2次関数とそのグラフの練習問題

Question 1

次の放物線は、[ ]内のグラフをどのように平行移動してできたグラフか。また、軸の方程式と頂点の座標を求め、座標平面にグラフで表せ。
(1) y=2x²-3 [ y=2x² ]
(2) y=2(x+2)² [ y=2x² ]
(3) y=-3x²-1 [ y=-3x² ]
(4) y=-3(x-4)² [ y=-3x² ]

Accepted Answer

(1) y=2x²-3 は y=2x² のグラフを
y 軸方向に -3 平行移動したグラフ
であるから
軸は y 軸（または直線 x=0）、頂点の座標は (0, -3)
である。また、これは下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
(2) y=2(x+2)² は y=2x² のグラフを
x 軸方向に -2 平行移動したグラフ
であるから
軸は x=-2、頂点の座標は (-2, 0)
である。また、これは下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
(3) y=−3x²−1 は y=−3x² のグラフを
y 軸方向に −1 平行移動したグラフ
であるから
軸は y 軸（または直線 x=0）、頂点の座標は (0, -1)
である。また、これは上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
(4) y=−3(x-4)² は y=-3x² のグラフを
x 軸方向に 4平行移動したグラフ
であるから
軸は x=4、頂点の座標は (4, 0)
である。また、これは上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。

Question 2

次の放物線を、頂点の座標を求めてから描け。
(1) y=x²−2x+3
(2) y=−3x²+6x
(3) y=2x²+8x+5
(4) y=-2x²-6x-5/2

Accepted Answer

(1) 平方完成すると
y=x²-2x+3
=(x-1)²-1+3
=(x-1)²+2
となるから、頂点が (1, 2) で、下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
(2) 平方完成すると
y=-3x²+6x
=-3{x²-2x}
=-3{(x-1)²-1}
=-3(x-1)²+3
となるから、頂点が (1, 3) で、上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
(3) 平方完成すると
y=2x²+8x+5
=2{x²+4x}+5
=2{(x+2)²-4}+5
=2(x+2)²-3
となるから、頂点が (-2, -3) で、下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
(4) 平方完成すると
y=-2x²-6x-5/2
=-2{x²+3x}-5/2
=-2{(x+3/2)²-9/4}-5/2
=-2(x+3/2)²+2
となるから、頂点が (-3/2, 2) で、上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。

Question 3

f(x)=1/2x²-x+3/2 とし、放物線 y=f(x) を C とよぶ。
(1) C を x 軸方向に 2 平行移動したグラフ C1 の式を求めよ。
(2) C を y 軸方向に 1 平行移動したグラフ C2 の式を求めよ。

Accepted Answer

平方完成をすると、f(x)=1/2(x-1)²+1 となるので、頂点の座標は (1, 1) とわかる。
(1) 頂点が (3, 1) となればよいので
y=1/2(x-3)²+1
⇔ y=1/2x²-3x+11/2
(2) 頂点が (1, 2) となればよいので
y=1/2(x-1)²+2
⇔ y=1/2x²-x+5/2
上の例題を別の見方でとらえてみよう。
たとえば、C1 上の各点 P(x, y) において、問題とは逆向きに x 軸方向に -2 平行移動した点 Q(x-2, y) は C 上の点だから
y=1/2(x-2)²-(x-2)+3/2
⇔ y=1/2x²-3x+11/2
として答えを求めることができる。
このようなやり方は、y 軸方向への平行移動でも実行できる。上の例題の2で各自それを確かめてみよ。

Question 4

放物線 y=x²-x+1 を、x 軸方向に 1、y 軸方向に 2 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

Accepted Answer

x を x-1、y を y-2 におきかえて
y-2=(x-1)²-(x-1)+1
⇔ y=x²-3x+5
(1) y を -y におきかえて
-y=x²+4x-5
⇔ y=-x²-4x+5
(2) x を -x におきかえて
y=(-x)²+4(-x)-5
⇔ y=x²-4x-5
(3) x を -x に、y を -y におきかえて
-y=(-x)²+4(-x)-5
⇔ y=-x²+4x+5
一般のグラフの平行移動と対称移動については、『グラフの移動について』を参照のこと。

Question 5

f(x)=1/2x²-x+3/2 とし、放物線 y=f(x) を C とよぶ。
(1) C を x 軸に関して対称移動したグラフ Cx の式を求めよ。
(2) C を y 軸に関して対称移動したグラフ Cy の式を求めよ。
(3) C を原点に関して対称移動したグラフ Cxy の式を求めよ。

Accepted Answer

平方完成をすると、f(x)=1/2(x-1)²+1 となるので、頂点の座標は (1, 1) とわかる。
(1) 頂点が (1, -1) となり、上に凸なグラフになればよいので
y=-1/2(x-1)²-1
⇔ y=-1/2x²+x-3/2
(2) 頂点が (-1, 1) となればよいので
y=1/2(x+1)²+1
⇔ y=1/2x²+x+3/2
(3) 頂点が (-1, -1) となり、上に凸なグラフになればよいので
y=-1/2(x+1)²-1
⇔ y=-1/2x²-x-3/2
上の例題を別の見方でとらえてみよう。
たとえば、Cx 上の各点 P(x, y) において、問題とは逆に x 軸に関して対称移動した点 Q(x, -y) は C 上の点だから
-y=1/2x²-x+3/2
⇔ y=-1/2x²+x-3/2
として答えを求めることができる。
このようなやり方は、y 軸に関する対称移動でも実行できる。上の例題の2と3で各自それを確かめてみよ。

Question 6

グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ。
(1) 頂点が (1, -3) で、点 (-1, 5) を通る。
(2) 軸が直線 x=-2 で、2点 (-3, 2)、(0, -1) を通る。

Accepted Answer

(1) グラフの頂点が (1, -3) であるから、求める2次関数は
y=a(x-1)²-3
と表せる。さらに、このグラフは点 (-1, 5) を通るから、x=-1 のとき y=5 となる。したがって
5=a(-1-1)²-3
⇔ 5=4a-3
∴a=2
よって、求める2次関数は y=2(x-1)²-3、つまり
y=2x²-4x-1
(2) 軸が直線 x=-2 であるから、求める2次関数は
y=a(x+2)²+q
と表せる。さらに、このグラフは2点 (-3, 2)、(0, -1) を通るから
cases
2=a(-3+2)²+q
-1=a(0+2)²+q
cases
⇔
cases
2=a+q
-1=4a+q
cases
この連立方程式を解いて、a=-1、q=3 を得る。
よって、求める2次関数は y=-(x+2)²+3、つまり
y=-x²-4x-1

Question 7

グラフが3点 A(1, 6)、B(-2, -9)、C(4, 3) を通るような2次関数を求めよ。

Accepted Answer

求める2次関数を
y=ax²+bx+c
とおく。このグラフは、3点 A、B、C を通るから
cases
6=a・1²+b・1+c
-9=a・(-2)²+b・(-2)+c
3=a・4²+b・4+c
cases
⇔
cases
6=a+b+c …(1)
-9=4a-2b+c …(2)
3=16a+4b+c …(3)
cases
を得る。以下、3つの文字を含むこの連立方程式を解く。
まず、(2)-(1) より、3a-3b=-15、よって
a-b=-5 …(4)
さらに、(3)-(2) より、12a+6b=12、よって
2a+b=2 …(5)
(4)、(5) の連立方程式を解いて a=-1、b=4。さらに、これらを (1) に代入して c=3 を得る。
よって、求める2次関数は
y=-x²+4x+3
2次関数の決定にあたっては、未知の2次関数を
- y=a(x-p)²+q
- y=ax²+bx+c
- y=a(x-α)(x-β)
のうち、どの形で表現するかが重要である。2次関数の y=a(x-α)(x-β) の形については、『2次関数から2次方程式を考える』において学ぶ。

Question 8

2次関数 f(x)=x²-2x-2 において、定義域を次の1～5としたときの、最大値・最小値をそれぞれ求めよ。
(1) -2≦x≦0
(2) -1≦x≦2
(3) 0≦x≦2
(4) 0≦x≦3
(5) 3≦x≦4

Accepted Answer

平方完成によって f(x)=(x-1)²-3 と変形できる。
そこで y=(x-1)²-3 のグラフを、与えられた定義域内で描いて考える。
(1) 定義域が -2≦x≦0 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(-2)=6
・最小値 f(0)=-2
となる。
放物線は下に凸、頂点は定義域内になく、y の値は定義域内で常に減少している。その結果 y 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、y 座標が最も小さいのは定義域の右端である。
(2) 定義域が -1≦x≦2 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(-1)=1
・最小値 f(1)=-3
となる。
頂点は定義域内の右半分にある。その結果 y 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、y 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
(3) 定義域が 0≦x≦2 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(2)=f(0)=-2
・最小値 f(1)=-3
となる。
頂点は定義域内のまん中にある。その結果 y 座標が最も大きいのは定義域の両端であり、y 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
(4) 定義域が 0≦x≦3 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(3)=1
・最小値 f(1)=-3
となる。
頂点は定義域内の左半分にある。その結果 y 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、y 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
(5) 定義域が 3≦x≦4 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(4)=6
・最小値 f(3)=1
となる。
頂点は定義域内になく、y の値は定義域内で常に増加している。その結果 y 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、y 座標が最も小さいのは定義域の左端である。

Question 9

1～4の全ての2次関数について定義域が -1≦x≦2 であるとき、最大値・最小値をそれぞれ求めよ。
(1) f(x)=x²+4x-3
(2) f(x)=-x²-x-2
(3) f(x)=1/2x²-x-3
(4) f(x)=-3x²+12x-5

Accepted Answer

(1) f(x) を平方完成すると
f(x)=(x+2)²-7
定義域が -1≦x≦2 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(2)=9
・最小値 f(-1)=-6
となる。
放物線は下に凸、頂点は定義域内になく、y の値は定義域内で常に増加している。その結果 y 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、y 座標が最も小さいのは定義域の左端である。
(2) f(x) を平方完成すると
f(x)=-(x+1/2)²-7/4
定義域が -1≦x≦2 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(-1/2)=-7/4
・最小値 f(2)=-8
となる。
放物線は上に凸、頂点は定義域内の左半分にある。その結果 y 座標が最も大きいのは放物線の頂点であり、y 座標が最も小さいのは定義域の右端である。
(3) f(x) を平方完成すると
f(x)=1/2(x-1)²-7/2
定義域が -1≦x≦2 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(-1)=-3/2
・最小値 f(1)=-7/2
となる。
放物線は下に凸、頂点は定義域内の右半分にある。その結果 y 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、y 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
(4) f(x) を平方完成すると
f(x)=-3(x-2)2+7
定義域が -1≦x≦2 の場合、y=f(x) のグラフは右図の実線部分となるので
・最大値 f(2)=7
・最小値 f(-1)=-20
となる。
放物線は上に凸、頂点は定義域の右端にあり、y の値は定義域内で常に増加している。その結果 y 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、y 座標が最も小さいのは定義域の左端である。
定義域が限定された放物線は、最大値・最小値を与えるグラフ上の点に着目すれば、以下の5種類にまとめられる（y 座標が最大になる点を 、最小になる点を で表している）。

Question 10

放物線
C:y=x²-4ax+a² (-5≦x≦5)
について以下の問に答えよ。
(1) C の軸が定義域より左側にあるための、a の範囲を求めよ。また、定義域内における C の最大値、最小値を求めよ。
(2) C の軸が定義域より右側にあるための、a の範囲を求めよ。また、定義域内における C の最大値、最小値を求めよ。
(3) C の軸が定義域の中にあるための、a の範囲を求めよ。また、この範囲のうち、定義域の左端で C が最大となるような a の範囲を求め、このときの C の最大値、最小値を求めよ。

Accepted Answer

y=x²-4ax+a² の右辺を平方完成すると
y=(x-2a)²-3a²
となるので、このグラフの軸は x=2a である。
(1) 放物線の軸 x=2a が定義域の左端 x=-5 よりさらに左にあればよい。よって
2a-5 ⇔ a-5/2
・y 座標が最大となるのは定義域の右端なので、最大値 a²-20a+25（x=5 のとき）
・y 座標が最小となるのは定義域の左端なので、最小値 a²+20a+25（x=-5 のとき）
(2) 放物線の軸 x=2a が定義域の右端 x=5 よりさらに右にあればよい。
52a ⇔ 5/2a
・y 座標が最大となるのは定義域の左端なので、最大値 a²+20a+25（x=-5 のとき）
・y 座標が最小となるのは定義域の右端なので、最小値 a²-20a+25（x=5 のとき）
(3) 放物線の軸 x=2a が定義域の中にあるためには
-5≦2a≦5 ⇔ -5/2≦a≦5/2
さらに、定義域の左端で y 座標が最大となるには、軸が定義域の右半分に存在すればよい。つまり
0≦2a≦5 ⇔ 0≦a≦5/2
・y 座標が最大となるのは定義域の左端なので、最大値 a²+20a+25（x=-5 のとき）
・y 座標が最小となるのは C の頂点なので、最小値 -3a²（x=2a のとき）
上の問題において、a=0 のときは定義域の両端で最大値をとる。

Question 11

2次関数
f(x)=x²-4x+5 (0≦x≦a)
について以下の問に答えよ。ただし、a0 とする。
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ。

Accepted Answer

y=f(x) を平方完成して
y=(x-2)²+1
となるので、このグラフをもとに問に答える。
(1) 1.
0a2 のとき 0≦x≦a におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この定義域内では、関数の値は減少するから、最小値は f(a)=a²-4a+5 となる。
(2) 2≦a のとき 0≦x≦a におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域内に軸 x=2 が含まれるから、最小値は f(2)=1 となる。
以上i、iiをまとめると
・0a2 のとき、最小値 f(a)=a²-4a+5
・2≦a のとき、最小値 f(2)=1
(2) 1.
0a4 のとき 0≦x≦a におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域の両端の y 座標を比べると、左端の方が大きい。よって、最大値は f(0)=5 となる。
(2) 4≦a のとき 0≦x≦a におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域の両端の y 座標を比べると、右端の方が大きい。よって、最大値は f(a)=a²-4a+5 となる。
以上i、iiをまとめると
・0a4 のとき、最大値 f(0)=5
・4≦a のとき、最大値 f(a)=a²-4a+5
a の値を 0 から増やしていくとき、グラフの最大値・最小値をとる点がいつ変わるのかグラフを描いて考えて、場合分けをしよう。

Question 12

(1) 長さ 20cm の針金を2つに切り、それぞれの針金で正方形を作るとき、それらの面積の和の最小値を求めよ。また、そのとき針金は何 cm ずつに切り分けられているか求めよ。
(2) ある品物の売価が1個 120 円のときには、1日の売上個数は 400 個であるという。売価を1個につき1円値上げするごとに、1日の売上個数は 2 個ずつ減るという。1日の売上金額を最大にするには、売価をいくらに設定すればよいか求めよ。

Accepted Answer

(1) 20cm の針金を、4xcm と (20-4x)cm に切り分けたとする。ただし、0x5 とする。
それぞれの針金から作られる正方形の面積は
4x/4×4x/4=x×x
20-4x/4×20-4x/4=(5-x)×(5-x)
となるから、これら2つの正方形の面積の和を f(x)(cm²) とすると
f(x)=x²+(5-x)²
=x²+25-10x+x²
=2x²-10x+25
となる。ここで、f(x) は
f(x)=2{(x-5/2)²-25/4}+25
=2(x-5/2)²+25/2
と変形できるから、y=f(x) のグラフは 0x5 で右図のようになる。
これより最小値は f(5/2) であるから、面積の和の最小値は 25/2cm² であり、x=10 のとき最小値となるのだから、針金は 10cmずつに切り分けられる。
(2) 売価を1個 x 円（120≦x≦320）とすると、120 円より (x-120) 円値上げしたことになる。その結果、1日の売上個数は、2(x-120) 個減る。
よって、1日の売上金額 f(x) は
f(x)=x{400-2(x-120)}
=x(640-2x)
=-2x²+640x
となる。ここで、f(x) は
f(x)=-2(x²-320x)
=-2{(x-160)²-25600}
=-2(x-160)²+51200
と変形できるから、y=f(x) のグラフは 120≦x≦320 で右図のようになる。
これより、最大値は f(160) をとるには、x=160。つまり、売価を 160 円にすればよい。

Question 13

0≦x、0≦y、2x+y=10 のとき、x²+y²−3 の最大値・最小値と、そのときの x、y を求めよ。

Accepted Answer

2x+y=10 を y について解けば y=10−2x。これを 0≦y に代入すれば
0≦y⇔ 0≦10-2x
⇔ x≦5
であり、さらに、x²+y²-3 に代入すれば
x²+y²-3=x²+(10-2x)²-3
=5x²-40x+97
である。つまり、0≦x≦5 のときに、2次関数
5x²-40x+97
の最大・最小を求めればよい。この2次関数を f(x) とおいて平方完成すると
f(x)=5(x-4)²+17
そこでグラフ L=f(x) (0≦x≦5) を描けば、右図のようになり、f(x) の最大値は f(0)=97、最小値は f(4)=17 とわかる。
x=0 のとき y=10、x=4 のとき y=2 であるから、答えは次のようになる。
・(x, y)=(0, 10) のとき最大値 97
・(x, y)=(4, 2) のとき最小値 17

Question 14

関数 y=(x²-2x)²+4x²-8x+5 について以下の問に答えよ。
(1) t=x²-2x とするとき、t の値のとりうる範囲を求めよ。
(2) y の値のとりうる範囲を求めよ。

Accepted Answer

(1) 平方完成によって
t=(x-1)²-1
であるので、右図より t≧-1。
(2) y を t で表し平方完成すれば
y=(x²-2x)²+4(x²-2x)+5
=t²+4t+5
=(t+2)²+1
となる。1より -1≦t であるので、t に対する y のグラフは右図のようになる。つまり、y≧2。

Question 15

2次関数 y=x²-(k-1)x+1/4k²+k+1 のグラフと x 軸との共有点の個数は、定数 k の値によってどのように変わるか調べよ。

Accepted Answer

2次関数 y=x²-(k-1)x+1/4k²+k+1 の判別式を D とすると
D=(k-1)²-4(1/4k²+k+1)
=k²-2k+1-k²-4k-4=-6k-3
(1) -6k-30、つまり k-1/2 のとき
D0 となり、グラフは x 軸と異なる2点で交わる。
(2) -6k-3=0、つまり k=-1/2 のとき
D=0 となり、グラフは x 軸と接する。
(3) -6k-30、つまり k-1/2 のとき
D0 となり、グラフは x 軸と共有点をもたない。
以上i～iiiより、共有点の個数は次のようになる。
・k1/2 のとき 2 個
・k=1/2 のとき 1 個
・k1/2 のとき 0 個

数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 2次関数とそのグラフ

2次関数のグラフ

2次関数の定義

のグラフ

のグラフ

のグラフ

のグラフ

のグラフ

グラフの移動

2次関数の平行移動

2次関数の対称移動

2次関数の決定

軸や頂点に関する条件が与えられた場合

グラフ上の3点が与えられた場合

2次関数の最大・最小

2次関数の最大・最小

定義域が限定された2次関数の最大・最小

文字定数を含む2次関数の最大・最小

2次関数の最大・最小の応用

放物線と軸の位置関係-判別式D

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2次関数のグラフ

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グラフの移動

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2次関数の対称移動

2次関数の決定

軸や頂点に関する条件が与えられた場合

グラフ上の3点が与えられた場合

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2次関数の最大・最小

定義域が限定された2次関数の最大・最小

文字定数を含む2次関数の最大・最小

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放物線と軸の位置関係-判別式D

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