数学I 第5章 三角比 — 鋭角の三角比

正接

三角形の表記に関する注意

において、以下のように略することが多い。 今後、特に断りのない限りこの記法にしたがうこととする。

直角三角形の表記に関する注意

図のような直角三角形 を からみるとき

• 辺 のことを斜辺 (hypotenuse)
• 辺 のことを対辺 (opposite side)
• 辺 のことを底辺 (base)

という。

このうち底辺、対辺は、 から直角をみることによって相対的に決まる。図で描かれたときに、下の部分にあるから底辺というのではない。

たとえば、次の図のように斜めになっている直角三角形でも、点 からみたときの斜辺、対辺、底辺は、それぞれ辺、、 となる。

この章の図にある“目”のマークは、本文中で「～からみたときの」とある場合の説明の補助として使われている。自分も同じ所から見つめているつもりになって、図形を考えてみよう。

川を渡らずに川幅を知る方法

次の図において、川を渡ることなく、C点から対岸のB点までの距離BCを求めるにはどうしたらよいだろうか。

まず、C点から見て、直線CBと直角の方向にA点を適当に定め、C点からA点までの距離を測る。

たとえば、これは40mであったとする。次に、A点から見て、直線ABと直線ACのつくる角の大きさを測る。たとえば、これは であったとする。

は が直角の直角三角形であるから、この縮図 を、たとえば、 として描くと図のようになる。

そこで、辺 の長さを測ると約 になっている（実際に定規（じょうぎ）で測ってみよう）。

ここで、 と は相似であるから が成り立つ。この値は、いわばACに対するCBの倍率であることに注意しよう。

実際には、 であったから と計算できる。

このように、実際に川を渡らずとも距離BCが求められたのは、適当な縮図 を使い、ACに対するCBの倍率（比）を計算したためである。この値は縮図の大きさによらない、 という角度に関する固有の値である。

の答え

正接の定義

一般に、 が直角である直角三角形 において、 から見たときの の値は、 の大きさに関係無く、 の大きさだけで決まる。

たとえば、図の は の0.75倍の大きさで描かれているので、 となり、直角三角形の大きさとは関係ないことがわかる。

ここで、この の値を の正接（せいせつ）または、 のタンジェント (tangent) といい、 と書く。

定義1正接の定義 §

図の直角三角形 において とする。

正接の定義

の値 は、図のように の頭文字 の筆記体の書き順に合わせ、「 分の 」と記憶するとよい。

は、 からみたときの底辺に対する対辺の倍率を表していて、さきほどの川の例では、 であった。

問題1正接の定義

次の図において、、 をそれぞれ求めよ。

解答を見る

図より

正弦と余弦

正弦と余弦の定義

正接の場合と同じように、 が直角である直角三角形 において、 から見たときの の値や、 の値は、 の大きさに関係無く、 の大きさだけで決まる。

たとえば、図の は の0.75倍の大きさで描かれているが となり直角三角形の大きさは関係ないのがわかる。

ここで、 の値を の正弦（せいげん）または、 のサイン (sine) といい、 と書く。

また、 の値を の余弦（よげん）または、 のコサイン (cosine) といい、 と書く。

定義2正弦・余弦の定義 §

右図の直角三角形 において とする。

正弦と余弦の定義

の値 や、 の値 も、 のときと同じように、 の頭文字 や、 の頭文字 の筆記体の書き順に合わせて、図のように記憶するとよい。

とは、 からみたときの斜辺に対する対辺の倍率を表し、 とは、 からみたときの斜辺に対する底辺の倍率を表す。

川を渡らずに川幅を知る方法の例で考えれば、斜辺は3.7cmと測れるから

問題2正弦・余弦の定義

次の図において、

1. 長さ 、 を求めよ。
2. 、 を求めよ。
3. 、 を求めよ。

解答を見る

1. 三平方の定理より、

2. 図より定義にしたがって

   

3. 図より定義にしたがって

   

三角比の値

三角比の値

正接と正弦および余弦をまとめて、三角比 (trigonometric ratio) という。いろいろな角度に関する三角比の値を三角比の表にまとめてある。

この表よりたとえば、 の値は約 、また のときの の大きさは約 とわかる。

三角比の相互関係

、、の間にはどのような関係があるか

三角比どうしの関係の例題でみたように、同じ角度に対する三角比の値は、互いにばらばらなものではなく、ある関係によって結ばれている。

以下では、この三角比の間に成り立つ関係を、一般的に導いてみよう。

図の直角三角形において であるから、 は と表すことができる。つまり が成り立つ。また、三平方の定理より であるから、これに と を代入して が成り立つ。普通 、、 などは、それぞれ 、、 と書く。

注 の2乗の の値である と、 の2乗である は、全く別のものであるが、かっこを省略して書くと、どちらも となり区別できない。そのため、 と書かれたときは常に を表すと決まっている。 のかっこを省略するときには、本文にもあるように と書く。

つまり が成り立つ。

 三角比の相互関係参照



 有理数どうしの比の値参照

 三角比の相互関係参照



 有理数どうしの比の値参照

 三角比の相互関係参照

の三角比

図の直角三角形において であるから、以下のように表すことができる。

定理4 の三角比 §

三角比について が成り立つ。

の三角比

「 の三角比は だけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり、この式は暗記するようなものではない。必要なときに素早く導出できるようにしておこう。

これより、 の三角比は、 の三角比になおすことができる。

次の例題で確かめてみよう。

三角比の利用

三角比から辺の長さを求める

次の図の三角形において、 であるが、この式の両辺に を掛けて という式を得る。、 についても同じようにして となる。これらの式は、三角比から辺の長さを求めるときに用いられる。

定理5三角比から辺の長さを求める §

次の図の直角三角形において が成り立つ。

問題6三角比と辺の長さ

次の図形について、次の問いに答えよ。

1. のとき、長さが 、 に等しい線分を、それぞれ答えよ。
2. のとき、、、 の長さを、、 で表せ。

解答を見る

1. 、
2. 、 また、 より、

問題7三角比の応用

三角比の表を使って、以下の問に答えよ。ただし、小数第2位を四捨五入して答えなさい。

1. 目の高さが1.5mにある人が、木から5.0m離れた地点に立って木のてっぺんを見上げた。

   すると、水平な地面と視線のなす角 （この角度のことを、仰角（ぎょうかく）という。）が であった。この木の高さはおよそ何mか。（図参照）

2. 凧たこ揚あげをしていたら、水平な地面に対し の角度で長さ50.0mのひもが伸びきった。この凧は地面からおよそ何mの高さにあるか。

   ただし、ひもを持つ手は1.0mの高さにあり、糸が一直線に伸びているとする。

解答を見る

1. 

   図のように 、、、 をとると、木の高さは の長さになる。

   に注目して

   三角比の表より

   よって、木の高さはおよそ

2. 

   図のように 、、、 をとると、たこの高さは の長さになる。

   に注目して

   三角比の表より

   よって、たこの高さはおよそ