数学I 第4章論理と集合 — 命題の結合

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この節の前提命題／集合と集合の関係

一見複雑な命題も、よくみると小さな命題が組み合わさってできている。正しさに着目する限り、その組み合せ方は「かつ」、「または」、「～ない」、「ならば」の4通りを考えれば十分である。以下では、その組み合わさり方のパターンをみていく。

命題の「かつ」と「または」

命題の「かつ」

定義1命題の「かつ」

2つの命題 $p,q$ に対して、「 $p,q$ は共に真である」という命題を

「 $p$ かつ $q$ ( $p$ and $q$ )」

と表す。

この新しい命題「 $p$ かつ $q$ 」の真偽をまとめると、次の表のようになる。

$p$	$q$	$p$ かつ $q$
真	真	真
真	偽	偽
偽	真	偽
偽	偽	偽

この表を真偽値表 (truth table) という。

例えば、命題 $p,q$ をそれぞれ

$p:$ 「ペンギンは鳥類である」　（真）
$q:$ 「 $2$ は $1$ より小さい」　（偽）

としたとき、「 $p$ かつ $q$ 」つまり「ペンギンは鳥類であり、かつ、 $2$ は $1$ より小さい」の真偽は、 $p,q$ のうち $q$ が偽であるから、全体として偽となる。

命題の「または」

定義2命題の「または」

2つの命題 $p,q$ に対して、「 $p,q$ の少なくとも一方は真である」という命題を

「 $p$ または $q$ ( $p$ or $q$ )」

と表す。

この新しい命題「 $p$ または $q$ 」の真偽値表は、次のようになる。

$p$	$q$	$p$ または $q$
真	真	真
真	偽	真
偽	真	真
偽	偽	偽

例えば、命題 $p,q$ をそれぞれ

$p:$ 「ペンギンは鳥類である」　（真）
$q:$ 「 $2$ は $1$ より小さい」　（偽）

としたとき、「 $p$ または $q$ 」つまり「ペンギンは鳥類であるか、または、 $2$ は $1$ より小さい」の真偽は、 $p,q$ のうち $p$ が真であるから、全体として真となる。

問題1命題の「かつ」と「または」

次のそれぞれにおいて、「 $p$ かつ $q$ 」と「 $p$ または $q$ 」の真偽を答えよ。

- $p:1/2+1/3=2/5$
- $q:1/2\times1/3=1/6$
- $p:2¹⁶=65536$
- $q:2¹⁰=1024$
- $p:1+1=1$
- $q:1\times1=2$

解答を見る

$1/2+1/3=5/6$ なので、命題 $p$ は偽であり、また、命題 $q$ は真である。よって

「 $p$ かつ $q$ 」は

偽

「 $p$ または $q$ 」は

真
命題 $p$ は真であり、命題 $q$ も真である。よって

「 $p$ かつ $q$ 」は

真

「 $p$ または $q$ 」は

真
命題 $p$ は偽であり、命題 $q$ も偽である。よって

「 $p$ かつ $q$ 」は

偽

「 $p$ または $q$ 」は

偽

命題の否定

命題の否定について

定義3命題の否定

ある命題 $p$ に対して、 $p$ が真の場合には偽に、 $p$ が偽の場合には真となる命題を、 $p$ の 否定 (negation) といい

「 $p$ でない (not $p$ )」

と書く。 $p$ の否定は、記号 $p$ で表すこともある。

この新しい命題 $p$ の真偽値表は、次のようになる。

$p$	$p$
真	偽
偽	真

例えば、真である命題として、命題 $p$ を

$p:$ 「ペンギンは鳥類である」　（真）

とすると、この命題の否定 $p$ は

$p:$ 「ペンギンは鳥類ではない」　（偽）

となる。また、偽である命題として、命題 $q$ を

$q:$ 「 $2$ は $1$ より小さい」　（偽）

とすると、この命題の否定 $q$ は、「 $2$ は $1$ より小さくはない」すなわち

$q:$ 「 $2$ は $1$ 以上である」　（真）

となる。

命題の「ならば」

命題の「ならば」について

定義4命題の「ならば」

2つの命題 $p,q$ に対して、「もし $p$ が真であるならば、 $q$ は真である」という命題は、簡単に

「 $p$ ならば $q$ (if $p$ then $q$ )」

と書かれ、記号で $p\Rightarrowq$ と表す。

このとき、初めの命題 $p$ を

仮定 (assumption)

といい、後の命題 $q$ を

結論 (conclusion)

という。

2つの命題 $p,q$ の真偽それぞれについて、この新しい命題 $p\Rightarrowq$ の真偽をまとめると、次の表のようになる。

$p$	$q$	$p\Rightarrowq$
真	真	真
真	偽	偽
偽	真	真
偽	偽	真

仮定 $p$ が偽のときは、結論 $q$ の真偽にかかわらず、全体として真になることに注意しよう。このように、仮定が偽であるために「 $p$ ならば $q$ 」が真になることを空虚な真 (vacuous truth) という。こうなる理由は次の例を考えてみるとわかりやすい。

ある人が私たちに

「もしテストで100点をとれた $(p)$ ならば、美味しいものをおごってあげる $(q)$ 」

という約束したとしよう。そのとき、もし私たちがテストで100点をとったのに、美味しいものをおごってもらえなかったら、この人はうそをついたことになる。しかし、テストで100点をとれなかったときには、たとえおごってもらえなくても、この人はうそをついたことにならないし、また、たとえおごってもらったとしても、やはりこの人はうそをついたことにならない。

このように、日常的に用いている「ならば」は、仮定が偽のときには結論が真でも偽でも、全体としては偽とはならないという主張なのだと考えられる。ここで、100点をとれなかったからといって、この約束が無かったことになるのではないことに注意しよう。『命題』で学んだように、命題は真か偽のどちらか一方に定まるものであった。つまり、偽とならない以上、「 $p$ ならば $q$ 」は真である。それゆえ、「ならば」に対する真偽の割り当ては、上の表のようになるのである。

同値とは何か

定義5命題の同値

2つの命題 $p,q$ に対して、「 $p\Rightarrowq$ かつ $q\Rightarrowp$ 」という命題は、簡単に $p\Leftrightarrowq$ と書かれる。

$p\Leftrightarrowq$ が真であるとき、命題 $p$ と $q$ は同値 (equivalence)であるという。

2つの命題 $p,q$ の真偽それぞれについて、この新しい命題 $p\Leftrightarrowq$ の真偽をまとめると、次の表のようになる。

$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$	$p\Leftrightarrowq$
真	真	真	真	真
真	偽	偽	真	偽
偽	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	真

この表からわかるように、 $p$ と $q$ が同値となるのは、 $p$ と $q$ がともに真であるときか $p$ と $q$ がともに偽であるとき、つまり $p$ と $q$ の真偽が一致するときである。言い換えると、同値である2つの命題は、真偽に関して意味する内容が等しいということである（その意味で同値と呼ぶ）。

例として $p$ と、 $p$ の否定すなわち $p$ の真偽値表を書き並べてみると、次のようになる。

$p$	$p$	$p$
真	偽	真
偽	真	偽

この表をみると、 $p$ と $p$ の真偽値は一致しているので同値である。これは、2重否定「 $p$ でないということはない」が「 $p$ である」と同じ意味であることを示している。

問題2「ならば」のいいかえ

下の真偽値表を埋め、「 $p\Rightarrowq$ 」と「 $p$ または $q$ 」が同値、すなわち $または (p\Rightarrowq)\Leftrightarrow(p または q)$ が成り立つことを示せ。

$p$	$q$	$p$	$p\Rightarrowq$	$p$ または $q$
真	真
真	偽
偽	真
偽	偽

解答を見る

$p$	$q$	$p$	$p\Rightarrowq$	$p$ または $q$
真	真	偽	真	真
真	偽	偽	偽	偽
偽	真	真	真	真
偽	偽	真	真	真

この例題より、「 $p\Rightarrowq$ 」と「 $p$ または $q$ 」の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

定理6「ならば」のいいかえ

2つの命題 $p,q$ に対して $または (p\Rightarrowq)\Leftrightarrow(p または q)$ が成り立つ。

つまり、「 $p$ ならば $q$ 」は「 $p$ でない、または $q$ 」と言い換えられる。

問題3ド・モルガンの法則（命題版）

「 $p$ かつ $q$ 」を $p\landq$ 、「 $p$ または $q$ 」を $p\lorq$ と書く。下の真偽値表を埋め、次の関係が成り立つことを示せ。 $p\landq\Leftrightarrow(p)$ $p\lorq\Leftrightarrow(p\landq)$

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\landq$	$p\lorq$	$p\landq$	$p$	$p\lorq$	$p\landq$
真	真
真	偽
偽	真
偽	偽

解答を見る

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\landq$	$p\lorq$	$p\landq$	$p$	$p\lorq$	$p\landq$
真	真	偽	偽	真	真	偽	偽	偽	偽
真	偽	偽	真	偽	真	真	真	偽	偽
偽	真	真	偽	偽	真	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	偽	偽	真	真	真	真

この例題より、 $p\landq$ と $p$ の真偽と、 $p\lorq$ と $p\landq$ の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

定理7ド・モルガンの法則（命題版）

2つの命題 $p,q$ に対して $p\landq\Leftrightarrow(p)$ $p\lorq\Leftrightarrow(p\landq)$ が成り立ち、これをド・モルガンの法則という。

つまり、「 $p$ かつ $q$ 」の否定は「 $p$ でない、または $q$ でない」、「 $p$ または $q$ 」の否定は「 $p$ でない、かつ $q$ でない」と言い換えられる。

逆・裏・対偶

定義8逆・裏・対偶

$p\Rightarrowq$ の形をした命題に対して

$q\Rightarrowp$ を $p\Rightarrowq$ の逆 (converse)

$p\Rightarrowq$ を $p\Rightarrowq$ の裏 (inverse)

$q\Rightarrowp$ を $p\Rightarrowq$ の対偶たいぐう (contraposition)

という。

四角形の4つの頂点に命題 p ⇒ q、q ⇒ p、pの否定 ⇒ qの否定、qの否定 ⇒ pの否定が配置され、左右が「逆」、上下が「裏」、対角線が「対偶」の両向き矢印で結ばれている。

ここで、命題 $p\Rightarrowq$ が真であっても、その逆 $q\Rightarrowp$ や裏 $p\Rightarrowq$ が真であるとは限らないことに注意しよう。例えば、命題「 $x=3$ ならば $x²=9$ 」は真であるが、その逆「 $x²=9$ ならば $x=3$ 」は、 $x=-3$ のとき $x²=9$ でありながら $x=3$ とならないので偽である。また、その裏「 $x\neq3$ ならば $x²\neq9$ 」も、同じ $x=-3$ のとき $x\neq3$ でありながら $x²=9$ となるので偽である。一方、対偶ともとの命題の間には、次のような関係がある。

問題4対偶は同値であることの証明

下の真偽値表を埋め、次の関係が成り立つことを示せ。 $(p\Rightarrowq)\Leftrightarrow(q\Rightarrowp)$

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$
真	真
真	偽
偽	真
偽	偽

解答を見る

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$
真	真	偽	偽	真	真
真	偽	偽	真	偽	偽
偽	真	真	偽	真	真
偽	偽	真	真	真	真

この例題より、 $p\Rightarrowq$ と $q\Rightarrowp$ の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

定理9対偶は同値

2つの命題 $p,q$ に対して $(p\Rightarrowq)\Leftrightarrow(q\Rightarrowp)$ が成り立つ。

最終更新: 2026-10-27

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質問の内容

$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$	$p\Leftrightarrowq$
真	真	真	真	真
真	偽	偽	真	偽
偽	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$p\Rightarrowq$	$p$ または $q$
真	真	偽	真	真
真	偽	偽	偽	偽
偽	真	真	真	真
偽	偽	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\landq$	$p\lorq$	$p\landq$	$p$	$p\lorq$	$p\landq$
真	真	偽	偽	真	真	偽	偽	偽	偽
真	偽	偽	真	偽	真	真	真	偽	偽
偽	真	真	偽	偽	真	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	偽	偽	真	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$
真	真	偽	偽	真	真
真	偽	偽	真	偽	偽
偽	真	真	偽	真	真
偽	偽	真	真	真	真

$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$	$p\Leftrightarrowq$
真	真	真	真	真
真	偽	偽	真	偽
偽	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$p\Rightarrowq$	$p$ または $q$
真	真	偽	真	真
真	偽	偽	偽	偽
偽	真	真	真	真
偽	偽	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\landq$	$p\lorq$	$p\landq$	$p$	$p\lorq$	$p\landq$
真	真	偽	偽	真	真	偽	偽	偽	偽
真	偽	偽	真	偽	真	真	真	偽	偽
偽	真	真	偽	偽	真	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	偽	偽	真	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$
真	真	偽	偽	真	真
真	偽	偽	真	偽	偽
偽	真	真	偽	真	真
偽	偽	真	真	真	真

数学I 第4章 論理と集合 — 命題の結合

命題の「かつ」と「または」

命題の「かつ」

定義1命題の「かつ」

命題の「または」

定義2命題の「または」

問題1命題の「かつ」と「または」

命題の否定

命題の否定について

定義3命題の否定

命題の「ならば」

命題の「ならば」について

定義4命題の「ならば」

同値とは何か

定義5命題の同値

問題2「ならば」のいいかえ

定理6「ならば」のいいかえ

問題3ド・モルガンの法則（命題版）

定理7ド・モルガンの法則（命題版）

逆・裏・対偶

定義8逆・裏・対偶

問題4対偶は同値であることの証明

定理9対偶は同値

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数学I 第4章論理と集合 — 命題の結合

$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$	$p\Leftrightarrowq$
真	真	真	真	真
真	偽	偽	真	偽
偽	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$p\Rightarrowq$	$p$ または $q$
真	真	偽	真	真
真	偽	偽	偽	偽
偽	真	真	真	真
偽	偽	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\landq$	$p\lorq$	$p\landq$	$p$	$p\lorq$	$p\landq$
真	真	偽	偽	真	真	偽	偽	偽	偽
真	偽	偽	真	偽	真	真	真	偽	偽
偽	真	真	偽	偽	真	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	偽	偽	真	真	真	真

$p$	$q$	$p$	$q$	$p\Rightarrowq$	$q\Rightarrowp$
真	真	偽	偽	真	真
真	偽	偽	真	偽	偽
偽	真	真	偽	真	真
偽	偽	真	真	真	真