数学I 第5章 三角比 — 三角比の拡張

座標と三角比の関係

単位円

座標平面上の原点 を中心とする半径 の円を単位円 (unit circle) という。

三角比は、この単位円を用いて（ 以上に）拡張される。

三角比の拡張について

三角比の定義を、斜辺が である直角三角形 において考えてみよう。

注 角度を変数としてみるときには、（シータ）、（ファイ）などギリシア文字を使うことが多い。

すると、正弦、余弦、正接はそれぞれ と書ける。つまり、斜辺の長さが である直角三角形では

「対辺の長さは の値を表し、底辺の長さは の値を表す」

ことがわかる。

この を、図のように単位円の（上半分の）中に描いてみよう。そのようにすれば、

• の 座標が
• の 座標が

となる。

このように、「単位円周上の点の座標」として三角比をとらえなおすと、角度が鋭角でなくても三角比を考えることができる。そこで、 の範囲にある角 の三角比を、次のように定義しなおそう。

三角比の値のまとめ

角度が 、、、、、、、、 の場合の三角比は、頭の中で次のような図を思い描き、素早く求められるようになろう。

注 3秒以内が目安である。

三角比を含む方程式と不等式

拡張された三角比の相互関係

拡張された三角比の相互関係について

拡張された三角比においても、三角比の相互関係で学んだ三角比の相互関係 が成り立つ。以下でこれらのことを確認してみよう。

図の単位円において であるから、 は と表すことができる。つまり が成り立つ。また、三平方の定理より、 であるから が成り立ち、 の両辺を で割って、 を用いると また、 の両辺を で割って、 を用いると

     （複合同順）と書いてもよい

   より

 拡張された三角比の相互関係より

  の値が正であるから、 の値も正である

  であるので、   は不適。

の三角比

図のように、単位円周上に角 の動径 と角 の動径 をとる。

点 の座標を とすると、 と は合同なので、点 の座標は となるから と表すことができる。

ここで、 であるから、次のようにまとめることができる。

定理3 の三角比 §

角 が の三角比において が成り立つ。

の三角比

「 の三角比は だけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり、この式は暗記するようなものではない。必要なときに、上の図を描いて素早く導出できるようにしておけばよい。

これより、 の三角比は、 の三角比になおして、その値を求めることができる。

の三角比

図のように、単位円周上に角 の動径 と角 の動径 をとる。

点 の座標を とすると、点 の座標は となるから と表すことができる。

ここで、 であるから、次のようにまとめることができる。