集合の要素の個数の練習問題

Question 1

U={x|xは100以下の自然数} を全体集合とし、A={x|xは3の倍数}、B={x|xは5の倍数} とするとき、次の値を求めよ。
(1) n(A)
(2) n(B)
(3) n(A∩B)
(4) n(A∪B)

Accepted Answer

(1) 100÷3=33 あまり 1 より
A={3×1, 3×2, …, 3×33}
となるのがわかる。よって、n(A)=33 である。
(2) 100÷5=20 より
B={5×1, 5×2, …, 5×20}
となるのがわかる。よって、n(B)=20 である。
(3) A∩B は、3 の倍数でかつ 5 の倍数の集合だから、結局 15 の倍数の集合である。
100÷15=6 あまり 10 より
A∩B={15×1, 15×2, …, 15×6}
となるのがわかる。よって、n(A∩B)=6 である。
(4) 和集合の要素の個数に関して
包含と排除の原理（2集合版）参照
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
が成り立つから、1～3より
n(A∪B)=33+20-6=47

Question 2

2つの集合に関する包含と排除の原理
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
を使い、3つの集合に関する包含と排除の原理
n(A∪B∪C)
=\ n(A)+n(B)+n(C)
-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)
+n(A∩B∩C)
が成り立つのを証明せよ。

Accepted Answer

n(A∪B∪C)
=n{(A∪B)∪C}
=n(A∪B)+n(C)-n{(A∪B)∩C}
A∪Bを1かたまりとして、
『包含と排除の原理（2集合版）』を使った
=n(A∪B)-n{(A∪B)∩C}+n(C)
=n(A)+n(B)-n(A∩B)
-n{(A∩C)∪(B∩C)}+n(C)
の部分は『包含と排除の原理
（2集合版）』を、の部分は
『要素の個数の基本 ii』を使った
=n(A)+n(B)-n(A∩B)
-n(A∩C)-n(B∩C)
+n{(A∩C)∩(B∩C)}+n(C)
さらにに
『包含と排除の原理（2集合版）』を使った
=n(A)+n(B)+n(C)
-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)
+n{(A∩C)∩(B∩C)}
=n(A)+n(B)+n(C)
-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)
+n{(A∩(C∩B∩C)}
B∩Cを1かたまりとして、
要素の個数の基本を使った
=n(A)+n(B)+n(C)
-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)
+n(A∩B∩C)
C∩C=C 『共通部分』

Question 3

総世帯数が 191 のある地区では、新聞をとっている世帯が 170 ある。このうちA新聞をとっている世帯は 89、B新聞をとっている世帯は 108 ある。その他の新聞はこの地区には無いものとして、以下の問に答えよ。
(1) この地区では新聞をとっていない世帯はいくつか。
(2) A、B両方の新聞をとっている世帯はいくつか。

Accepted Answer

・U:｢ある地区の総世帯｣
・A:｢A新聞をとっている世帯｣
・B:｢B新聞をとっている世帯｣
とおく。
(1) 新聞をとっている世帯は A∪B と表せるので、新聞をとっていない世帯は A∪B となる。
補集合の要素の個数参照
n(A∪B)
=n(U)-n(A∪B)
=191-170
=21
(2) A、B両方の新聞をとっている世帯は A∩B と表される。和集合の要素の個数に関して
包含と排除の原理（2集合版）参照
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
が成り立つから
n(A∩B)=\ n(A)+n(B)-n(A∪B)
=\ 89+108-170=27

Question 4

300 人の高校生にA、B、Cの3種のテストを行った。Aテストに 102 人、Bテストに 152 人、Cテストに 160 人が合格したが、これらの中で、A、B両テストに 42 人、B、C両テストに 62 人、C、A両テストに 32 人が合格している。3種のテストのどれにも合格しなかった人は 10 人であった。このとき、3種のテストにすべて合格した人は何人か。

Accepted Answer

・U:｢テストを受けた高校生全員｣
・A:｢Aテストに合格した人｣
・B:｢Bテストに合格した人｣
・C:｢Cテストに合格した人｣
とおくと、3種のテストのどれにも合格しなかった人は A∩B∩C と表され、3種のテストにすべて合格した人は A∩B∩C で表せる。
包含と排除の原理（3集合版）参照
3つの集合の和集合に関して
n(A∪B∪C)
=\ n(A)+n(B)+n(C)
-n(A∩B)-n(B∩C)
-n(C∩A)
+n(A∩B∩C)1hosyugonoyosonokosunituite1
補集合の要素の個数参照
全体集合と補集合の3集合の場合のド・モルガンの法則より
が成り立ち、また補集合に関して
n(A∪B∪C)
=n(U)-n(A∪B∪C)
=n(U)-n(A∩B∩C)2hosyugonoyosonokosunituite2
が成り立つ。hosyugonoyosonokosunituite1とhosyugonoyosonokosunituite2より
n(A∩B∩C)
=n(A∪B∪C)
-n(A)-n(B)-n(C)
+n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)
={n(U)-n(A∩B∩C)}
-n(A)-n(B)-n(C)
+n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)
=300-10-102-152
-160+42+62+32
=12
∴12人

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集合の要素の個数の表し方

集合の要素の個数の表し方

直積の要素の個数

直積の要素の個数

和集合の要素の個数（包含と排除の原理）

和集合の要素の個数（包含と排除の原理）

補集合の要素の個数

“着目しないもの”に着目する

補集合の要素の個数について

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集合の要素の個数の表し方

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直積の要素の個数

直積の要素の個数

和集合の要素の個数（包含と排除の原理）

和集合の要素の個数（包含と排除の原理）

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