数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 2次方程式と2次関数

この節の練習問題14問だけをまとめて見る・印刷する →

2次関数 $y=ax²+bx+c$ が与えられたとき、このグラフと2次方程式 $ax²+bx+c=0$ の間には密接な関係がある。ここではまず2次方程式の解法について復習し、その解が2次関数とどのような関係にあるか考えていく。

2次方程式とは

$a\neq0$ 、 $b$ 、 $c$ を定数として $ax²+bx+c=0$ という形で表すことのできる方程式を2次方程式 (quadratic equation) という。

与えられた2次方程式を満たす $x$ の値を求めることを、その2次方程式を解くといい、その $x$ の値を、その2次方程式の解とよぶ。

2次方程式の解法

因数分解を利用した解法

2次方程式 $ax²+bx+c=0$ の左辺が因数分解できる場合には、実数 $A$ 、 $B$ についての積の性質 $または AB=0 \Leftrightarrow A=0 または B=0$ をもちいて、次の例のように解くことができる。

なお、「または」はカンマ「 $,$ 」で代用されることがある。

暗記12次方程式の解法（因数分解の利用）

2次方程式 $3x²+2x-8=0$ を、因数分解を使って解くことを考えよう。

左辺を因数分解すると、2次方程式は $(x+［A］)(［B］x-［C］)=0$ と変形できる。

一般に、実数 $P$ 、 $Q$ について $または PQ=0 \Leftrightarrow P=0 または Q=0$ が成り立つから、 $P=x+［A］$ 、 $Q=［B］x-［C］$ と考えれば $または x+［A］=0 または［B］x-［C］=0$ が成り立つ。

この2つの式は、1次方程式であり、それぞれ解くと $x=-［D］ , x=［E］/［F］$ となり、これが2次方程式の解である。

解答を見る

$［A］=2$ 、 $［B］=3$ 、 $［C］=4$ 、 $［D］=2$ 、 $［E］=4$ 、 $［F］=3$

問題12次方程式を解く（因数分解の利用）

次の2次方程式を解け。

$x²-2x-15=0$
$x²-8x+16=0$
$12x²-17x+6=0$
$3x²+2x-3=-2x+1$
$(1/9)x²+x+2=0$

解答を見る

左辺を因数分解して $(x+3)(x-5)=0 \Leftrightarrow x=-3 , 5$
左辺を因数分解して $(x-4)²=0 \Leftrightarrow x=4$
左辺を因数分解して $(4x-3)(3x-2)=0 \Leftrightarrow x=3/4 , 2/3$
まず、式を整理すると $3x²+4x-4=0$ となるので、左辺を因数分解して $(x+2)(3x-2)=0 \Leftrightarrow x=-2 , 2/3$
両辺を $9$ 倍すると $x²+9x+18=0$ となるので、左辺を因数分解して $(x+6)(x+3)=0 \Leftrightarrow x=-6 , -3$

2次方程式の解の公式による解法

2次方程式 $(x+2)²=7$ は以下のように解くことができる。 $(x+2)²=7 \Leftrightarrow x+2=\pm\sqrt7 x=-2\pm\sqrt7$ 一般に、 $(x+p)²=q$ の形 $(q≧0)$ の2次方程式は、上のようにして解くことができる。つまり、一般の2次方程式 $ax²+bx+c=0$ も、 $(x+p)²=q$ の形に変形できれば解ける。

では、どのように変形すれば $(x+p)²=q$ という形になるのだろうか。それには、すでに学習した方法である『平方完成』(『 $y=ax²+bx+c$ のグラフ』を参照)を使う。

暗記2平方完成を利用した2次方程式の解法

『2次方程式の解法』の例題では、因数分解を利用して解いた2次方程式 $3x²+2x-8=0$ を、今度は平方完成を使って解いてみよう。

まず、 $x²$ の係数 $3$ によって $x²$ と $x$ の項をくくると $3{x²+(［A］/［B］)x}-8=0$ $［A］/［B］\times1/2=［C］/［D］$ を利用して、中かっこ ${ }$ の中を平方完成すると $3{(x+［C］/［D］)²-(［C］/［D］)²}-8=0 \Leftrightarrow 3{(x+［C］/［D］)²-［E］/［F］}-8=0 \Leftrightarrow 3(x+［C］/［D］)²-［G］/［H］-8=0 \Leftrightarrow (x+［C］/［D］)²=［I］/［J］$ 2乗して $［I］/［J］$ になるので、 $x+［C］/［D］$ は $［I］/［J］$ の平方根であるから $x+［C］/［D］=\pm\sqrt(［I］/［J］) \Leftrightarrow x+［C］/［D］=\pm［K］/［L］ \Leftrightarrow x=-［M］ , ［N］/［O］$ が解となる。

解答を見る

$［A］=2$ 、 $［B］=3$ 、 $［C］=1$ 、 $［D］=3$ 、 $［E］=1$ 、 $［F］=9$ 、 $［G］=1$ 、 $［H］=3$ 、 $［I］=25$ 、 $［J］=9$ 、 $［K］=5$ 、 $［L］=3$ 、 $［M］=2$ 、 $［N］=4$ 、 $［O］=3$

以上のように、平方完成を利用すれば、一般の2次方程式を解くことができることがわかった。しかし、2次方程式を解くたびに平方完成を実行していたのでは大変なので、結果を公式化してみよう。

具体的な2次方程式 3x^2+2x-8=0 と一般の2次方程式 ax^2+bx+c=0 について、平方完成を経て x=(-b±√(b^2-4ac))/2a を導く式変形の過程が左右並列で示されている。

$○²=3$ を満たす実数 $○$ は、 $○=\pm\sqrt3$ であるが、 $○²=-3$ を満たすような実数 $○$ は存在しない。同様に、上の式変形での $(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²$ において、右辺にある「 $b²-4ac$ 」の値が $0$ 以上ならば、この2次方程式は解をもつが、「 $b²-4ac$ 」の値が負ならば、この2次方程式は解をもたない。

この $b²-4ac$ を2次方程式の判別式 (discriminant) といい、2次関数の場合と同じように $D$ で表す。

定理12次方程式の解の公式

$D=b²-4ac≧0$ のとき、 $ax²+bx+c=0$ の解は $x=(-b\pm\sqrt(b²-4ac))/2a$ である。

問題22次方程式を解く（解の公式の利用）

次の2次方程式を解け。

$x²+7x+2=0$
$x²+8x-3=0$
$x²-x-3=0$
$x²-4x+5=0$
$4x²+6x+1=0$
$(1/6)x²+(1/2)x-1/3=0$

解答を見る

解の公式より $x²+7x+2=0 \Leftrightarrow x=(-7\pm\sqrt(7²-4・1・2))/2・1 =(-7\pm\sqrt41)/2$
解の公式より $x²+8x-3=0 \Leftrightarrow x=(-8\pm\sqrt(8²-4・1・(-3)))/2・1 =(-8\pm2\sqrt19)/2=-4\pm\sqrt19$
解の公式より $x²-x-3=0 \Leftrightarrow x=1\pm\sqrt((-1)²-4・1・(-3))/2・1 =1\pm\sqrt13/2$
解の公式より $x=4\pm\sqrt((-4)²-4・1・5)/2・1 =4\pm\sqrt(-4)/2$ $\sqrt(-4)$ が意味をもたないため、答えは解なし。
解の公式より $4x²+6x+1=0 \Leftrightarrow x=(-6\pm\sqrt(6²-4・4・1))/2・4 =(-6\pm2\sqrt5)/8 =(-3\pm\sqrt5)/4$
方程式の両辺に $6$ を掛けて整理すると $x²+3x-2=0$ 解の公式より $x=(-3\pm\sqrt(3²-4・1・(-2)))/2・1 =(-3\pm\sqrt17)/2$

$x$ の係数が偶数の場合の解の公式

2次方程式 $ax²+bx+c=0$ において $b$ が偶数の場合を考えてみよう。 $b=2b'$ とおいて、 $ax²+2b'x+c=0$ に解の公式を使うと次のようになる。

具体的な2次方程式 $で約分 x²+8x+3=0 x=(-8\pm\sqrt(8²-4・1・3))/2 =(-8\pm\sqrt(64-12))/2 =(-8\pm2\sqrt13)/2 =-4\pm\sqrt13 （注） 2で約分$
一般の2次方程式 $で約分 ax²+2b'x+c=0 x=(-2b'\pm\sqrt((2b')²-4ac))/2a =-2b'\pm\sqrt4b'²-4ac2a =-2b'\pm2\sqrtb'²-ac2a =-b'\pm\sqrtb'²-aca （注） 2で約分$

このように、 $x$ の係数が偶数の場合には、計算の最後で2で約分する必要があるので、解の公式を別に用意して、この手間をはじめから回避してしまおう。

定理2 $x$ の係数が偶数の場合の解の公式

$D≧0$ のとき、2次方程式 $ax²+2b'x+c=0$ の解は $x=-b'\pm\sqrtb'²-aca$ である( $D<0$ のときは解は存在しない)。

問題32次方程式を解く(解の公式の利用・ $x$ の係数が偶数の場合)

次の2次方程式を解け。

$x²-6x+4=0$
$\sqrt2x²-4x-\sqrt2=0$
$2(2-\sqrt3)x²+2(1-\sqrt3)x+1=0$

解答を見る

$x$ の係数が偶数の場合の解の公式より $x²-6x+4=0 \Leftrightarrow x=3\pm\sqrt((-3)²-1・4)=3\pm\sqrt5$ $の解（注） ax²+2b'x+c=0の解 x=-b'\pm\sqrtb'²-aca$
方程式の両辺に $\sqrt2$ を掛けて整理すると $2x²-4\sqrt2x-2=0 \Leftrightarrowx²-2\sqrt2x-1=0$

$x²$ の係数は有理数にしておくとよい（解の分母を有理化しなくて済む）

$x$ の係数が偶数の場合の解の公式より $x=\sqrt2\pm\sqrt((-\sqrt2)²-1・(-1)) =\sqrt2\pm\sqrt3$
方程式の両辺に $2+\sqrt3$ を掛けて整理すると $2(4-3)x² +2(-1-\sqrt3)x+(2+\sqrt3)=0 \Leftrightarrow 2x²-2(1+\sqrt3)x+2+\sqrt3=0$

まず $x²$ の係数は有理数にしておくとよい（解の分母を有理化しなくて済む）

$x$ の係数が偶数の場合の解の公式より $x={(1+\sqrt3)\pm \sqrt({-(1+\sqrt3)}²-2・(2+\sqrt3))} \div2 =(1+\sqrt3\pm\sqrt(4+2\sqrt3-4-2\sqrt3))/2 =(1+\sqrt3)/2$

2次方程式の解の個数

解自体ではなく解の個数だけならば、判別式 $D$ を調べればよい。

定理32次方程式の判別式と解の個数

2次方程式 $ax²+bx+c=0$ の解について

$D=b²-4ac>0$ のとき、解は2つ存在する。
$D=b²-4ac=0$ のとき、解は1つ存在する。

このただ1つの解は重解 (multiple solution) とよばれる。
$D=b²-4ac<0$ のとき、解は存在しない。

問題42次方程式の解の個数の判別

2次方程式 $x²-(k-1)x+(1/4)k²+k+1=0$ の解の個数は、定数 $k$ の値によってどのように変わるか調べよ。

解答を見る

2次方程式 $x²-(k-1)x+(1/4)k²+k+1=0$ の判別式を $D$ とすると $D={-(k-1)}²-4・1・((1/4)k²+k+1) =k²-2k+1-k²-4k-4 =-6k-3$

$-6k-3>0$ 、つまり $k<-1/2$ のとき

$D>0$ となり、方程式の解は2つ存在する。
$-6k-3=0$ 、つまり $k=-1/2$ のとき

$D=0$ となり、方程式の解は1つ存在する。

つまり重解をもつ
$-6k-3<0$ 、つまり $k>-1/2$ のとき

$D<0$ となり、方程式の解は存在しない。

以上i～iiiより、解の個数は次のようになる。

$のとき個 k<-1/2のとき2個$
$のとき個 k=-1/2のとき1個$
$のとき個 k>-1/2のとき0個$

問題52次方程式の解の個数の判別（ $x$ の係数が偶数の場合）

2次方程式 $3x²-2(m+1)x+(1/3)m²+m=0$ の解の個数は、定数 $m$ の値によってどのように変わるか調べよ。

解答を見る

2次方程式 $3x²-2(m+1)x+(1/3)m²+m=0$ の判別式を $D$ とすると $D/4={-(m+1)}²-3・((1/3)m²+m) =m²+2m+1-m²-3m =-m+1$

$-m+1>0$ 、つまり $m<1$ のとき

$D/4>0$ となり、方程式の解は2つ存在する。
$-m+1=0$ 、つまり $m=1$ のとき

$D/4=0$ となり、方程式の解は1つ存在する。

重解をもつ
$-m+1<0$ 、つまり $m>1$ のとき

$D/4<0$ となり、方程式の解は存在しない。

以上i～iiiより、解の個数は次のようになる。

$のとき個 m<1のとき2個$
$のとき個 m=1のとき1個$
$のとき個 m>1のとき0個$

2次方程式の解と因数分解

ここまで、2次方程式の解法が2つあることをみてきたが、その2つを見比べてみよう。

因数分解を利用した解法 $左辺の因数分解方程式の解 x²-3x-18=0 (x-6)(x+3)=0 （注）左辺の因数分解 x=6,-3 （注）方程式の解$
解の公式を用いた解法 $左辺の因数分解方程式の解 x²-5x-3 ??? （注）左辺の因数分解 x=5\pm\sqrt(5²-4・ 1・(-3))/2 =5\pm\sqrt37/2 （注）方程式の解$

上の $???$ の部分を、iの因数分解に対応させて、 $x²-5x-3$ の因数分解 $解の一つもう一つの解 x²-5x-3 =(x-(5+\sqrt37)/2解の一つ) (x-(5-\sqrt37)/2もう一つの解) ①$ が予想できる。そこで、 $①$ の右辺を展開してみると $(x-(5+\sqrt37)/2)(x-(5-\sqrt37)/2) =x²-((5+\sqrt37)/2+(5-\sqrt37)/2)x +((5+\sqrt37)/2)((5-\sqrt37)/2) =x²-((5+\sqrt37+5-\sqrt37)/2)x +(5+\sqrt37)(5-\sqrt37)/2・2 =x²-5x -3$ となり、 $①$ の式の左辺と一致している。つまり、 $①$ の因数分解は正しい。

一般に、2解α（アルファ）、β（ベータ）をもつ2次方程式 $x²+ax+b=0$ の左辺は、 $(x-α)(x-β)$ と因数分解できる。すなわち、 $x²+ax+b=(x-α)(x-β)$ $=x²-(α+β)x+αβ$ が成立する。ここで $x²+ax+b=x²-(α+β)x+αβ$ の係数を比較すると、次のようになる。

定理4解と係数の関係

2次方程式 $x²+ax+b=0$ に2解 $α$ 、 $β$ が存在するとき $α+β=-a , αβ=b$ が成立する。

なお、2次方程式 $ax²+bx+c=0$ の2解が $α$ 、 $β$ の場合には、この方程式全体を $a$ で割ることによって、 $x²+(b/a)x+c/a=0$ としてから考えればよい。つまり、 $α+β=-b/a$ 、 $αβ=c/a$ となる。

問題6解と係数の関係

2次方程式 $2x²+ax+b=0$ の2解が $x=1/2$ 、 $-1$ であったとき、 $a$ 、 $b$ を求めよ。

解答を見る

$2x²+ax+b=0$ の両辺を $2$ で割って、 $x²+(a/2)x+b/2=0$ となる。この2次方程式の2解が $x=1/2$ 、 $-1$ になるので $1/2+(-1)=-a/2 , 1/2\times(-1)=b/2$

これより、 $a=1, b=-1$ である。

2次方程式と2次関数の関係

2次関数から2次方程式を考える

2次関数 $f(x)=ax²+bx+c$ において、2次関数の判別式 $D=b²-4ac$ が $0$ 以上であれば、放物線 $y=f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもつ。

このとき、「共有点の $x$ 座標」を求めることを考えてみよう。

たとえば、2次関数 $f(x)=x²-x-2$ について、放物線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の共有点の座標を求めてみよう。

$y=f(x)=x²-x-2$ における判別式 $D$ の値は $D=(-1)²-4\times1\times(-2) =9>0$ と計算できるので、 $y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸と2つの共有点をもつのがわかる。

x軸と、右上に y=x^2-x-2 と添えられた下に凸の放物線がある。y軸や具体的な目盛りはなく、放物線がx軸と2つの共有点をもつ位置関係が描かれている。このグラフによる $x$ 軸との共有点の $y$ 座標は $0$ である。よって、共有点の $x$ 座標は $x²-x-2=0$ という2次方程式の解である。この方程式の解は、左辺を因数分解することにより $(x+1)(x-2)=0 \Leftrightarrowx+1=0 , x-2=0 \Leftrightarrowx=-1 , x=2$ と求めることができる。

座標平面上に、下に凸の放物線 y=x^2-x-2 が描かれている。この放物線は x軸と x=-1、x=2 の2点で交わっており、その交点に黒丸が打たれている。つまり、 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は $-1$ と $2$ である。

暗記32次関数から2次方程式を考える

2次関数 $f(x)=x²-3x-3$ について、放物線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の共有点の座標を求めたい。次の空欄に適当な数字を入れよ。

$y=f(x)=x²-3x-3$ における判別式 $D$ の値は $D=［A］>0$ と計算できるので、 $y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸と2つの共有点をもつのがわかる。

このグラフによる $x$ 軸との共有点の $y$ 座標は $［B］$ である。よって、共有点の $x$ 座標は $x²-3x-3=［B］$ という2次方程式の解である。

この式は簡単には因数分解できないので、解の公式を用いて解を求める。

$x=［C］\pm\sqrt［A］/［D］$ すなわち、 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は $(［C］-\sqrt［A］)/［D］$ と $(［C］+\sqrt［A］)/［D］$ である。

下に凸の放物線 y=x^2-3x-3 と、右向きに矢印のあるx軸が描かれている。放物線はx軸と2箇所で交わっており、原点やy軸、数値の目盛りは示されていない。 x軸と交わる下に凸の放物線 y=x^2-3x-3 があり、2つの共有点の x座標に D分の(C-√A) と D分の(C+√A) がそれぞれ示されている。

解答を見る

$［A］=21$ 、 $［B］=0$ 、 $［C］=3$ 、 $［D］=2$

定理5放物線と $x$ 軸との共有点

判別式 $D$ が $0$ 以上である2次関数 $y=ax²+bx+c$ のグラフと $x$ 軸 $(y=0)$ との共有点の $x$ 座標は

2次方程式 $ax²+bx+c=0$ の解である。

下に凸の放物線 y=ax^2+bx+c と x軸が2点で交わっており、その2つの共有点を指す矢印とともに「ax^2+bx+c=0 の解」と書かれている。

問題7放物線と $x$ 軸との共有点を調べる

次の放物線の、 $x$ 軸との共有点の数を調べよ。また、 $x$ 軸との共有点があれば、その共有点の座標を求めよ。

$y=x²-x-1$
$y=-4x²+4x-1$
$y=x²-x+1$

解答を見る

判別式を $D$ とすると $D=(-1)²-4・(-1)=5>0$ なので、 $x$ 軸と2つの共有点をもつ。

また $x²-x-1=0 \Leftrightarrow x=1\pm\sqrt5/2$

2次方程式の解の公式

だから、このグラフと $x$ 軸の共有点の座標は $、 ((1-\sqrt5)/2 , 0)、((1+\sqrt5)/2 , 0)$ となる。
判別式を $D$ とすると $D/4=2²-(-4)・(-1)=0$

または $D=4²-4・(-4)・(-1)=0$

なので、 $x$ 軸と1つの共有点をもつ（接する）。

また $-4x²+4x-1=0 \Leftrightarrow 4x²-4x+1=0 \Leftrightarrow (2x-1)²=0 \Leftrightarrow x=1/2$ だから、このグラフと $x$ 軸の共有点の座標は $(1/2 , 0)$ となる。
判別式を $D$ とすると $D=(-1)²-4=-3<0$ なので、 $x$ 軸と共有点をもたない。

問題8 $x$ 軸と接するための条件

2次関数 $y=4x²+2(k-1)x-k+4$ のグラフが $x$ 軸と接するように、定数 $k$ の値を定めよ。

解答を見る

2次関数 $y=4x²+2(k-1)x-k+4$ の判別式を $D$ とすると $D/4=(k-1)²-4(-k+4) =k²-2k+1+4k-16 =k²+2k-15$

放物線が $x$ 軸と接するのは $D=0$ のときであるから

$k²+2k-15=0 \Leftrightarrow (k+5)(k-3)=0 ∴k=-5 , 3$ $k=-5\to y=4(x-3/2)² k=3 \to y=4(x+12)²$ になる

2次関数の決定において、 $x$ 軸との共有点がわかっている場合を考えてみよう。

放物線 $y=ax²+bx+c$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標が $-3$ 、 $1$ であったとする。このとき、放物線と $x$ 軸との共有点で学んだように、 $ax²+bx+c=0$ の解も $-3$ 、 $1$ である。

さらに、解と係数の関係で学んだことを用いると、 $ax²+bx+c=0$ の両辺を $a$ で割った $x²+(b/a)x+c/a=0$ の左辺は、2解が $-3$ 、 $1$ であることから $(x+3)(x-1)$ と因数分解できる。つまり $x²+(b/a)x+c/a=(x+3)(x-1)$ であり、この両辺に $a$ を掛けて、 $ax²+bx+c=a(x+3)(x-1)$ とわかる。

問題92次関数の決定（ $x$ 軸との交点の座標が与えられた場合）

グラフと $x$ 軸との交点の座標が $(-1, 0)$ 、 $(2, 0)$ であり、点 $(1, -2)$ を通る2次関数の式を求めよ。

解答を見る

$x$ 軸との交点の $x$ 座標が $-1$ 、 $2$ なので、求める2次関数は $y=a(x+1)(x-2) ①$ とおける。

また、この2次関数は $(1, -2)$ を通るので， $①$ より $-2=a(1+1)(1-2)$ を得る。これより、 $a=1$ となるので、求める2次関数は $y=(x+1)(x-2)$ 、つまり $y=x²-x-2$ となる。

2次方程式から2次関数を考える

次は、2次関数から2次方程式を考えてみよう。「放物線と $x$ 軸との共有点」を逆に考えれば、次のことがわかる。

定理62次方程式の解をグラフに表す

判別式 $D$ が $0$ 以上である2次方程式 $ax²+bx+c=0$ の解は、2次関数 $y=ax²+bx+c$ のグラフと $x$ 軸との「共有点の $x$ 座標」に表れる。

下に凸の放物線 y=ax^2+bx+c と x軸が2点で交わっている。下側の「ax^2+bx+c=0 の解」という文字から、それぞれの共有点へ矢印が伸びている。この事実について、もう少し深く考察してみよう。

たとえば、2次方程式 $4x²-12x+9=0 ①$ の解について考える。ここで、上の2次方程式の左辺を $y$ とおいた2次関数 $y=4x²-12x+9 ②$ のグラフと、 $x$ 軸との交点の $x$ 座標は、方程式 $①$ の解と一致する。

なぜなら、この $x$ 座標は、2次関数の式 $②$ に $y=0$ を代入した $4x²-12x+9=0$ を解くことによって求められるからである。

いま、この2次関数 $②$ の判別式 $D$ は $D=(-12)²-4\times4\times9 =144-144=0$ となるので、この放物線は $x$ 軸と1つの共有点をもつ。

2次関数 y=4x^2-12x+9 のグラフである下に凸の放物線が、x軸上の 3/2 の点で接している。接点である x=3/2 の位置には黒丸がつけられている。実際、この2次方程式を因数分解してみると $4x²-12x+9=0 \Leftrightarrow (2x-3)²=0 \Leftrightarrow 2x-3=0$ より、 $x=3/2$ となり、これが $x$ 軸との交点の $x$ 座標となっている。

暗記42次方程式から2次関数を考える

次の空欄に適当な数字または文字を入れよ。

2次方程式 $x²-4x+5=0 ③$ の解について考える。

ここで、上の2次方程式の「左辺を $y$ とおいた2次関数」 $［A］=x²-4x+5 ④$ のグラフと、 $x$ 軸との交点の $x$ 座標は、方程式 $③$ の解と一致する。

なぜなら、この $x$ 座標は、2次関数の式 $④$ に $［A］=［B］$ を代入した $x²-4x+5=［B］$ を解くことによって求めるからである。

いま、この2次関数 $④$ の判別式 $D$ は $D=［C］<0$ となるので、この放物線は $x$ 軸と共有点をもたない。

実際、2次方程式 $③$ の判別式も $D=［C］<0$ となり、 $③$ を満たす実数 $x$ は存在しないことがわかる。

xy平面上に、x軸と共有点を持たない下に凸の放物線 y=x^2-4x+5 が描かれている。放物線全体がx軸より上側に位置しており、y軸と正の部分で交わっている。

解答を見る

$［A］=y$ 、 $［B］=0$ 、 $［C］=-4$

$D=(-4)²-4・1・5=16-20=-4$

以上のことから、次のことがまとめられる。

定理7「2次方程式の解」と「2次関数のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標」の対応

2次方程式 $ax²+bx+c=0$ の解は、この式の左辺を $y$ とおいた2次関数 $y=ax²+bx+c$ のグラフと $x$ 軸との交点の $x$ 座標と一致する。

判別式 $D=b²-4ac$ の符号と、2次関数 $y=ax²+bx+c$ のグラフと $x$ 軸との位置関係、および2次方程式 $ax²+bx+c=0$ の解の個数について、次のようにまとめられる。

下に凸の放物線 y=ax^2+bx+c と x 軸が2点で交わっており、その2つの交点を指す矢印とともに、下に「ax^2+bx+c=0 の解」と書かれている。判別式 D の符号（D>0、D=0、D<0）ごとに、2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフと x 軸との位置関係や、2次方程式 ax^2+bx+c=0 の解の対応がまとめられている。

連立方程式と関数

曲線の交点

放物線 $y=x²-4x+5$ と直線 $y=2x-3$ の交点の座標 $(x, y)$ は $y=x²-4x+5 ① y=2x-3 ②$ を同時に満たす $(x, y)$ であり、連立方程式 $①$ 、 $②$ を解けば求められる。

座標平面上に、下に凸の放物線 y=x^2-4x+5 と直線 y=2x-3 が描かれており、2つのグラフは点(2, 1)と点(4, 5)で交わっている。 $①$ を $②$ の左辺に代入してこれを解くと $x²-4x+5=2x-3 \Leftrightarrow x²-6x+8=0 ∴x=2, 4$ となる。そこで $y$ を求めれば

$x=2$ のとき $②$ より $y=1$
$x=4$ のとき $②$ より $y=5$

であるので、交点の座標は $(2, 1)$ 、 $(4, 5)$ とわかる。

問題10放物線と直線・放物線の交点

放物線 $C:y=x²-2x+3$ について

直線 $L1:y=-x+5$ との交点を求め、 $C$ と $L1$ のグラフを描け。
放物線 $C1:y=-x²-x+6$ との交点を求め、 $C$ と $C1$ のグラフを描け。
直線 $L2:y=-2x-k$ との共有点が1つであるように、 $k$ の値を定めよ。また、そのときの $C$ と $L2$ のグラフを描け。
放物線 $C2:y=3x²+2ax+a+4$ との共有点が1つであるように、 $a$ の値を定めよ。また、そのときの $C$ と $C2$ のグラフを描け。

解答を見る

$C$ と $L1$ の交点の座標は、連立方程式 $y=x²-2x+3 y=-x+5$ 　　　の解に一致する。

$y=-x+5$ の左辺に $y=x²-2x+3$ を代入してこれを解くと $x²-2x+3=-x+5 \Leftrightarrow x²-x-2=0 ∴x=2, -1$

となる。 $y=-x+5$ に代入して $y$ を求めれば
- $x=-1$ のとき $y=6$
- $x=2$ のとき $y=3$
であるので、交点の座標は $(-1, 6)$ 、 $(2, 3)$ である。

グラフは。上の図のようになる。
$C$ と $C1$ の交点の座標は、連立方程式 $y=x²-2x+3 y=-x²-x+6$ の解に一致する。

$y=-x²-x+6$ の左辺に $y=x²-2x+3$ を代入してこれを解くと $x²-2x+3=-x²-x+6 \Leftrightarrow 2x²-x-3=0 ∴x=3/2, -1$

となる。 $y=-x²-x+6$ によって $y$ を求めれば
- $x=3/2$ のとき $y=9/4$
- $x=-1$ のとき $y=6$
であるので、交点の座標は $(-1, 6)$ 、 $(3/2, 9/4)$ である。

グラフは、上の図のようになる。
2つのグラフの共有点が1つであるには、連立方程式 $y=x²-2x+3 y=-2x-k$ の解が重解であればよい。

$y=-2x-k$ の左辺に $y=x²-2x+3$ を代入して $x² -2x+3 =-2x-k \Leftrightarrow x²+3+k=0$ となる。 $x²+3+k=0$ の判別式を $D$ が $0$ となればよいので、

$x$ の係数は $0$ である。

$D/4=0²-1・(3+k)=0 ∴k=-3$ このとき、直線 $L2$ を表す式は $y=-2x+3$ となる。

また、 $C$ と $L2$ の共有点は、再び連立方程式 $y=x²-2x+3 y=-2x+3$ を解いて $(x, y)=(0, 3)$ 。

つまり、グラフは上の図のようになる。
2つのグラフの共有点が1つであるには、連立方程式 $y=x²-2x+3 y=3x²+2ax+a+4$ の解が重解であればよい。

$y=3x²+2ax+a+4$ の左辺へ $y=x²-2x+3$ を代入して $x²-2x+3=3x²+2ax+a+4 \Leftrightarrow 2x²+(2a+2)x+a+1=0$ となる。 $2x²+(2a+2)x+a+1=0$ の判別式を $D$ が $0$ となればよいので、 $D/4=(a+1)²-2・(a+1)=0 a²-1=0 ∴a=1, -1$
1. $a=1$ のとき
  
  放物線 $C2$ を表す式は $y=3x²+2x+5$ となる。 $C$ と $C2$ の共有点は、再び連立方程式 $y=x²-2x+3 y=3x²+2x+5$ を解いて $(x, y)=(-1, 6)$ 。
  
  グラフは、次の図のようになる。
2. $a=-1$ のとき
  
  放物線 $C2$ を表す式は $y=3x²-2x+3$ となる。 $C$ と $C2$ の共有点は、再び連立方程式 $y=x²-2x+3 y=3x²-2x+3$ を解いて $(x, y)=(0, 3)$ 。
  
  グラフは、上の図のようになる。

放物線と直線、放物線と放物線の共有点が1点のとき、その2つのグラフはその点で接するといい、その共有点を接点という。

たとえば上の例題の3では、直線 $L2$ と放物線 $C$ は接していて、その接点は $(0, 3)$ である。

最終更新: 2026-08-12

この節についてAIに質問する

この節に書かれている内容だけを根拠に答えます。個人情報は書かないでください。

質問の内容

数学I 第2章 関数と方程式・不等式 — 2次方程式と2次関数

2次方程式とは

2次方程式とは

2次方程式の解法

因数分解を利用した解法

暗記12次方程式の解法（因数分解の利用）

問題12次方程式を解く（因数分解の利用）

2次方程式の解の公式による解法

暗記2平方完成を利用した2次方程式の解法

定理12次方程式の解の公式

問題22次方程式を解く（解の公式の利用）

xの係数が偶数の場合の解の公式

定理2x の係数が偶数の場合の解の公式

問題32次方程式を解く(解の公式の利用・x の係数が偶数の場合)

2次方程式の解の個数

定理32次方程式の判別式と解の個数

問題42次方程式の解の個数の判別

問題52次方程式の解の個数の判別（xの係数が偶数の場合）

2次方程式の解と因数分解

定理4解と係数の関係

問題6解と係数の関係

2次方程式と2次関数の関係

2次関数から2次方程式を考える

暗記32次関数から2次方程式を考える

定理5放物線と x 軸との共有点

問題7放物線と x 軸との共有点を調べる

問題8x 軸と接するための条件

問題92次関数の決定（x 軸との交点の座標が与えられた場合）

2次方程式から2次関数を考える

定理62次方程式の解をグラフに表す

暗記42次方程式から2次関数を考える

定理7「2次方程式の解」と「2次関数のグラフと x 軸との共有点の x 座標」の対応

連立方程式と関数

曲線の交点

問題10放物線と直線・放物線の交点

この節についてAIに質問する

数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 2次方程式と2次関数

$x$ の係数が偶数の場合の解の公式

定理2 $x$ の係数が偶数の場合の解の公式

問題32次方程式を解く(解の公式の利用・ $x$ の係数が偶数の場合)

問題52次方程式の解の個数の判別（ $x$ の係数が偶数の場合）

定理5放物線と $x$ 軸との共有点

問題7放物線と $x$ 軸との共有点を調べる

問題8 $x$ 軸と接するための条件

問題92次関数の決定（ $x$ 軸との交点の座標が与えられた場合）

定理7「2次方程式の解」と「2次関数のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標」の対応