多項式の除法の練習問題

Question 1

x⁴ + 3x³ − 4x + 2をx² − 3x + 1で割ったときの商と余りを求めよ。

Accepted Answer

STEP1
まず、整数の割り算と同じように、下図のように書いておく。この例題では、割られる多項式にはx²の項はないが、その場合でも 適度にスペースを空け、計算できるようにしておく。
［図：割る式 x²-3x+1 の右側に割り算の筆算の記号が付いており、その中に割られる式 x⁴+3x³ と、x²の項の場所をあけて -4x+2 が書かれている。］
STEP2
x² − 3x + 1に何をかけて引くと、x⁴ + 3x³ − 4x + 2の最高次の項x⁴が消えるかを考える。 この例題ではx²なので、x²を下図のように書く。
［図：多項式の除法の筆算で、割る式 x²-3x+1 と割られる式 x⁴+3x³-4x+2 が配置され、上の横線に商の一部である x² が x⁴ の真上に書かれている。］
STEP3
下図のようにして、x² − 3x + 1にx²をかけた式をx⁴ + 3x³ − 4x + 2から引く。
［図：x²-3x+1でx⁴+3x³-4x+2を割る筆算。商にx²を立て、x⁴+3x³-4x+2からx⁴-3x³+x²を引いた結果の6x³-x²-4xまでが書かれている。］
STEP4
STEP2と同じように、6x³が消えるようにx² − 3x + 1に6xをかけて引く。
［図：多項式 x⁴+3x³-4x+2 を x²-3x+1 で割る筆算で、商の x²+6x まで計算が進んでいる。6x³-x²-4x から 6x³-18x²+6x を引き、17x²-10x+2 が一番下に書かれている。］
STEP5
同じように、17x²が消えるようにx² − 3x + 1に17をかけて引く。
［図：x²-3x+1 で x⁴+3x³-4x+2 を割る筆算で、計算の最後までが表されている。上に商の x²+6x+17 が、最下段には引いた結果の 41x-15 が書かれている。］
STEP6
最下段の41x – 15の次数が、割る多項式x² − 3x + 1の次数より低いので、ここでやめる。
［図：x⁴+3x³-4x+2をx²-3x+1で割る筆算の計算が完了しており、上に商のx²+6x+17、最下段にあまりの41x-15が書かれている。］
この結果から
x⁴+3x³-4x+2
=(x²+6x+17)(x²-3x+1)+41x-15
となることがわかり、商はx² + 6x + 17、余りは41x – 15とわかる。
多項式の除法の計算方法
慣れてきたらx⁴やx³などを省略し、係数だけを並べて筆算するとよい。 上の計算では次のようになる。
［図：文字を省略し、係数のみを並べた多項式の筆算。割る数の係数 1, -3, 1 で割られる数の係数を順に割り、上に商の係数 1, 6, 17、一番下にあまりの係数 41, -15 が求められている。］

Question 2

x⁴ + 3x³ − 4x + 2をx² − 3x + 1で割ったときの商と余りを求めよ。

Accepted Answer

STEP1
まず、右辺を展開したときにx⁴が現れるように、下のように書く。
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x² )
STEP2
このままでは、右辺のx³の係数は − 3となり、左辺の3と合わなくなるので、つじつまをあわせるために + 6xを下のように書く。こうすれば、右辺を展開したときにx³の係数が3となり、左辺とあう。
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x²+6x )
STEP3
しかし、このままでは、右辺のx²の係数は − 17となり、左辺の0と合わなくなるので、つじつまをあわせるために + 17を下のように書く。こうすれば、右辺を展開したときにx²の係数が0となり、左辺とあう。
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x²+6x+17)
STEP4
しかし、このままでは、右辺のxの係数は − 45となり、左辺の − 4と合わなくなるので、つじつまをあわせるために + 41xを右のように書く。こうすれば、右辺を展開したときにxの係数が − 4となり、左辺とあう。
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x²+6x+17)+41x
STEP5
最後に、右辺の定数項17と左辺の定数項2を合わせるため、右のように − 15を書く。 こうすれば、右辺を展開したときの定数項が17となり、左辺とあう。
x⁴+3x³-4x+2
=(x²-3x+1)(x²+6x+17)
+41x-15
この結果から、商はx² + 6x + 17、余りは41x – 15とわかる。
多項式の除法の計算方法
以上2つの方法を見てきたが、慣れると『暗算形式』の方が『筆算形式』より素早く計算できる。 多項式の係数に分数が含まれる場合など、暗算での計算が難しくなる場合には『筆算形式』を使うとよい。

Question 3

次の式の組について、左側の式を右側の式で割ったときの、商と余りを求めよ。
(1) x² + 2x + 1, x – 1
(2) x³ + 3, x + 1
(3) x³ + x² + 4x + 3, x² − x + 1
(4) x⁴ + 2x³ − 3x² + 5x + 6, x² + x − 1

Accepted Answer

(1) 計算すると（筆算形式は下図を参照）
x²+2x+1=(x-1)(x+3)+4
となるので、商はx+3、余りは4である。
［図：割られる式 x²+2x+1 を割る式 x-1 で割る筆算である。上に商 x+3 が書かれ、x²+2x+1 から x²-x を引いて 3x+1、さらに 3x-3 を引いて一番下に余りの 4 が導かれている。］
計算すると（筆算形式は下図を参照）
x³+3=(x+1)(x²-x+1)+2
となるので、商はx²-x+1、余りは2である。
［図：多項式 x³+3 を x+1 で割る筆算の計算過程である。割られる式は x² の項の場所を空けて書かれており、上部に商の x²-x+1、最下部に余りの 2 が示されている。］
計算すると（筆算形式は下図を参照）
x³+x²+4x+3
=(x²-x+1)(x+2)+5x+1
となるので、商はx+2、余りは5x+1である。
［図：x³+x²+4x+3をx²-x+1で割る筆算の過程であり、上に商のx+2が、途中の引き算を経て最下行に余りの5x+1が示されている。］
計算すると（筆算形式は下図を参照）
x⁴+2x³-3x²+5x+6
=(x²+x-3)(x²+x-1)+9x+3
となるので、商はx²+x-3、余りは9x+3である。
［図：多項式 x⁴+2x³-3x²+5x+6 を x²+x-1 で割る筆算の計算過程。上部に商の x²+x-3、最下部に余りの 9x+3 が示されている。］

Question 4

(1) x² + 2x – 3で割ると、商がx + 1、余りがx + 2になる多項式を求めよ.
(2) 2x³ − 3x² + 2x + 4を割ると、商が2x + 1、余りが2x + 3になる多項式を求めよ。

Accepted Answer

(1) 求める多項式をf(x)とすると、商がx + 1、余りがx + 2であるから
f(x) =(x+1)(x²+2x-3)+x+2
=x³+3x²-x-3+x+2
=x³+3x²-1
(2) ［図：多項式 2x³-3x²+1 を 2x+1 で割る筆算。上に商 x²-2x+1 が書かれ、順に各項の引き算を行って最後に余り 0 が導かれている。］
求める多項式をf(x)とおくと
2x³-3x²+2x+4
=f(x)(2x+1)+2x+3
⇔ f(x)(2x+1)=2x³-3x²+1
⇔ f(x)(2x+1)
=(2x+1)(x²-2x+1)
∴f(x)=x²-2x+1
であるから、求める多項式はx²-2x+1である。

Question 5

x³ + 2x² + 3x + 1をx – 2で割ったときの商と余りを組立除法で計算せよ。

Accepted Answer

組立除法を実行すると
［図：左上に2を置き、1行目に1, 2, 3, 1、2行目に2, 8, 22を並べている。横線の下の最下行には1, 4, 11と、枠で囲まれた23が並んでいる。］
となるので、商はx²+4x+11、余りは23となる。

Question 6

x³ + 2x² + 3x + 1をx – 2で割ったときの商と余りを、x³ + 2x² + 3x + 1をx – 2で展開することにより求めよ。

Accepted Answer

まず、x³ + 2x² + 3x + 1をx – 2で展開する。
x³+2x²+3x+1
={(x-2)+2}³+2{(x-2)+2}²
+3{(x-2)+2}+1
={(x-2)³+6(x-2)²+12(x-2)+8}
+2{(x-2)²+4(x-2)+4}
+3{(x-2)+2}+1
=(x-2)³+6(x-2)²
+12(x-2)+8+2(x-2)²
+8(x-2)+8+3(x-2)+6+1
=(x-2)³+8(x-2)²+23(x-2)+23
次に、この式を(x − 2)でくくると
(x-2)³+8(x-2)²+23(x-2)+23
=(x-2){(x-2)²+8(x-2)+23}
+23
最後に、中括弧の中を展開すると
(x-2){(x-2)²+8(x-2)+23}+23
=(x-2)(x²-4x+4+8x-16+23)
+23
=(x-2)(x²+4x+11)+23
となるので、結局
x³+2x²+3x+1
=(x-2)^A(x²+4x+11)^B+23^C
と変形できる。
多項式の除法の一意性 より、（Aの次数）（Cの次数）を満たす関係は一通りに定まるので、 商はx²+4x+11で、余りは23となる。

Question 7

次の式の組について、左側の式を右側の式で割ったときの、商と余りを 組立除法とx – αで展開する方法の2通りで求めよ。
(1) x² + 2x + 1, x − 1
(2) x³ + 3, x + 1
(3) x³ − 4x² − 2x + 5, x − 2
(4) x³ − 2x² − x + 6, x − 3

Accepted Answer

(1) 【解1：組立除法】
組立除法を行うと
［図：組立除法の計算過程で、左上に1があり、1行目に1、2、1が並ぶ。2行目には2の下に1、1の下に3が配置され、横線の下の最下行には1、3、そして囲まれた4が並んでいる。］
となるので、商はx+3、余りは4である。
【解2：x − αで展開する方法】
x²+2x+1
={(x-1)+1}²+2{(x-1)+1}+1
=(x-1)²+4(x-1)+4
=(x-1)(x-1+4)+4
=(x-1)(x+3)+4
となるので、商はx+3、余りは4である。
(2) 【解1：組立除法】
組立除法を行うと
［図：組立除法の計算過程を表している。左側に-1、上段に1, 0, 0, 3、中段に-1, 1, -1、下段に計算結果の1, -1, 1と区切られた余り2が並んでいる。］
となるので、商はx²-x+1、余りは2である。
【解2：x − αで展開する方法】
x³+3
={(x+1)-1}³+3
=(x+1)³+3(x+1)²(-1)
+3(x+1)-1+3
=(x+1)(x²+2x+1-3x-3+3)
+2
=(x+1)(x²-x+1)+2
となるので、商はx²-x+1、余りは2である。
(3) 【解1：組立除法】
組立除法を行うと
［図：組立除法の計算で、1行目に2と係数の1、-4、-2、5、2行目に2、-4、-12が並び、最下行に商の係数1、-2、-6と区切られた余りの-7が書かれている。］
となるので、商はx²-2x-6、余りは-7である。
【解2：x − αで展開する方法】
x³-4x²-2x+5
= {(x-2)+2}³ - 4 {(x-2)+2}²
-2 {(x-2)+2} +5
=(x-2){(x-2)²+2(x-2)-6}
-7
=(x-2)(x²-2x-6)-7
となるので、商はx²-2x-6、余りは-7である。
(4) 【解1：組立除法】
組立除法を行うと
［図：左端に3を配し、上段に1、-2、-1、6、中段に3、3、6、下段に1、1、2と、余りとして枠で囲まれた12が並ぶ、組立除法の計算が示されている。］
となるので、商はx²+x+2、余りは12である
【解2：x − αで展開する方法】
x³-2x²-x+6
= {(x-3)+3}³ -2 {(x-3)+3}²
-{(x-3)+3}+6
= (x-3)³+9(x-3)²+27(x-3)
+27
-2(x-3)²-12(x-3)
-18-(x-3)-3+6
=(x-3)³+7(x-3)²
+14(x-3)+12
=(x-3)(x²+x+2)+12
となるので、商はx²+x+2、余りは12である。

Question 8

f(x) = x⁴ − 3x² + 5x – 8とする。
(1) f(x)をx – 2で割ったときの余りを求めよ。
(2) f(2)の値を計算せよ。

Accepted Answer

(1) 割り算を実行すると
f(x)=(x-2)(x³+2x²+x+7)+6
（注）組立除法を使うなら図
となるので、余りは6である。
(2) f(2)=2⁴-3・2²+5・2-8=6
［図：左端の2に対し、1行目に1、0、-3、5、-8、2行目に2、4、2、14が並び、横線の下に1、2、1、7と枠囲みの余り6が書かれた、組立除法の計算過程。］
上の例題では、f(x)をx – 2で割ったときの余りと、f(2)の値が等しくなっているが、 これは、偶然に一致したわけではなく、次の理由による。
多項式f(x)を1次式x – aで割ったときの商をQ(x)、余りをrとすると、rは定数であり
f(x)=(x-a)Q(x)+r
が成り立つ。この式にx = aを代入すると
f(a)=(a-a)Q(a)+r=r
となり、f(a)がf(x)をx – aで割ったときの余りrと等しいことがわかる。

Question 9

次の式の組について、左側の式を右側の式で割ったときの余りだけ求めよ（商は求めなくてよい）。
(1) x²+2x+1, x-1
(2) x³+3, x+1
(3) x³-4x²-2x+5, x-2
(4) x³-2x²-x+6, x-3

Accepted Answer

(1) 剰余の定理より、f(1)=4
(2) 剰余の定理より、f(-1)=2
(3) 剰余の定理より、f(2)=-7
(4) 剰余の定理より、f(3)=12
剰余の定理
余りを求めるだけならば剰余の定理が大変な威力を発揮する。

Question 10

多項式f(x)を1次式ax + bで割ったときの余りはf(-b/a)であることを証明せよ。

Accepted Answer

f(x)を1次式ax + bで割ったときの商をQ(x)、余りをrとすると、rは定数であり、次の関係式が成り立つ。
f(x)=(ax+b)Q(x)+r
この式のxに-b/aを代入すると
f(-b/a)
={a・(-b/a)+b}Q(-b/a)+r
=(-b+b)Q(-b/a)+r
=r
となり、f(-b/a)と余りrが等しいことが分かる。

Question 11

因数定理を利用して、次の式を因数分解せよ。
(1) x³+3x²-4
(2) 2x³-7x²+9
(3) x⁴-6x³+7x²+6x-8
(4) x⁴-8x³-2x²+72x-63

Accepted Answer

f(1)やf( − 1)などを計算してみて0になるものをみつける。
(1) f(x) = x3 + 3x2 – 4とおく。
f(1)=1+3-4=0
であるから、因数定理よりf(x)はx – 1を因数にもつ。 （注）先にf( − 2) = 0を見つけてもよい
よって説明文
f(x)=(x-1)(x²+4x+4)
=(x-1)(x+2)²
（注）組立除法を使うなら図
［図：組立除法の計算過程であり、左上に1、1行目に1、3、0、-4が並ぶ。その下に1、4、4が書かれ、最下行には1、4、4と枠で囲まれた余りの0が示されている。］
(2) f(x) = 2x3 − 7x2 + 9とおく。
f(-1)=-2-7+9=0
であるから、因数定理よりf(x)はx + 1を因数にもつ。 （注）先にf(3) = 0やf(3/2)=0を見つけてもよい
よって説明文
f(x)=(x+1)(2x²-9x+9)
=(x+1)(2x-3)(x-3)
（注）組立除法を使うなら図
［図：多項式の係数 2、-7、0、9 を -1 で割る組立除法の計算で、1行目に 2、-7、0、9、2行目に -2、9、-9、横線の下の3行目に商の係数 2、-9、9 と余り 0 が配置されている。］
(3) f(x) = x4 − 8x3 + 7x2 + 6x – 8とおく。
f(1)=1-6+7+6-8=0
であるから、因数定理よりf(x)はx – 1を因数にもつ。 （注）先にf( − 1) = 0やf(2) = 0などを見つけてもよい
よって説明文
f(x)=(x-1)(x³-5x²+2x+8)
（注）組立除法を使うなら図
［図：1による組立除法の筆算で、上段に1、マイナス6、7、6、マイナス8が並び、下段の計算結果として商の係数1、マイナス5、2、8と余りの0が示されている。］
さらに、g(x) = x3 − 5x2 + 2x + 8とおくと
g(-1)=-1-5-2+8=0
であるから、因数定理よりg(x)はx + 1を因数にもつ。 （注）先にg(2) = 0やg(4) = 0などを見つけてもよい
よって説明文
g(x)=(x+1)(x²-6x+8)
=(x+1)(x-2)(x-4)
（注）組立除法を使うなら図
［図：係数1、-5、2、8に対する-1での組立除法の計算が示され、2行目に-1、6、-8、最下段に商の係数1、-6、8と枠で囲まれた余りの0が書かれています。］
より、f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)。
(4) f(x) = x4 − 8x3 − 2x2 + 72x – 63とおく。
f(1)=1-8-2+72-63=0
であるから、因数定理よりf(x)はx – 1を因数にもつ。 （注）先にf(3) = 0やf( − 3) = 0などを見つけてもよい
よって説明文
f(x)=(x-1)(x³-7x²-9x+63)
（注）組立除法を使うなら図
［図：組立除法の計算で、左上に1、1行目に係数1、-8、-2、72、-63が並び、計算結果の最下行に商の係数1、-7、-9、63と余り0が記されている。］
さらに、g(x) = x3 − 7x2 − 9x + 63とおくと
g(3)=27-63-27+63=0
であるから、因数定理よりg(x)はx – 3を因数にもつ。 （注）先にg( − 3) = 0やg(7) = 0などを見つけてもよい。
よって説明文
g(x)=(x-3)(x²-4x-21)
=(x-3)(x+3)(x-7)
（注）組立除法を使うなら図
［図：3で割る組立除法の計算において、1行目に1、-7、-9、63、2行目に3、-12、-63が並び、最下行に商の係数1、-4、-21と、あまりの0が示されている。］
より、f(x)=(x-1)(x-3)(x+3)(x-7)である。
多項式f(x)を因数定理を利用して因数分解するとき、f(a) = 0となるaを見つけることが大切である。 このaを見つける手段として、次の定理を知っておくとよい。

Question 12

次の多項式を因数分解せよ
(1) 3x³-4x²+4x-1
(2) 24x³-22x²+x+2

Accepted Answer

(1) f(x) = 3x³ − 4x² + 4x – 1とおくと （注） f(a) = 0となるaの候補は±1/1 , ±1/3がある
f(1/3)=0
であるから
f(x)=(3x-1)(x²-x+1)
（注） x² − x + 1は判別式の値が負となるので、これ以上因数分解できない
となる。
(2) f(x) = 24x³ − 22x² + x + 2とおくと
△f(a) = 0となるaの候補は ±1/1 , ±1/2 , ±1/3 , ±1/4 ,
±1/6 , ±1/8 , ±1/12 , ±1/24 ,
±2/3 がある
f(1/2)=0
であるから
f(x)=(2x-1)(12x²-5x-2)
となる。また、12x² − 5x − 2 = (3x − 2)(4x + 1)と因数分解できるので
f(x)=(2x-1)(3x-2)(4x+1)
となる。

Question 13

次の各組の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めよ。 ただし、答えの式は展開しなくてもよい。
(1) x²-1 , x+1
(2) x²-4x+4 , x²-4
(3) x²+2x-3 , x²+x-6
(4) x³-27 , x²-2x-3

Accepted Answer

(1) x² − 1 = (x + 1)(x − 1)なので、最大公約数はx+1、
最小公倍数は(x+1)(x-1)である。
(2) x² − 4x + 4 = (x − 2)²、x² − 4 = (x − 2)(x + 2)なので、最大公約数はx-2、 最小公倍数は(x+2)(x-2)²である。
(3) x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3)、x² − x + 6 = (x + 3)(x − 2)なので、 最大公約数はx+3、最小公倍数は(x-1)(x+3)(x-2)である。
(4) x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9)、x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)なので、 最大公約数はx-3、 最小公倍数は(x+1)(x-3)(x²+3x+9)である。

Question 14

次の分数式を約分せよ。
(1) (2x-2)/6
(2) (x²-1)/(x+1)
(3) (x²-x-12)/(x²+2x-3)
(4) (x²+x-2)/(x³-1)

Accepted Answer

(1) 実際に約分をすると
(2x-2)/6=(x-1)/3
(2) 分子を因数分解すると
(x²-1)/(x+1)=(x-1)(x+1)/(x+1)=x-1
(3) 分母・分子を因数分解すると
(x²-x-12)/(x²+2x-3)=(x+3)(x-4)/(x-1)(x+3)
=(x-4)/(x-1)
(4) 分母・分子を因数分解すると
(x²+x-2)/(x³-1)=(x-1)(x+2)/(x-1)(x²+x+1)
=(x+2)/(x²+x+1)
分数式の分母と分子に共通な因数がないとき、この分数式は既約（irreducible）であるという。

Question 15

次の式を計算せよ。
(1) (x-1)/x(x+2)×x(x+1)/(x-2)
(2) (x+2)/(x+4)×(x²-8x+16)/x(x-4)
(3) (x-3)/(x²+x)÷ (x+2)/x
(4) (x³-1)/(x+2)÷ (x-1)/(x+4)

Accepted Answer

(1) ((x-1)× x(x+1))/x(x+2)(x-2)=(x+1)(x-1)/(x-2)(x+2)
(2) (x+2)(x-4)²/x(x+4)(x-4)=(x+2)(x-4)/x(x+4)
(3) (x-3)x/x(x+1)(x+2)=(x-3)/(x+1)(x+2)
(4) (x-1)(x²+x+1)(x+4)/(x+2)(x-1)
=(x²+x+1)(x+4)/(x+2)

Question 16

次の式を計算せよ。
(1) 2/(x²+1)+x/(x²+1)
(2) 1/(x+1)+1/(x²-1)
(3) x/(x+2)-(-x+5)/(x+2)
(4) 3/(x²-x-2)+1/(x²-5x+6)

Accepted Answer

(1) (2+x)/(x²+1)=(x+2)/(x²+1)
(2) (x-1)/(x²-1)+1/(x²-1)=x/(x²-1)
(3) (x-(-x+5))/(x+2)=(2x-5)/(x+2)
(4) 3/(x-2)(x+1)+1/(x-2)(x-3)
=(3(x-3)+x+1)/(x-2)(x+1)(x-3)
=(4x-8)/(x³-4x²+x+6)

Question 17

次の式が恒等式となるように、定数a, b, cの値を定めよ。
(1) (3x²-x)/(x³-x²-x+1)
=a/(x+1)+b/(x-1)+c/(x-1)²
(2) 1/(x³+7x²+14x+8)
=a/(x+1)+b/(x+2)+c/(x+4)

Accepted Answer

(1) 両辺に、(x + 1)(x − 1)²を掛けると
3x²-x
=a(x-1)²+b(x-1)(x+1)+c(x+1)
となる。
両辺にx = 1を代入すると
3-1=c(1+1)
⇔ c=1
両辺にx = − 1を代入すると
3+1=a(-1-1)²
⇔ a=1
両辺にx = 0を代入すると
0=a(0-1)²+b(0+1)(0-1)
+c(0+1)
⇔ b=2
（注） a = 1, c = 1を用いた
(2) 両辺に、(x + 1)(x + 2)(x + 4)を掛けると
1= a(x+2)(x+4)+b(x+1)(x+4)
+c(x+1)(x+2)
となる。
両辺にx = − 1を代入すると
1=a(-1+2)(-1+4)
⇔ a=1/3
両辺にx = − 2を代入すると
1=b(-2+1)(-2+4)
⇔ b=-1/2
両辺にx = − 4を代入すると
1=c(-4+1)(-4+2)
⇔ c=1/6

多項式の除法の練習問題（全18問・解答つき）

問題1除法の計算方法～筆算形式～

問題2除法の計算方法～暗算形式～

問題3多項式の除法～その１～

問題4多項式の除法～その２～

問題5例題(組立除法)

問題6例題( $x-a$ で展開するということ)

問題7多項式の除法(再)

問題8剰余の定理のための補題

問題9剰余の定理の確認問題

問題10剰余の定理の利用

問題11因数定理による因数分解-その1-

問題12因数定理による因数分解-その2-

問題13最大公約数と最小公倍数

問題14分数式の約分

問題15分数式の乗法と除法

問題16分数式の加法と減法

問題17分数式の恒等式

覚えておきたい事項（1問）

暗記1剰余の定理の拡張