとき，f(a) = 0となるaを見つけることが大切である． このaを見つける手段として，次の定理を知っておくとよい．

Question 12

次の多項式を因数分解せよ
(1) 3x³-4x²+4x-1
(2) 24x³-22x²+x+2

Accepted Answer

(1) f(x) = 3x³ − 4x² + 4x – 1とおくと f(a) = 0となるaの候補は±1/1 , ±1/3がある
f(1/3)=0
であるから
f(x)=(3x-1)(x²-x+1)
x² − x + 1は判別式の値が負となるので，これ以上因数分解できない
となる．
(2) f(x) = 24x³ − 22x² + x + 2とおくと
△f(a) = 0となるaの候補は ±1/1 , ±1/2 , ±1/3 , ±1/4 ,
±1/6 , ±1/8 , ±1/12 , ±1/24 ,
±2/3 がある
f(1/2)=0
であるから
f(x)=(2x-1)(12x²-5x-2)
となる．また，12x² − 5x − 2 = (3x − 2)(4x + 1)と因数分解できるので
f(x)=(2x-1)(3x-2)(4x+1)
となる．

Question 13

次の各組の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めよ． ただし，答えの式は展開しなくてもよい．
(1) x²-1 , x+1
(2) x²-4x+4 , x²-4
(3) x²+2x-3 , x²+x-6
(4) x³-27 , x²-2x-3

Accepted Answer

(1) x² − 1 = (x + 1)(x − 1)なので，最大公約数はx+1，
最小公倍数は(x+1)(x-1)である．
(2) x² − 4x + 4 = (x − 2)²，x² − 4 = (x − 2)(x + 2)なので，最大公約数はx+2， 最小公倍数は(x+2)(x-2)²である．
(3) x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3)，x² − x + 6 = (x + 3)(x − 2)なので， 最大公約数はx+3，最小公倍数は(x-1)(x+3)(x-2)である．
(4) x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9)，x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)なので， 最大公約数はx-3， 最小公倍数は(x-1)(x+3)(x²+3x+9)である．

Question 14

次の分数式を約分せよ．
(1) (2x-2)/6
(2) (x²-1)/(x+1)
(3) (x²-x-12)/(x²+2x-3)
(4) (x²+x-2)/(x³-1)

Accepted Answer

(1) 実際に約分をすると
(2x-2)/6=(x-1)/3
(2) 分子を因数分解すると
(x²-1)/(x+1)=(x-1)(x+1)/(x+1)=x-1
(3) 分母・分子を因数分解すると
(x²-x-12)/(x²+2x-3)=(x+3)(x-4)/(x-1)(x+3)
=(x-4)/(x-1)
(4) 分母・分子を因数分解すると
(x²+x-2)/(x³-1)=(x-1)(x+2)/(x-1)(x²+x+1)
=(x+2)/(x²+x+1)
分数式の分母と分子に共通な因数がないとき，この分数式は既約（irreducible）であるという．

Question 15

次の式を計算せよ．
(1) (x-1)/x(x+2)×x(x+1)/(x-2)
(2) (x+2)/(x+4)×(x²-8x+16)/x(x-4)
(3) (x-3)/(x²+x)÷ (x+2)/x
(4) (x³-1)/(x+2)÷ (x-1)/(x+4)

Accepted Answer

(1) ((x-1)× x(x+1))/x(x+2)(x-2)=(x+1)(x-1)/(x-2)(x+2)
(2) (x+2)(x-4)²/x(x+4)(x-4)=(x+2)(x-4)/x(x+4)
(3) (x-3)x/x(x+2)(x+2)=(x-3)/(x+2)²
(4) (x-1)(x²+x+1)(x+4)/(x+2)(x-1)
=(x²+x+1)(x+4)/(x+2)

Question 16

次の式を計算せよ．
(1) 2/(x²+1)+x/(x²+1)
(2) 1/(x+1)+1/(x²-1)
(3) x/(x+2)-(-x+5)/(x+2)
(4) 3/(x²-x-2)+1/(x²-5x+6)

Accepted Answer

(1) (2+x)/(x²+1)=(x+2)/(x²+1)
(2) (x-1)/(x²-1)+1/(x²-1)=x/(x²-1)
(3) (x-(-x+5))/(x+2)=(2x-5)/(x+2)
(4) 3/(x-2)(x+1)+1/(x-2)(x-3)
=(3(x-3)+x+1)/(x-2)(x+1)(x-3)
=(4x-8)/(x³-4x²+x+6)

Question 17

次の式が恒等式となるように，定数a，b，cの値を定めよ．
(1) (3x²-x)/(x³-x²-x+1)
=a/(x+1)+b/(x-1)+c/(x-1)²
(2) 1/(x³+7x²+14x+8)
=a/(x+1)+b/(x+2)+c/(x+4)

Accepted Answer

(1) 両辺に，(x + 1)(x − 1)²を掛けると
3x²-x
=a(x-1)²+b(x-1)(x+1)+c(x+1)
となる．
両辺にx = 1を代入すると
3-1=c(1+1)
⇔ c=1
両辺にx = − 1を代入すると
3+1=a(-1-1)²
⇔ a=1
両辺にx = 0を代入すると
0=a(0-1)²+b(0+1)(0-1)
+c(0+1)
⇔ b=2
a = 1，c = 1を用いた
(2) 両辺に，(x + 1)(x + 2)(x + 4)を掛けると
1= a(x+2)(x+4)+b(x+1)(x+4)
+c(x+1)(x+2)
となる．
両辺にx = − 1を代入すると
1=a(-1+2)(-1+4)
⇔ a=1/3
両辺にx = − 2を代入すると
1=b(-2+1)(-2+4)
⇔ b=-1/2
両辺にx = − 4を代入すると
1=c(-4+1)(-4+2)
⇔ c=1/6

多項式の除法の練習問題（全18問・解答つき）

問題1除法の計算方法～筆算形式～

問題2除法の計算方法～暗算形式～

問題3多項式の除法～その１～

問題4多項式の除法～その２～

問題5例題(組立除法)

問題6例題( $x-a$ で展開するということ)

問題7多項式の除法(再)

問題8剰余の定理のための補題

問題9剰余の定理の確認問題

問題10剰余の定理の利用

問題11因数定理による因数分解-その1-

問題12因数定理による因数分解-その2-

問題13最大公約数と最小公倍数

問題14分数式の約分

問題15分数式の乗法と除法

問題16分数式の加法と減法

問題17分数式の恒等式

覚えておきたい事項（1問）

暗記1剰余の定理の拡張