数学I 第3章集合の基礎 — 集合と要素

犬やサルや鳥は、これらをひとまとめにして「動物」と表すことができる。このように、ものを寄せ集め、ひとくくりにしたものを集合という。ここでは、集合という考え方に対する注意や、集合に関する用語について学ぶ。

集合と要素の表し方

集合の表し方

“1から9までの自然数の集まり”や“すべての偶数の集まり”のように、それに含まれるものが明確であるとき、このものの集まりを集合 (set) といい、ものそれぞれをその集合の要素 (element) という。集合は、アルファベットの大文字 $A,B,C,\dots,X,Y$ などを用いて表される。

例えば、集合 $A$ を $「の正の約数の集合」「12の正の約数の集合」 ①$ とした場合、 $12$ の正の約数は $1,2,3,4,6,12$ であるから、 $A$ は $「を要素とする集合」「1,2,3,4,6,12を要素とする集合」 ②$ といっても同じことである。

集合Aを表す大きな円があり、その左上に記号Aが置かれている。円の内側には、要素である1、2、3、4、6、12の6つの数字が描かれている。 $①$ のように、要素の満たす条件を示して集合を決める方法のことを、内包（ないほう）的定義 (intensional definition) といい $はの正の約数 A={x|xは12の正の約数}$ と表す。この方法では、 $A$ の要素を代表して例えば $x$ などで表し、 ${ }$ の中の縦線 $(|)$ の右側に、その $x$ の満たす条件を書く。

また、 $②$ のように、すべての要素を書き並べて集合を決める方法のことを、外延（がいえん）的定義 (extensional definition) といい $A={1,2,3,4,6,12}$ と表す。

また、「要素をもたない集合」というものも考えることとし、これを空（くう）集合 (empty set) といい、記号 $\emptyset$ で表す。

空集合を表すのにギリシア文字の $φ$ （ファイ）をあてている本もある。

数の集合は次のように、あらかじめ表し方を決めているものがある。

数の種類	集合の表し方
自然数 natural number	$N$
整数 integer (独 zahlen)	$Z$
有理数 rational number	$Q$
実数 real number	$R$

数の種類について、詳しくはいろいろな数を参照のこと。

問題1集合の表し方

次の集合を、要素の条件を示す方法で表せ。
1. $A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$
2. $A={2,4,6,\dots,100}$
3. $A={2,3,5,7,11,13,17,19}$
次の集合を、要素を書き並べる方法で表せ。
1. $はの正の約数 A={x|xは18の正の約数}$
2. $はの要素であり A={2n|nはNの要素であり1≦n≦6}$
3. $は正の整数 A={2n-1|nは正の整数}$

解答を見る

1の要素の条件を示す方法では、答えが1通りになるとは限らず、いくつかの表し方があるのが普通である。

1. $は以下の自然数 A={x|xは10以下の自然数}$ 《別解》 $はの要素であり A= {x|xはNの要素であり1≦x≦10}$ など
2. $は整数かつ A={2x|xは整数かつ, 1≦x≦50}$ 《別解》 $は以下の正の偶数 A={x|xは100以下の正の偶数}$ など
3. $は以下の素数 A={x|xは20以下の素数}$
  
  素数 (prime number) とは、1より大きい整数で、1とその数自身以外に約数をもたないような数をいう。
1. $A={1,2,3,6,9,18}$
2. $A={2,4,6,8,10,12}$
  
  $2n$ の $n$ に $1,2,\dots,6$ を順に代入する
3. $A={1,3,5,7,\dots}$
  
  要素の個数に限りのない集合もある

この例題にある、“18の正の約数”のように、有限個の要素からなる集合を有限集合 (finite set) といい、“自然数全体”の集合のように、要素の個数に限りが無い集合を無限集合 (infinite set) という。

要素の表し方

$a$ が集合 $A$ の要素であるとき、 $a$ は集合 $A$ に属する (in) といい $a\inA$ と表す。また、 $a$ が集合 $A$ の要素でないことは、 $\in$ に斜線を引いて $a\notinA$ で表す。

例として、 $はの正の約数 A={x|xは12の正の約数}$ とすると $3\inA , 5\notinA$ である。

集合Aを表すひとつの円の内側に、1、2、3、4、6、12の6つの数字が書かれており、その円の外側右側に数字の5が配置されている。

問題2集合の要素の表し方

集合 $A$ 、 $B$ を

$は正の偶数 A={x|xは正の偶数}$
$はの正の約数 B={x|xは18の正の約数}$

とするとき、次の $［?］$ の中に $\in$ または $\notin$ のいずれかを入れよ。

$2［?］A , 2［?］B$
$3［?］A , 3［?］B$
$4［?］A , 4［?］B$
$5［?］A , 5［?］B$

解答を見る

わかりやすくするため、要素を書き並べてみると

$A={2,4,6,8,10,\dots}$
$B={1,2,3,6,9,18}$

これをもとに問に答える。

$2 , 2$
$3\notinA , 3$
$4 , 4\notinB$
$5\notinA , 5\notinB$

最終更新: 2026-08-12

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