数学II 第3章三角関数 — 三角関数について

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FTEXT数学Iの三角比で使う角度 $θ$ は $0≦θ<2π$ だったが、ここからは、扱う角を任意の実数にまで拡張した三角関数についてみていくことにする。

三角関数の定義

三角関数の定義について

FTEXT 数学Iで学んだ三角比(trigonometric ratio)で扱う角を任意の実数とすれば、次の三角関数(trigonometric function)の定義となる。

定義1三角関数の定義

単位円周と動径の交点を $P,X(1, 0)$ とする。

$∠POX=θ$ ( $θ$ は任意の実数)とするとき

$cosθ =$ (動点 $P$ の $x$ 座標)

$sinθ =$ (動点 $P$ の $y$ 座標)

$tanθ =$ (動点 $P$ の $y$ 座標) $/$ (動点 $P$ の $x$ 座標) $=$ (動径 $OP$ の傾き)

とする。ただし、動点 $P$ の $x$ 座標が $0$ のとき、つまり $θ=π/2 +nπ$ ( $n$ は整数) のときは $tanθ$ は定義されない。

原点Oを中心とする半径1の円と動径OPがある。x軸の正の部分となす角をθとするとき、円上の点P(x, y)のx座標にcos θ、y座標にsin θと示されている。具体的な例で確認してみよう。

座標平面上の単位円において、始線OXから反時計回りに5/4π回転した動径OPが描かれている。点Pからx軸に下ろした垂線の足をQとした第3象限の直角三角形OPQが塗られている。

1) $θ=(5/4)π$ のとき

$△OPQ$ は $PQ:QO:OP=1:1:\sqrt2$ の直角三角形である。つまり、 $P(-\sqrt2/2, -\sqrt2/2)$ なので

$cos((5/4)π)=-\sqrt2/2, sin((5/4)π)=-\sqrt2/2, tan((5/4)π)=1$

座標平面上の単位円において、始線OXから時計回りに角-5/6πを表す動径OPが引かれている。点Pからx軸に下ろした垂線の足をQとすると、第3象限に直角三角形OPQが色付けされている。

2) $θ=-(5/6)π$ のとき

$△OPQ$ は $PQ:QO:OP=1:\sqrt3:2$ の直角三角形である。つまり、 $P(-\sqrt3/2, -1/2)$ なので

$cos(-(5/6)π)=-\sqrt3/2, sin(-(5/6)π)=-1/2, tan(-(5/6)π)=1/\sqrt3$

座標平面上の単位円で、始線OXから時計回りに1周と4分の1回転したy軸負の方向に動径OPがある。回転角を示す矢印に-5/2 π、動径の長さに1と添えられている。

3) $θ=-(5/2)π$ のとき

$-(5/2)π=-(1/2)π -2π$ より、 $X$ から負の方向へ $(1/2)π$ 移動した $(0, -1)$ に $P$ があるので

$cos(-(5/2)π)=0, sin(-(5/2)π)=-1, tan(-(5/2)π)$ は定義できない

$tanθ$ には次のような意味もあることを理解しておこう。

定理2 $tanθ$ の図形的意味

$tanθ$ の定義は、動径 $OP$ の傾きであるが、傾きとは $x$ 軸方向に $1$ 増加するときの $y$ 軸方向の増加量である。そのため、図のように直線 $OP$ と直線 $x = 1$ の交点を $Q$ とすると、 $Q$ の $y$ 座標が $tanθ$ になる。

座標平面上に原点Oを中心とする単位円と直線x=1が描かれている。角θを表す動径OPを延長した直線と、直線x=1の交点Qの座標が(1, tanθ)と示されている。

三角関数の定義域と値域

以上のことから、三角関数の定義域と値域は次のようにまとめられる。

定理3三角関数の定義域と値域

三角関数の定義域
1. $sinθ,cosθ$ の $θ$ は、任意の実数をとることができる。
2. $tanθ$ の $θ$ は、 $π/2+nπ$ ( $n$ は整数)以外の任意の実数をとることができる。
三角関数の値域
1. 任意の実数 $θ$ に対し、 $sinθ,cosθ$ は $- 1$ 以上 $1$ 以下の値をとる。
2. $π/2+nπ$ ( $n$ は整数)以外の任意の実数 $θ$ に対し、 $tanθ$ は任意の実数をとる。

三角関数の符号と動径の象限

三角関数の値の符号は、その角の動径がどの象限に含まれるかで決定する。まとめると次のようになる。

定理4三角関数の符号と動径の象限

三角関数の値の符号は、動径のある象限によって次のように決まる。

1) $sinθ$ の符号

原点Oを中心とする単位円において、x軸より上側の第1象限と第2象限にはプラス、x軸より下側の第3象限と第4象限にはマイナスの符号が書かれている。

2) $cosθ$ の符号

座標平面上の単位円において、y軸の右側にある第1象限と第4象限には「＋」、y軸の左側にある第2象限と第3象限には「−」の符号が表示されている。

3) $tanθ$ の符号

座標平面上の各象限におけるtanθの符号が示されており、第1象限と第3象限にはプラス、第2象限と第4象限にはマイナスが描かれている。

問題1任意の角に対する三角関数の値

以下の角度に対する、正弦、余弦、正接の値をそれぞれ求めよ。

$(5/3)π$
$(7/6)π$
$(23/3)π$
$-(15/4)π$

解答を見る

$P (1/2, -\sqrt3/2)$ なので

$cos((5/3)π)=1/2$

$sin((5/3)π)=-\sqrt3/2$

$tan((5/3)π)=-\sqrt3$
$P (-\sqrt3/2, -12)$ なので

$cos((7/6)π)=-\sqrt3/2$

$sin((7/6)π)=-1/2$

$tan((7/6)π)=\sqrt3/3$
$(23/3)π=(5/3)π +3・ 2π$ より、 $(5/3)π$ の三角関数に等しい。1.より

$cos((23/3)π)=1/2$

$sin((23/3)π)=-\sqrt3/2$

$tan((23/3)π)=-\sqrt3$
$-(15/4)π=(1/4)π +(-2)・ 2π$ より、 $(1/4)π$ の三角関数に等しい。よって

$cos(-(15/4)π)=\sqrt2/2$

$sin(-(15/4)π)=\sqrt2/2$

$tan(-(15/4)π)=1$

問題2三角関数を含む方程式

$0≦ θ<2π$ のとき、 $sinθ =-1/2$ を満たす $θ$ を求めよ。
$0≦ θ<4π$ のとき、 $sinθ =-1/2$ を満たす $θ$ を求めよ。
$θ$ を任意の実数とする。 $sinθ =-1/2$ を満たす $θ$ を求めよ。
$-π≦ θ<π$ のとき、 $sinθ =-1/2$ を満たす $θ$ を求めよ。

解答を見る

(動点の $y$ 座標の値) $=-1/2$ であればよいので、求める $θ$ は、図の $∠POX, ∠P’OX$ に等しい。

$0≦ θ < 2π$ の範囲では

$∠POX=(7/6)π,$

$∠P’OX=(11/6)π$

となる。つまり、 $θ=(7/6)π, (11/6)π$ 。
$0≦ θ < 4π$ の範囲では

$∠POX=(7/6)π, (7/6)π +2π ∠P’OX=(11/6)π, (11/6)π +2π$

となる。つまり、

$θ=(7/6)π, (11/6)π, (19/6)π, (23/6)π$ 。
$θ$ は任意なので、 $n$ を整数として

$∠POX=(7/6)π +2nπ, ∠P’OX=(11/6)π +2nπ$

となる。つまり、 $θ=(7/6)π +2nπ, (11/6)π +2nπ$ 。
$-π≦ θ < π$ の範囲では

$∠POX=(7/6)π -2π, ∠P’OX=(11/6)π -2π$

となる。つまり、 $θ=-(5/6)π, -(1/6)π$ 。

原点Oを中心とする単位円と直線y=-1/2の交点を第3象限のP、第4象限のP'とし、始線OXから動径OP、OP'まで時計回りに回転した負の角が矢印で表されている。

問題3三角関数を含む不等式

$0≦ θ<2π$ のとき、 $cosθ <1/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ。
$0≦ θ<4π$ のとき、 $cosθ <1/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ。
$θ$ を任意の実数とする。 $cosθ <1/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ。
$-π≦ θ<π$ のとき、 $cosθ <1/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ。

解答を見る

(動点の $x$ 座標の値) $<1/2$ であればよい。

そのためには、動点が図の太線部分にあればよい。

$0≦ θ < 2π$ の範囲では、 $(1/3)π<θ<(5/3)π$ 。
$0≦ θ < 4π$ の範囲では、 1.の答えに加えて

$(1/3)π +2π <θ<(5/3)π +2π$

も満たすので、 $(1/3)π <θ<(5/3)π, (7/3)π <θ<(11/3)π$ 。
$θ$ は任意なので、

$(1/3)π +2nπ <θ<(5/3)π +2nπ$ ( $n$ は整数)

が求める答えとなる。
$-π≦ θ < π$ の範囲では

$-π ≦ θ<(5/3)π -2π, (1/3)π <θ< π$

となる。つまり、 $-π ≦ θ<-(1/3)π, (1/3)π <θ<π$ 。

単位円と直線 x=1/2 があり、直線より左側の領域と、対応する円弧が太線で示されている。直線と円の交点のうち、第1象限の点Pにおける動径OPとx軸正の向きとのなす角は 1/3 π である。

問題4範囲をもつ変数の置き換え

$0≦ θ <2π, θ'=2 θ -π/3$ とする。 $θ'$ のとりうる範囲を求めよ。
$0≦ θ <2π$ のとき、方程式 $sin(2 θ -π/3) =\sqrt3/2$ を満たす $θ$ の値を求めよ。
$0≦ θ <2π$ のとき、不等式 $sin(2 θ -π/3) <\sqrt3/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ。

解答を見る

$0≦ θ <2π \Leftrightarrow 0≦ 2θ <4π \Leftrightarrow 0-π/3 ≦ 2θ-π/3 <4π-π/3$

より $-π/3 ≦ θ' <(11/3)π$ と分かる。

← $2$ 倍しても、 $π/3$ を引いても大小関係は変わらない
1.の $θ'$ を用いると、与えられた方程式は $sinθ' =\sqrt3/2$ となる。 1.より $-π/3 ≦ θ' <(11/3)π$ なので、図より

$θ' =13π, 23π, 73π, 83π$ となる。

$θ=θ'/2+π/6$ なので

$θ= 13π, 12π, 43π, 32π$
1.の $θ'$ を用いると、与えられた不等式は $sinθ' <\sqrt3/2$ となる。 1.より $-π/3 ≦ θ' <(11/3)π$ なので

$-π/3≦ θ' <13π, 23π< θ' <73π,$ $83π< θ' <(11/3)π$ となる。 $θ'=2θ-π/3$ を代入して $θ$ について解けば

←たとえば

$(2/3)π< 2θ-π/3 <(7/3)π \Leftrightarrow π< 2θ<83π \Leftrightarrow π/2< θ<(4/3)π$ $0≦θ< π/3, π/2<θ<43π, 32π<θ <2π$

三角関数の相互関係

三角関数の相互関係について

三角関数においても、FTEXT 数学Iで学んだ三角比の相互関係

$tanθ=sinθ/cosθ,sin²θ+cos²θ=1, 1+1tan²θ=1sin²θ,tan²θ+1=1cos²θ$

が成り立つ。

定理5拡張された三角関数の相互関係

任意の実数 $θ$ について、次の式が成り立つ(ただし、分母が $0$ となる場合を除く)。

1) $sinθ,cosθ,tanθ$ の関係

$tanθ=sinθ/cosθ$

2) $と sinθとcosθ$ の関係

$sin²θ+cos²θ=1$

3) $と tanθとsinθ$ の関係

$1+1tan²θ=1sin²θ$

4) $と cosθとtanθ$ の関係

$tan²θ+1=1cos²θ$

問題5三角関数の相互関係の利用

$cosθ=1/3$ のとき、以下の問いに答えよ。
1. $0 < θ < π$ のとき、 $sinθ, tanθ$ の値を求めよ。
2. $-π/2<θ<π/2$ のとき、 $sinθ, tanθ$ の値を求めよ。
$π<θ<2π, tanθ=2$ のとき、 $cosθ, sinθ$ の値を求めよ。

解答を見る

$sin²θ=1-cos²θ=8/9$ より、 $sinθ=\pm2\sqrt2/3$ 。

←拡張された三角関数の相互関係
1. $0 < θ < π$ より、 $sinθ > 0$ なので
  
  $sinθ=2\sqrt2/3$ 。また、 $tanθ=(2\sqrt2/3)/(1/3)=2\sqrt2$ 。
  
  ←拡張された三角関数の相互関係
2. $-π/2<θ<π/2$ より $sinθ$ は正負どちらでもよい。よって $sinθ=\pm2\sqrt2/3$ , $tanθ=(\pm2\sqrt2/3)/(1/3)=\pm 2\sqrt2$ 。
$1cos²θ=1+tan²θ=5$ より、 $cosθ=\pm\sqrt(1/5)$ 。

←拡張された三角関数の相互関係

ここで、 $π<θ<2π, tanθ>0$ より $θ$ は第 $3$ 象限の角に対応し、 $cosθ < 0$ 。よって、 $cosθ=-1/\sqrt5$ 。

また、 $sinθ =tanθ=2\times (-1/\sqrt5)=-2/\sqrt5$ 。

←拡張された三角関数の相互関係

問題6 $sinθ\pmcosθ$ と $sinθ$ の関係

1. $cosθ +sinθ=1/2$ のとき、 $sinθ$ , $sinθ -cosθ$ の値を求めよ。
2. さらに、 $0 < θ < π$ であるとき、 $sinθ, cosθ$ の値を求めよ。
$-π/2<θ<π/2$ , $cosθ=1/3$ のとき、 $sinθ, cosθ$ の値を求めよ。

解答を見る

1. $cosθ +sinθ=1/2$ の両辺を $2$ 乗して
$1+2cosθ=14 \Leftrightarrow cosθ=-3/8$

←拡張された三角関数の相互関係

また、この値を代入すれば、

$(cosθ -sinθ)² =1-2cosθ =7/4$

よって、 $cosθ -sinθ=\pm\sqrt7/2$ 。

$sinθ -cosθ$ は $cosθ -sinθ$ の符号を変えたものなので、 $sinθ -cosθ=\pm\sqrt7/2$ 。 2. 1.より、次の連立方程式が成立する。

$cosθ +sinθ=1/2 cosθ -sinθ=\pm\sqrt7/2$

上の式を $①$ 、下の式を $②$ とすると、 $①-②$ より $2sinθ=1\mp\sqrt7/2$ であるが、 $0 < θ < π$ より $sinθ > 0$ なので、 $sinθ=(1+\sqrt7)/4$ 。つまり、 $cosθ -sinθ=-\sqrt7/2$ と分かるので、 $①+②$ より $cosθ=(1-\sqrt7)/4$ となる。
まず、 $cosθ \pm sinθ$ の $2$ 乗をそれぞれ考えて

$(cosθ+sinθ)² =1+2cosθ=53 (cosθ-sinθ)² =1-2cosθ=13 \Leftrightarrow cosθ+sinθ=\pm\sqrt15/3, cosθ-sinθ=\pm\sqrt3/3$

←拡張された三角関数の相互関係

である。ここで、 $-π/2<θ<π/2$ より $cosθ > 0$ 。また、 $cosθ > 0$ なので $sinθ > 0$ と分かる。

よって、 $cosθ>0, sinθ>0$ から $cosθ + sinθ > 0$ 。

$cosθ +sinθ=\sqrt15/3 cosθ -sinθ=\pm\sqrt3/3$

この連立方程式を解いて（複合同順）

$(cosθ, sinθ)$ $=(\sqrt15\pm\sqrt3/6, \sqrt15\mp\sqrt3/6)$

三角関数の性質

$θ+2nπ$ の三角関数

$n$ が整数のとき、角 $θ+2nπ$ の動径は、角 $θ$ の動径と一致するので、次の公式が成り立つ。

定理6 $θ+2nπ$ の三角比

任意の角 $θ$ について

$sin(θ+2nπ)=sinθ cos(θ+2nπ)=cosθ tan(θ+2nπ)=tanθ$

が成り立つ。ただし、 $n$ は整数とする。

$-θ$ の三角関数

暗記1 $-θ$ の三角関数

$sin(-θ),cos(-θ),tan(-θ)$ を、それぞれ $sinθ,cosθ,tanθ$ で表せ。

解答を見る

図のように、単位円周上に角 $θ$ の動径 $OP$ と角 $-θ$ ( $=θ'$ とする)の動径 $OP'$ をとる。

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、 $と △OPQと△OP'Q'$ は合同なので、点 $P'$ の座標は $(x, -y)$ となるから

$sinθ'=-y=-sinθ cosθ'=x=cosθ tanθ'=(-y)/x=-tanθ$

原点Oを中心とする単位円において、動径OPが示す角θの点P(x, y)と、動径OP'が示す角θ'の点P'(x, -y)がx軸に関して対称に描かれている。左上にはθ'=-θと記されている。

定理7 $-θ$ の三角比

任意の角 $θ$ について

$sin(-θ)=-sinθ cos(-θ)=cosθ tan(-θ)=-tanθ$

が成り立つ。

単位円上に、角θを表す動径OPと点P(x, y)、角θ'=-θを表す動径OP'と点P'(x, -y)が描かれており、2点P, P'はx軸に関して対称の位置にある。

$θ+π$ の三角関数

暗記2 $θ+π$ の三角関数

$sin(θ+π),cos(θ+π),tan(θ+π)$ を、それぞれ $sinθ,cosθ,tanθ$ で表せ。

解答を見る

図のように、単位円周上に角 $θ$ の動径 $OP$ と角 $π +θ$ ( $= θ'$ とする)の動径 $OP'$ をとる。

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、 $と △OPQと△OP'Q'$ は合同なので、点 $P'$ の座標は $(-x, -y)$ となるから

$sinθ'=-y=-sinθ cosθ'=-x=-cosθ tanθ'=(-y)/(-x)=y/x=tanθ$

単位円上の点P(x, y)を表す動径OPと、角θからπ回転させた動径OP'上の点P'(-x, -y)があり、x軸に下ろした垂線による直角三角形OPQとOP'Q'が原点対称に塗られている。

定理8 $θ+π$ の三角比

任意の角 $θ$ について

$sin(θ+π)=-sinθ cos(θ+π)=-cosθ tan(θ+π)=tanθ$

が成り立つ。

単位円上に角θを表す点P(x, y)と、角θ'(=π+θ)を表す原点に関して対称な点P'(-x, -y)がある。それぞれの点からx軸に垂線を下ろした直角三角形が描かれている。

$θ+π/2$ の三角関数

暗記3 $θ+π/2$ の三角関数

$sin(θ+π/2),cos(θ+π/2),tan(θ+π/2)$ を、それぞれ $sinθ,cosθ,tanθ$ で表せ。

解答を見る

図のように、単位円周上に角 $θ$ の動径 $OP$ と角 $θ+π/2$ ( $= θ'$ とする)の動径 $OP'$ をとる。

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、 $と △OPQと△OP'Q'$ は合同なので、 $OQ'=PQ=y$ 、 $P'Q'=OQ=x$ のように縦と横の長さが入れかわり、点 $P'$ の座標は $(-y, x)$ となるから

$sinθ'=x=cosθ cosθ'=-y=-sinθ tanθ'=x/(-y)=-1/tanθ$

単位円上に動径OPが表す点P(x, y)と、それを角π/2だけ回転させた点P'(-y, x)があり、各点からx軸へ下ろした垂線による直角三角形OPQとOP'Q'が描かれている。

定理9 $θ+π/2$ の三角比

任意の角 $θ$ について

$sin(θ+π/2)=cosθ cos(θ+π/2)=-sinθ tan(θ+π/2)=-1/tanθ$

が成り立つ。ただし、 $tan$ についての式は、 $θ\neq(n/2)π$ ( $n$ は整数)のときに限る。

単位円上の点P(x, y)の動径OPの角をθとし、これをπ/2回転させた動径OP'上の点P'の座標が(-y, x)になることを示している。このとき、動径OP'の表す角θ'はθ+π/2である。

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学II 第3章 三角関数 — 三角関数について

三角関数の定義

三角関数の定義について

定義1三角関数の定義

定理2tanθの図形的意味

三角関数の定義域と値域

定理3三角関数の定義域と値域

三角関数の符号と動径の象限

定理4三角関数の符号と動径の象限

問題1任意の角に対する三角関数の値

問題2三角関数を含む方程式

問題3三角関数を含む不等式

問題4範囲をもつ変数の置き換え

三角関数の相互関係

三角関数の相互関係について

定理5拡張された三角関数の相互関係

問題5三角関数の相互関係の利用

問題6 sinθ±cosθとsinθの関係

三角関数の性質

θ+2nπの三角関数

定理6 θ+2nπの三角比

-θの三角関数

暗記1-θの三角関数

定理7-θの三角比

θ+πの三角関数

暗記2 θ+πの三角関数

定理8 θ+πの三角比

θ+π/2の三角関数

暗記3 θ+π/2の三角関数

定理9 θ+π/2の三角比

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数学II 第3章三角関数 — 三角関数について

定理2 $tanθ$ の図形的意味

問題6 $sinθ\pmcosθ$ と $sinθ$ の関係

$θ+2nπ$ の三角関数

定理6 $θ+2nπ$ の三角比

$-θ$ の三角関数

暗記1 $-θ$ の三角関数

定理7 $-θ$ の三角比

$θ+π$ の三角関数

暗記2 $θ+π$ の三角関数

定理8 $θ+π$ の三角比

$θ+π/2$ の三角関数

暗記3 $θ+π/2$ の三角関数

定理9 $θ+π/2$ の三角比