数学II 第1章式と証明 — 等式の証明

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式 $2x+y$ と $x+y+x$ は形は違えども、 $x$ や $y$ がどのような値をとっても式の値は等しくなる。このように式の形が異なっていても、その値は同じになるとうことを示すには、証明というステップを踏む必要がある。以下では、ある式とある式が等しいことを示す、『等式の証明』に関して考えていこう。

恒等式

多項式とはなんであったか

FTEXT 数学Iで学んだように、いくつかの単項式の和や差として表される式を多項式(polynomial) といった。たとえば、 $4x² - 3x + 5$ は、 $x$ の2次多項式である。この式の $x$ にはさまざまに変化する値が代入されると想定されるが、このような $x$ を変数(variable)と呼ぶ。それに対して、この式の $4$ や $- 3$ や $5$ のように、一定の値のまま変化しないものを定数(constant)と呼ぶ。

これらの言葉をつかうと、定数 $a0, a1, \dots, an$ を係数とする変数 $x$ の式

$anx^n+an-1x^n-1+\dots+a1x+a0$

を $x$ の多項式と定義できる。

多項式の相等

$2 + 3 = 5$ という等式は、 $2 + 3$ という数が $5$ という数と等しいという、関係を表したものである。この例は数の関係を表したものであるが、関係はなにも数に限ったことではなく、多項式についても同様に関係を表すことができる。多項式と多項式の関係の1つである、多項式の相等を以下に定義しておこう。

定義1多項式の相等

2つの $n$ 次多項式 $f(x),g(x)$

$f(x)=anx^n+an-1x^n-1+\dots+a1x+a0$ $g(x)=bnx^n+bn-1x^n-1+\dots+b1x+b0$

において、すべての係数が等しい、すなわち

$an=bn, an-1=bn-1, \dots$ $, a1=b1, a0=b0$

が成り立つとき、 $f(x)$ と $g(x)$ は多項式として等しいという。

たとえば、多項式 $f(x) = 3x² - 4x + 7$ と多項式 $g(x) = 3x² - 4x + 7$ は、すべての係数が等しいので、多項式として等しいといえる。しかし、多項式 $h(x) = 3x² - 5x + 7$ は、すべての係数が等しいわけではないので、多項式として等しいとはいえない。

恒等式とは何か

式 $x² = - x + 2$ は $x = 1$ または $x = - 2$ のとき成り立つ等式である。このように、特別な値を入れたときだけ成り立つ等式を方程式(equation)という。

これに対して、式 $x² - x = x(x - 1)$ のように、 $x$ にどのような値を代入しても成り立つ等式のことを 恒等式（こうとうしき）(identity)である。

値を代入する文字、すなわち変数は1つとは限らない。たとえば、 $(x - y)(x + y) = x² - y²$ は、 $x,y$ にどのような値を代入しても成り立つので恒等式と考える。

定義2恒等式の定義

ある等式において、その変数にどのような値を代入しても、常に等式が成り立つとき、その等式をそれらの文字についての恒等式(identity)という。ただし、分数式のように、分母が $0$ になって代入できない値があるときは、その値を除いて考える。

一般に、式の変形によって導かれる等式は、どれも恒等式である。たとえば、 $(x - 1)(x - 3)$ を展開すると $x² - 4x + 3$ となるので、等式

$(x-1)(x-3)=x²-4x+3$

は恒等式である。

問題1恒等式〜その1〜

次の等式のうち、恒等式はどれか。

$(x+3)(x+1)-5(x+1)$ $=(x-2)(x+1)$
$(x+y)(x-y)+x²+2x=(x+y)²$
$1/x+1/(x+1)=1/x(x+1)$

解答を見る

左辺を展開すると

(左辺)

\begin{eqnarray} &=&x^2+4x+3-5x-5\ &=&x^2-x-2\ &=&(x-2)(x+1)= \end{eqnarray}

(右辺)

ゆえに、

恒等式である。
両辺に、 $x = 1,y = 0$ を代入すると

← $x = 1,y = 0$ はひとつの例である

(左辺) $=(1+0)(1-0)$ $+1²+2・ 1=4$

(右辺) $=(1+0)²=1$

左辺の値と右辺の値が異なるので

恒等式ではない。
両辺に、 $x = 1$ を代入すると

← $x = 1$ はひとつの例である

(左辺) $=1/1+1/(1+1)=3/2$

(右辺) $=1/1(1+1)=1/2$

左辺の値と右辺の値が異なるので

恒等式ではない。

以上から、恒等式は
である。

多項式が恒等的に0になる条件

$a0,a1,a2$ を定数とするとき、等式 $a2x²+a1x+a0=0$ が $x$ についての恒等式となるのは、係数 $a0,a1,a2$ にどのような条件が備わっているときなのか調べてみる。

$a2x²+a1x+a0=0$ が $x$ についての恒等式であるならば、 $x$ にどのような値を代入しても、この等式は成り立つので、たとえば、 $x=-1,x=0,x=1$ をそれぞれ代入すると

$a2-a1+a0=0 a0=0 a2+a1+a0=0$

が必要であり、この連立方程式を解くと

$a2=a1=a0=0$

となる(下の $\Rightarrow$ の証明)。逆に、 $a2=a1=a0=0$ とすると、等式 $a2x²+a1x+a0=0$ は明らかに $x$ についての恒等式となる(下のの証明)。

以上より、次のことが成り立つ。

「 $a2x²+a1x+a0=0$ が $x$ についての恒等式である」 $\Leftrightarrow a2=a1=a0=0$

この例では2次式の等式について考えたが、一般に、同類項を整理した後の多項式について、次のことが成り立つ。

定理3多項式が恒等的に $0$ になる条件

多項式 $f(x)=anx^n+an-1x^n-1+\dots$ $+a1x+a0$ において

$f(x)=0$

が恒等式となるのは、 $f(x)$ の各項の係数がすべて $0$ になる、すなわち

$an=an-1=\dots=a1=a0=0$

のときである。

この証明は、付録多項式が恒等的に $0$ になる条件の証明で行う。

暗記1多項式の恒等式

2つの $n$ 次の多項式 $f(x),g(x)$ をそれぞれ

$f(x)=anx^n+an-1x^n-1+\dots$ $+a1x+a0$ $g(x)=bnx^n+bn-1x^n-1+\dots$ $+b1x+b0$

とおく。このとき、等式

$f(x)=g(x)$

が恒等式となるのは、 $f(x)$ と $g(x)$ が多項式として等しいとき、すなわち

$an=bn , an-1=bn-1 , \dots$ $, a1=b1 , a0=b0$

が成り立つときであることを上の多項式が恒等的に $0$ になる条件を使い証明せよ。

解答を見る

等式 $f(x) = g(x)$ が恒等式であることと、等式 $f(x) - g(x) = 0$ が恒等式であること、すなわち $(an-bn)x^n+(an-1-bn-1)x^n-1+\dots$ $+(a1-b1)x+a0-b0=0$

が恒等式となることとは同値である。

←このあとすぐに習う『等式の証明について』の知識を使った

この恒等式が成り立つのは、多項式が恒等的に $0$ になる条件より

$an-bn=0 , an-1-bn-1=0 , \dots$ $, a1-b1=0 , a0-b0=0$

すなわち

$an=bn , an-1=bn-1 , \dots$ $, a1=b1 , a0=b0$

が成り立つときである。

この例題の内容をまとめると、次のようになる。

定理4多項式の相等と恒等式

$f(x),g(x)$ を多項式とするとき

$f(x)=g(x)$

が恒等式となるのは、 $f(x)$ と $g(x)$ の次数が等しく、両辺の同じ次数の項の係数がそれぞれ等しいとき、すなわち多項式として等しいときである。

このことから、 $x$ の多項式 $f(x),g(x)$ についての等式 $f(x)=g(x)$ が恒等式となるための条件として、

i) $x$ に具体的な値を代入して両辺が等しくなる(代入法)

ii)左右両辺の同じ次数の係数が等しくなっている(係数比較法)

上記のいずれの条件でもよいことがわかる。

ただし、i)の代入法だけで恒等式といえるのは、 $n$ 次以下の多項式どうしの等式について、異なる $n+1$ 個の値で両辺が等しくなることを確かめたときである。

以下では、この2つを活用して、恒等式を求めてみよう。

問題2恒等式〜その2〜

次の等式が恒等式となるように、定数 $a,b,c,d$ の値を定めよ。

$x²+3x=ax²+bx+c$
$x²=a(x-1)²+b(x-1)+c$
$x²=ax(x+1)+b(x-1)+c$
$x³=a(x-1)³+b(x-1)²$ $+c(x-1)+d$
$x³=ax(x+1)(x+2)$ $+bx(x+1)+cx+d$

解答を見る

両辺の $x²$ の係数を比較すると、 $a=1$ である。

両辺の $x$ の係数を比較すると、 $b=3$ である。

両辺の定数項を比較すると、 $c=0$ である。
両辺の $x²$ の係数を比較すると、 $a=1$ である。

$x = 1$ を代入すると

←右辺には $x - 1$ という形の式があるので、 $x = 1$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

\begin{eqnarray} &&1^2=1(1-1)^2+b(1-1)+c\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{c=1} \end{eqnarray}

また、 $x = 0$ を代入すると

← $0$ 以外の数でもかまわないが、一番計算が簡単にできる $0$ を使った

\begin{eqnarray} &&0^2=1(0-1)^2+b(0-1)+1\ &&\Leftrightarrow~~0=1-b+1\ &&\Leftrightarrow~~\boldsymbol{b=2} \end{eqnarray}
両辺の $x²$ の係数を比較すると、 $a=1$ である。

$x = 1$ を代入すると

←右辺には $x - 1$ という形の式があるので、 $x = 1$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

\begin{eqnarray} &&1^2=1\cdot1(1+1)+b(1-1)+c\ &&\Leftrightarrow~~2+c=1\ &&\Leftrightarrow~~\boldsymbol{c=-1} \end{eqnarray}

また、 $x = - 1$ を代入すると

←右辺には $x + 1$ という形の式があるので、 $x = - 1$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

\begin{eqnarray} &&(-1)^2=1(-1)(-1+1)\ &&\qquad+b(-1-1)-1\ &&\Leftrightarrow~-2b-1=1\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=-1} \end{eqnarray}
両辺の $x³$ の係数を比較すると、 $a=1$ である。

$x = 1$ を代入すると

←右辺には $x - 1$ という形の式があるので、 $x = 1$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

\begin{eqnarray} &&1^3=a(1-1)^3+b(1-1)^2\ &&\qquad+c(1-1)+d\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{d=1} \end{eqnarray}

右辺を展開すると

(右辺)

\begin{eqnarray} &&=1(x^3-3x^2+3x-1)\ &&\quad+b(x^2-2x+1)+cx-c+1 \ &&=x^3+(b-3)x^2\ &&\quad+(-2b+c+3)x+(b-c) \end{eqnarray}

$x²$ と $x$ の項の係数を比較すると

$b-3=0 -2b+c+3=0$

この連立方程式を解くと、 $b=3,c=3$ となる。

【別解：微分法を用いる】

$x = 1$ を代入すると

←右辺には $x - 1$ という形の式があるので、 $x = 1$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

\begin{eqnarray} &&1^3=a(1-1)^3+b(1-1)^2\ &&\qquad+c(1-1)+d\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{d=1} \end{eqnarray}

与式の両辺を微分すると

$3x²=3a(x-1)²$ $+2b(x-1)+c①$

これに $x = 1$ を代入すると

←右辺には $x - 1$ という形の式があるので、 $x = 1$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

$3・ 1²=3a(1-1)²+2b(1-1)+c$

$\Leftrightarrow c=3$

$①$ の両辺をさらに微分すると

$6x=6a(x-1)+2b②$

これに $x = 1$ を代入すると

←右辺には $x - 1$ という形の式があるので、 $x = 1$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

\begin{eqnarray} &&6\cdot 1=6a(1-1)+2b\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=3} \end{eqnarray}

$②$ の両辺をさらに微分すると

$6=6a\Leftrightarrow a=1$
右辺の $x³$ の係数は $a$ なので、 $a=1$ である。

$x = 0$ を代入すると

$d=0$

また、 $x = - 1$ を代入すると

←右辺には $x + 1$ という形の式があるので、 $x = - 1$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

\begin{eqnarray} &&(-1)^3=1(-1)(-1+1)(-1+2)\ &&\qquad+b(-1)(-1+1)+c(-1)+0\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{c=1} \end{eqnarray}

さらに、 $x = - 2$ を代入すると

←右辺には $x + 2$ という形の式があるので、 $x = - 2$ を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

\begin{eqnarray} &&(-2)^3=1(-2)(-2+1)(-2+2)\ &&\qquad+b(-2)(-2+1)+1(-2)+0\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=-3} \end{eqnarray}

問題3恒等式〜その3〜

$k$ が任意の値をとるとき、常に次の等式が成り立つように、 $x,y$ の値を求めよ。

$(2k-1)x+(k-1)y-k+3=0$

解答を見る

左辺を展開し、 $k$ についてまとめると

$(2x+y-1)k-x-y+3=0$

これが $k$ がいかなる値でも成り立つのは

$2x+y-1=0 -x-y+3=0$

のとき。

← $(2x+y-1)k-x-y+3=0・ k+0$ と考えて両辺の係数を比較した

この連立方程式を解くと $x=-2,y=5$ である。

2つ以上の変数に関する恒等式

$a,b,c,d,e,f$ を定数とするとき

$ax²+by²+cxy+dx+ey+f=0$

が $x,y$ についての恒等式であるとき、係数にはどのような関係が成り立つのか考えてみる。

まず、左辺を $x$ について整理すると

$ax²+(cy+d)x+(by²+ey+f)=0$

となるが、まず $x$ についての恒等式であるから、多項式が恒等的に $0$ になる条件より次のことが成り立つ。

$a=0 , cy+d=0 , by²+ey+f=0$

ここでは、 $y$ の値を1つ決めるごとに、 $cy+d$ や $by²+ey+f$ を定数とみなしている。

また、これらが $y$ についての恒等式でもあるから、結局得られるのは

$a=0 , b=0 , c=0$ $, d=0 , e=0 , f=0$

となる。

一般に、次にようにまとめることができる。

定理52つ以上の文字に関する恒等式

複数の変数に関する等式が恒等式となる条件は、同類項でまとめたあとの各項の係数がすべて $0$ になることである。

等式の証明について

等式の証明を考える

恒等式 $A = B$ を証明するには、 $A$ か $B$ の一方を変形して、他方を導けばよい。

たとえば

$(x²+x+1)(x²-x+1)$ $=x⁴+x²+1$

を証明するには

\begin{eqnarray} \text{(左辺)}&=&(x^2+x+1)(x^2-x+1)\ &=&x^4-x^3+x^2+x^3\ &&-x^2+x+x^2-x+1\ &=&x^4+x^2+1\ &=&\text{(右辺) } \end{eqnarray}

とすればよい。

しかし、問題によっては $A = B$ を導くことができる

$A = C$ かつ $B = C$
$A - B = 0$

などの等式を証明する方が簡単なときもあるので、適宜使い分ける。

問題4等式の証明〜その1〜

以下の等式を証明せよ。

$(x+y)²-(x-y)²=4xy$
$(a²-b²)(c²-d²)$ $=(ac+bd)²-(ad+bc)²$
$(x³+1)(x²+x+1)$ $=(x+1)(x⁴+x²+1)$

解答を見る

左辺を展開し整理すると

（左辺）

\begin{eqnarray} &&=x^2+2xy＋y^2-(x^2-2xy+y^2)\ &&=4xy= \end{eqnarray}

(右辺)

となる。
両辺をそれぞれ展開し整理すると

(左辺)

$=a²c²-a²d²-b²c²+b²d²$

(右辺)

\begin{eqnarray} &&=a^2c^2+2abcd+b^2d^2\ &&\qquad\qquad-(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)\ &&=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2 \end{eqnarray}

よって、(左辺) $=$ 右辺)がいえる。

←「 $A = C$ かつ $B = C$ 」ならば「 $A = B$ 」という論法を使った}
左辺を変形して

(左辺)

\begin{eqnarray} &&=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\ &&=(x+1){(x^2+1)^2-x^2}\ &&=(x+1)(x^4+x^2+1)= \end{eqnarray}

(右辺)

となる。

問題5等式の証明〜その2〜

以下の等式を証明せよ。

$1/(x+2)+1/(x-2)=2x/(x²-4)$
$1/(x+1)+1/(y+1)$ $=(1-xy)/(x+1)(y+1)+1$
$2/(x+2)-1/(x+3)$ $+x/(x+2)(x+3)=2/(x+3)$

解答を見る

左辺を通分して計算していくと

(左辺)

$=(x-2)/(x+2)(x-2)+(x+2)/(x+2)(x-2)$

$=(x-2+x+2)/(x+2)(x-2)=2x/(x²-4)=$

(右辺)

となる。
両辺をそれぞれ通分して計算していくと

(左辺)

$=(y+1)/(x+1)(y+1)+(x+1)/(x+1)(y+1)$

$=(x+y+2)/(x+1)(y+1)$

(右辺)

$=(1-xy)/(x+1)(y+1)+(x+1)(y+1)/(x+1)(y+1)$

$=(1-xy+xy+x+y+1)/(x+1)(y+1)$

$=(x+y+2)/(x+1)(y+1)$

よって、(左辺) $=$ (右辺)がいえる。
左辺を通分して計算していくと

(左辺)

$=(2x+6)/(x+2)(x+3)-(x+2)/(x+2)(x+3)$ $+x/(x+2)(x+3)$

$=(2x+4)/(x+2)(x+3)$

$=2(x+2)/(x+2)(x+3)=2/(x+3)=$

(右辺)

となる。

条件つきの等式の証明

等式の中には、恒等式ではないが、ある条件のもとではつねに成り立つ等式がある。

たとえば、 $a² - 2b² = ab$ は恒等式ではない（ $a = b = 1$ を考えてみよ）。しかし、 $a + b = 0$ という条件の下では常に成り立つ。これを証明するには、条件 $a + b = 0$ から $b = - a$ が成り立つことを利用して

（左辺） $= a² - 2( - a)² = - a²$

（右辺） $= a( - a) = - a²$

より、（左辺） $=$ （右辺）とすればよい。

一般に、ある条件のもとで成り立つ等式を証明するには、その条件式を証明すべき式に代入すればよい。そのことを次の例題で学んでいこう。

問題6条件つきの等式の証明-その1-

次の等式を証明せよ。

$a + b = 0$ のとき、 $ab + a² = 0$
$a + b = 0$ のとき、 $a² - 2b² = ab$
$x + y = 1$ のとき、 $x² + y² + 1 = 2(x + y - xy)$

解答を見る

左辺を変形すると

（左辺） $= a(a + b) = 0$

$a+b=0$ を使った

よって、（左辺） $=$ （右辺）がいえる。
$a + b = 0$ より、 $b = - a$ なので

（左辺） $=a² - 2( - a)² = - a²$

$b=-a$ を使った

（右辺） $= a( - a) = - a²$

よって、（左辺） $=$ （右辺）がいえる。
$x + y = 1$ より、 $y = 1 - x$ なので

（左辺） $= x² + (1 - x)² + 1$

$y=1-x$ を使った

$= x² + 1 - 2x + x² + 1 = 2(x² - x + 1)$

（右辺） $=2x + (1 - x) - x(1 - x)$

$y=1-x$ を使った

$= 2(x + 1 - x - x + x²)$ $= 2(x² - x + 1)$

よって、（左辺） $=$ （右辺）がいえる。

問題7条件つきの等式の証明-その2-

次の等式を証明せよ。

$xy = 1$ のとき、 $(x+1/y)(y+1/x)=4$
$x+1/x=3$ のとき、 $x²+1/x²=7$
$xyz = 1$ のとき、 $1/xy+1/yz+1/zx=x+y+z$

解答を見る

$xy = 1$ より、 $x\neq 0$ であるから、 $y=1/x$ と変形できる。

これを左辺にもちいると

（左辺） $=(x+x)(1/x+1/x)$

$=2x・2/x$

$=4=$ （右辺）となる。
$x+1/x=3$ を左辺にもちいると

（左辺） $=(x+1/x)²-2・ x・ 1/x$

$a²+b²=(a+b)²-2ab$ という変形を使った

$=3²-2=7$

$x+1/x=3$ を使った

より、（左辺） $=$ （右辺）である。
$xyz = 1$ より、 $z=1/xy$ なので

（左辺） $=1/xy+1/(y・1/xy)+1/(1/xy・ x)$

$=1/xy+x+y$

$=x+y+z=$ （右辺）

$z=1/xy$ を使った

となる。

比例式を条件にもつ等式の証明

$a:b = x:y$ の定義は $bx = ay$ である。特に $x, y$ が $0$ でないとき、 $a/x=b/y$ と変形できる。この $a/x=b/y$ のように、比の値が等しいことを示す式を比例式(proportional expression)という。

比例式を条件とする場合には、比の値を $k$ 、すなわち $a/x=b/y=k$ などとおき、 $a = xk$ かつ $b = yk$ の形で利用すると計算しやすい。

また

$a:b:c=x:y:z$

を、 $a, b, c$ の連比(continued ratio)といい、 $a:b = x:y$ かつ $b:c = y:z$ かつ $c:a = z:x$ 、すなわち

$bx = ay$ かつ $cy = bz$ かつ $az = cx$

と定義する。こちらの場合も、 $x, y, z$ が $0$ でないとき、 $a/x=b/y=c/z$ と変形できる。

問題8比例式を条件にもつ等式の証明

$0$ でない実数 $a, b, c, d, x, y, z$ において、次の等式を証明せよ。

$a:b = c :d$ のとき、 $(a²+b²)/(c²+d²)=(b/d)²$
$a:b = c :d$ のとき、 $(a²+c²)/(b²+d²)=ac/bd$
$a:b:c = x :y :z$ のとき、 $(a²+b²+c²)/(x²+y²+z²)=(ab+bc+ca)/(xy+yz+zx)$

解答を見る

$a = ck, b = dk$ とおくと

（左辺） $=(c²k²+d²k²)/(c²+d²)$

$=k²(c²+d²)/(c²+d²)=k²$

（右辺） $=(b/d)²$

$=d²k²/d²=k²$

より、（左辺） $=$ （右辺）である。 2. $a = ck, b = dk$ とおくと

（左辺）= $(c²k²+c²)/(d²k²+d²)$

$=c²(k²+1)/d²(k²+1)=c²/d²$

（右辺） $=c²k/d²k=c²/d²$

より、（左辺） $=$ （右辺）である。 3. $a = xk, b = yk, c = zk$ とおくと

（左辺）= $(x²k²+y²k²+z²k²)/(x²+y²+z²)$

$=k²(x²+y²+z²)/(x²+y²+z²)=k²$

（右辺） $=(xyk²+yzk²+xzk²)/(xy+yz+zx)$

$=k²(xy+yz+xz)/(xy+yz+zx)=k²$

より、（左辺） $=$ （右辺）である。

対称式

対称式の定義

次の6つの式

$1) x+y 2) xy 3) x²+y²$

$4) 1/x+1/y 5) 2x³+3y² 6) 2/x+y/2$

において、各式の中の $x$ と $y$ を入れ換えてみると

$1)' x+y 2)' yx 3)' y²+x²$

$4)' 1/y+1/x 5)' 2y³+3x² 6)' 2/y+x/2$

となる。

ここで、式 $～ 1)'～4)'$ はそれぞれ元の式 $～ 1)～4)$ と恒等的に等しく、 $5)'$ と $6)'$ はそれぞれ元の $5)$ 、 $6)$ と等しくない。

このように、文字を入れ換えても、式が変わるものと変わらないものとがあり、変わらないものを対称式という。

定義6対称式の定義

式の中の文字 $x, y$ を入れ換えても、同じ式となる式のことを、その文字に関する対称式(symmetric expression)という。

対称式の中でも特に

$x+y$ $xy$

の2式を、基本対称式(elementary symmetric expression)という。

対称式の基本定理

証明は高校の程度を越えるが、一般に次のことが知られている。

定理7対称式の基本定理

すべての対称式は、基本対称式の和、差、積、商の組合せで表すことができる。

問題9対称式を基本対称式の組み合わせで表す

$x + y = A, xy = B$ とするとき、次の各式を $A, B$ を用いて表せ。

$x²+y²$
$x³+y³+x+y$
$1/x+1/y$
$y/x+x/y$

解答を見る

$x²+y²$

$=(x+y)²-2xy$

$=A²-2B$

$x³+y³+x+y$

$=(x+y)³-3xy(x+y)+(x+y)$

$=A³-3AB+A$

$1/x+1/y$

$=y/xy+x/xy$

$=(x+y)/xy$

$=A/B$

$y/x+x/y$

$=y²/xy+x²/xy$

$=(x²+y²)/xy$

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学II 第1章 式と証明 — 等式の証明

恒等式

多項式とはなんであったか

多項式の相等

定義1多項式の相等

恒等式とは何か

定義2恒等式の定義

問題1恒等式〜その1〜

多項式が恒等的に0になる条件

定理3多項式が恒等的に0になる条件

暗記1多項式の恒等式

定理4多項式の相等と恒等式

問題2恒等式〜その2〜

問題3恒等式〜その3〜

2つ以上の変数に関する恒等式

定理52つ以上の文字に関する恒等式

等式の証明について

等式の証明を考える

問題4等式の証明〜その1〜

問題5等式の証明〜その2〜

条件つきの等式の証明

問題6条件つきの等式の証明-その1-

問題7条件つきの等式の証明-その2-

比例式を条件にもつ等式の証明

問題8比例式を条件にもつ等式の証明

対称式

対称式の定義

定義6対称式の定義

対称式の基本定理

定理7対称式の基本定理

問題9対称式を基本対称式の組み合わせで表す

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数学II 第1章式と証明 — 等式の証明

定理3多項式が恒等的に $0$ になる条件