条件の結合の練習問題

Question 1

x,y は実数とする。次の条件の否定を答えよ。
(1) x=1
(2) x≧-2
(3) x+y0
(4) x は無理数である

Accepted Answer

(1) 「x は 1 である」の否定は「x は 1 ではない」、よって
x≠1
(2) 「x は-2 以上である」の否定は「x は -2 以上ではない」、つまり「x は -2 より小さい」、よって
x-2
(3) 「x と y を足したものは 0 より大きい」の否定は「x と y を足したものは 0 より大きくはない」、つまり「x と y を足したものは 0 以下である」、よって
x+y≦0
(4) 「x は無理数である」の否定は「x は無理数ではない」、つまり
無理数とは「有理数ではない数」、有理数とは「整数 a と 0 でない整数 b によって a/b の形で表せる数」である
「x は有理数である」

Question 2

次の四角の中に
・(ア) 必要条件であるが十分条件ではない
・(イ) 十分条件であるが必要条件ではない
・(ウ) 必要十分条件である
・(エ) 必要条件でも十分条件でもない
のうち、適当なものを選んで入れよ。
(1) p(x) は q(x) であるための、［A］
p(x): x²=2x q(x): x=2
(2) p(x, y) は q(x, y) であるための、［B］
p(x, y):x≧0かつy≦0 q(x, y):xy≦0
(3) p(x, y) は q(x, y) であるための、［C］
p(x, y):xy=0かつx+y=0
q(x, y):x=0かつy=0\
(4) p(x) は q(x) であるための、［D］
p(x):x0 q(x):x≠1

Accepted Answer

(1) p(x)
⇔ x(x-2)=0
⇔ x=02
これより
p(x),q(x) の真理集合をそれぞれ P,Q とすると図のような関係になっている
・p(x)⇒q(x) は偽　（反例 x=0）
・p(x)q(x) は真
となるので、［A］ には(ア)が入る。
(2) q(x, y)
⇔ (x≧0y≦0)(x≦0y≧0)
これより
p(x),q(x) の真理集合をそれぞれ P,Q とすると図のような関係になっている
・p(x, y)⇒q(x, y) は真
・p(x, y)q(x, y) は偽　（反例 x=-1 かつ y=1 など）
となるので、［B］ には(イ)が入る。
(3) p(x, y) に関して、まず
xy=0
⇔ x=0y=0
このうち、さらに x+y=0 を満たす x,y は x=0 かつ y=0 である。これより
p(x),q(x) の真理集合をそれぞれ P,Q とすると図のような関係になっている
・p(x, y)⇒q(x, y) は真
・p(x, y)q(x, y) は真
つまり、p(x, y)⇔q(x, y) であるから、［C］ には(ウ)が入る。
(4) p(x),q(x) の真理集合をそれぞれ P,Q とすると図のような関係になっている
・p(x, y)⇒q(x, y) は偽　（反例 x=1）
・p(x, y)q(x, y) は偽　（反例 x=-1 など）
となるので、［D］ には(エ)が入る。

数学I 第4章論理と集合 — 条件の結合

条件の「かつ」と「または」

「かつ」の真理集合

「または」の真理集合

条件の否定

否定の真理集合

条件の「ならば」

「ならば」の真理集合

必要条件と十分条件

この節についてAIに質問する

数学I 第4章 論理と集合 — 条件の結合