数学I 第4章 論理と集合 — 命題の結合

2つの命題 に対して、「 は共に真である」という命題を

「 かつ ( and )」

と表す。

命題の「かつ」

「 かつ 」の意味は、日常使っている言葉でいうところの、「 しかも 」、「 さらに 」などとほぼ同じ意味である。この辺りを専門に扱う論理学という学問では、日常使う言葉と区別するために「 」と表す。

この新しい命題「 かつ 」の真偽をまとめると、次の表のようになる

（この表を真偽値表 (truth and falsity table) という）。

例えば、命題 をそれぞれ

• 「ペンギンは鳥類である」　（真）
• 「 は より小さい」　（偽）

としたとき、「 かつ 」つまり「ペンギンは鳥類であり、かつ、 は より小さい」の真偽は、 のうち が偽であるから、全体として偽となる。

2つの命題 に対して、「 の少なくとも一方は真である」という命題を

「 または ( or )」

と表す。

命題の「または」

命題「 または 」は、日常で使う「または」の意味とは少々異なることに注意がいる。命題の「または」が“少なくとも一方は”という意味なのに対し、日常語での「または」では “どちらか一方”の意味で使われることが多い。論理学では「 」と表し、日常語と区別している。

文章

この新しい命題「 または 」の真偽値表は、次のようになる。

例えば、命題 をそれぞれ

• 「ペンギンは鳥類である」　（真）
• 「 は より小さい」　（偽）

としたとき、「 または 」つまり「ペンギンは鳥類であるか、または、 は より小さい」の真偽は、 のうち が真であるから、全体として真となる。

ある命題 に対して、 が真の場合には偽に、 が偽の場合には真となる命題を、 の 否定 (negation) といい

「 でない (not )」

と書く。 の否定は、記号 で表すこともある。

命題の否定について

命題の否定は、日常で使う「～ない」の意味と同じである。論理学では「」と表す。

この新しい命題 の真偽値表は、次のようになる。

例えば、真である命題として、命題 を

「ペンギンは鳥類である」　（真）

とすると、この命題の否定 は

「ペンギンは鳥類ではない」　（偽）

となる。また、偽である命題として、命題 を

「 は より小さい」　（偽）

とすると、この命題の否定 は、「 は より小さくはない」すなわち

「 は 以上である」　（真）

となる。

2つの命題 に対して、「もし が真であるならば、 は真である」という命題は、簡単に

「 ならば (if then )」

と書かれ、記号で と表す。

このとき、初めの命題 を

仮定 (assumption)

といい、後の命題 を

結論 (conclusion)

という。

2つの命題 の真偽それぞれについて、この新しい命題 の真偽をまとめると、次の表のようになる。

仮定 が偽のときは、結論 の真偽にかかわらず、全体として真になることに注意しよう。こうなる理由は次の例を考えてみるとわかりやすい。

ある人が私たちに

「もしテストで100点をとれた ならば、美味しいものをおごってあげる 」

という約束したとしよう。そのとき、もし私たちがテストで100点をとったのに、美味しいものをおごってもらえなかったら、この人はうそをついたことになる。しかし、テストで100点をとれなかったときには、たとえおごってもらえなくても、この人はうそをついたことにならないし、また、たとえおごってもらったとしても、やはりこの人はうそをついたことにならない。

このように、日常的に用いている「ならば」は、条件が偽のときには結論が真でも偽でも、全体としては偽とはならないという主張なのだと考えられる。それゆえ、「ならば」に対する真偽の割り当ては、上の表のようになるのである。

2つの命題 に対して、「 かつ 」という命題は、簡単に と書かれる。

が真であるとき、命題 と は同値 (equivalence)であるという。

2つの命題 の真偽それぞれについて、この新しい命題 の真偽をまとめると、次の表のようになる。

この表からわかるように、 と が同値となるのは、 と がともに真であるときか と がともに偽であるとき、つまり と の真偽が一致するときである。つまり、同値である2つの命題は、真偽に関して意味する内容が等しいということである（その意味で同値と呼ぶ）。

例として と、 の否定すなわち の真偽値表を書き並べてみると、次のようになる。

この表をみると、 と の真偽値は一致しているので同値である。これは、2重否定「 でないということはない」は「 である」ことを意味する。

2つの命題 に対して が成り立つ。

2つの命題 に対して が成り立ち、これをド・モルガンの法則という。

2つの命題 に対して が成り立つ。