数学I 第7章 本文の補足 I — 36°、72°などの三角比

36°、72°などの三角比

36°、72°、72°の三角形を考える

18° に関する三角比を考えるため、まず、次の図のように、 ∠A=∠B=72° の2等辺三角形 ABC を考える。AB の長さはいくつでもよいが、考えやすくするためここでは 1 としておく。

ここで、上の図の奥のように ∠A の2等分線と辺 BC の交点を D とすると、 ∠DAC=∠DCA=36° だから △DAC は2等辺三角形になり、 ∠ADB=∠ABD=72° だから △ABD も2等辺三角形になる。これらより、 CD=AD=AB=1 が成り立つ。また、△ABC は ∠A=∠B の2等辺三角形だから、 CA=CB である。

さらに、 BD=x とおくと、 △CAB∽△ABD であるから、対応する辺の比より CA:AB=AB:BD が成り立つ。ここで CA=CB であったから、 AB²=CB×BD より 1×1=(1+x)×x ⇔ x²+x-1=0 x>0 であるから、解の公式より BD=(√5-1)/2 と求まる。これより BC=BD+1=(√5-1)/2+1=(√5+1)/2 となる。

36°の三角比とその周辺

△ACD に注目し、次の図のように、点 D から辺 AC へ垂線 DH を引く。

ここで、△DCA は DC=DA の2等辺三角形だから、H は辺 CA の中点である。また、 CA=CB=(√5+1)/2 である。これらより、直角三角形 DCH に、余弦の定義を用いて cos36°=CH/DC =(1/2)CA/1=(√5+1)/4 さらに、三角比の相互関係 sin²θ+cos²θ=1 を用いて sin²36°=1-cos²36° =1-((√5+1)/4)² =1-(6+2√5)/16 =(10-2√5)/16 であり、 sin36°>0 であるから、 sin36°=√(10-2√5)/4 である。

また、これらより tan36°=sin36°/cos36° =√(10-2√5)/(1+√5) =√((10-2√5)/(1+√5)²)=√((10-2√5)/(6+2√5)) =√((10-2√5)(6-2√5)/(6+2√5)(6-2√5)) =√((80-32√5)/16) =√(5-2√5) である。

72°の三角比とその周辺

今度は、△ABD に着目し、次の図のように、点 A から辺 BD へ垂線 AH' を引く。

ここで、△ABD は AB=AD の2等辺三角形だから、H' は辺 BD の中点である。これより、直角三角形 ABH' に、余弦の定義を用いて cos72°=BH'/AB =(1/2)BD/1=(√5-1)/4 さらに、三角比の相互関係 sin²θ+cos²θ=1 を用いて sin²72°=1-cos²72° =1-((√5-1)/4)² =1-(6-2√5)/16 =(10+2√5)/16 であり、 sin72°>0 であるから、 sin72°=√(10+2√5)/4 である。

また、これらより tan72°=sin72°/cos72° =√(10+2√5)/(√5-1) =√((10+2√5)/(√5-1)²)=√((10+2√5)/(6-2√5)) =√((10+2√5)(6+2√5)/(6-2√5)(6+2√5)) =√((80+32√5)/16) =√(5+2√5) である。

最終更新: 2026-08-20