数学I 第5章三角比 — 鋭角の三角比

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この節ではまず、直角三角形について考え、 $90°$ より小さな角(鋭角)について三角比の基礎を学ぶ。どのような多角形も、対角線を引くことによっていくつかの三角形に分割できる。逆にいえば、適当な三角形を組み合せていくことにより、任意の多角形を作ることができる。そのため、三角形は多角形の中でも最も基本的な図形であるといえる。ここではまず、三角形の分析のための基礎となる、直角三角形について考えてみる。

正接 $（）（tan）$

三角形の表記に関する注意

$△ABC$ において、以下のように略することが多い。 $の大きさそれぞれ ∠A, ∠B, ∠Cの大きさそれぞれA, B, C$ $辺の長さそれぞれ辺BC, CA, ABの長さそれぞれa, b, c$ 今後、特に断りのない限りこの記法にしたがうこととする。

三角形ABCがあり、各頂点の内側に角の大きさA、B、C、それぞれの向かい合う辺BC、CA、ABの側に長さa、b、cが示されている。

直角三角形の表記に関する注意

図のような直角三角形 $ABC$ を $∠A$ からみるとき

辺 $AB$ のことを斜辺 (hypotenuse)
辺 $BC$ のことを対辺 (opposite side)
辺 $CA$ のことを底辺 (base)

という。

直角三角形ABCにおいて、∠Cが直角で、頂点Aの左側には目のマークが描かれている。辺ABに斜辺、辺BCに対辺、辺CAに底辺と記載されている。このうち底辺、対辺は、 $∠A$ から直角をみることによって相対的に決まる。図で描かれたときに、下の部分にあるから底辺というのではない。

たとえば、次の図のように斜めになっている直角三角形でも、点 $A$ からみたときの斜辺、対辺、底辺は、それぞれ辺 $AB$ 、 $BC$ 、 $CA$ となる。

頂点Cが直角の直角三角形ABCにおいて、辺ABに斜辺、辺BCに対辺、辺CAに底辺と添えられており、頂点Aの下には目のマークが描かれている。この章の図にある“目”のマークは、本文中で「～からみたときの」とある場合の説明の補助として使われている。自分も同じ所から見つめているつもりになって、図形を考えてみよう。

川を渡らずに川幅を知る方法

次の図において、川を渡ることなく、C点から対岸のB点までの距離BCを求めるにはどうしたらよいだろうか。

斜めに流れる川を挟んで直角三角形ABCが描かれている。手前の岸にある辺ACの長さは40m、∠Cは直角で、対岸の木がある点Bを見通す∠Aの大きさは35°である。まず、C点から見て、直線CBと直角の方向にA点を適当に定め、C点からA点までの距離を測る。

たとえば、これは40mであったとする。次に、A点から見て、直線ABと直線ACのつくる角の大きさを測る。たとえば、これは $35°$ であったとする。

$△ABC$ は $∠C$ が直角の直角三角形であるから、この縮図 $△A'B'C'$ を、たとえば、 $A'C'=3cm$ として描くと図のようになる。

∠C'が直角の直角三角形A'B'C'があり、∠A'=35°、辺A'C'=3cmである。辺B'C'の長さを示す位置には、四角で囲まれたアとcmが書かれている。そこで、辺 $B'C'$ の長さを測ると約 $ア［ア］cm$ になっている（実際に定規（じょうぎ）で測ってみよう）。

ここで、 $△ABC$ と $△A'B'C'$ は相似であるから $アイ CB/AC=(C'B'/A'C')≒［ア］/3=［イ］$ が成り立つ。この値は、いわばACに対するCBの倍率であることに注意しよう。

実際には、 $AC=40m$ であったから $イイウ BC≒AC\times［イ］=40m\times［イ］=［ウ］m$ と計算できる。

このように、実際に川を渡らずとも距離BCが求められたのは、適当な縮図 $△A'B'C'$ を使い、ACに対するCBの倍率（比）を計算したためである。この値は縮図の大きさによらない、 $35°$ という角度に関する固有の値である。

$アイウ［ア］, ［イ］, ［ウ］$ の答え $アイウ［ア］=2.1, ［イ］=0.70, ［ウ］=28$

正接の定義

一般に、 $∠C$ が直角である直角三角形 $ABC$ において、 $∠A$ から見たときの $（対辺）（底辺）（対辺）/（底辺）=CB/AC$ の値は、 $△ABC$ の大きさに関係無く、 $∠A$ の大きさだけで決まる。

$∠C$ が直角で $∠A$ の大きさが等しい2つの直角三角形は、2組の角がそれぞれ等しいので相似であり、一方は他方を拡大または縮小したものになっているからである。

たとえば、図の $△AB'C'$ は $△ABC$ の0.75倍の大きさで描かれているので、 $C'B'/AC'=0.75\timesCB/0.75\timesAC=CB/AC$ となり、直角三角形の大きさとは関係ないことがわかる。

直角三角形ABCの内部に、角Aを共有する一回り小さい直角三角形AB'C'が重ねて描かれている。∠Cと∠C'は直角で、辺ACは底辺、辺BCは対辺、辺ABは斜辺と書かれている。ここで、この $（対辺）（底辺）（対辺）/（底辺）$ の値を $A$ の正接（せいせつ）または、 $A$ のタンジェント (tangent) といい、 $tanA$ と書く。

定義1正接の定義

図の直角三角形 $ABC$ において $tanA=a/b$ とする。

∠Cを直角とする直角三角形ABCにおいて、底辺ACの長さはb、高さBCの長さはaと示されている。頂点Aの左外側には、角Aを見つめる目のマークが描かれている。

左下に角A、右下に直角をもつ直角三角形があり、底辺の長さがb、高さがaと記されている。その直角三角形の内部に、底辺から高さへと重なるようにアルファベットのtの筆記体が描かれている。

問題1正接の定義

次の図において、 $tanA$ 、 $tanB$ をそれぞれ求めよ。

左には、直角を挟む2辺の長さが3と4で、長さ3の辺と斜辺の間に角Aがある直角三角形。右には、直角を挟む2辺の長さが4と2で、長さ4の辺と斜辺の間に角Bがある直角三角形。

解答を見る

図より $tanA=4/3$ $tanB=2/4=1/2$

左側には底辺の長さが3、高さが4で1つの角がAである直角三角形が、右側には底辺の長さが4、高さが2で1つの角がBである直角三角形が並んでいる。

正弦 $（）（sin）$ と余弦 $（）（cos）$

正弦と余弦の定義

正接の場合と同じように、 $∠C$ が直角である直角三角形 $ABC$ において、 $∠A$ から見たときの $（対辺）（斜辺）（対辺）/（斜辺）=BC/AB$ の値や、 $（底辺）（斜辺）（底辺）/（斜辺）=AC/BA$ の値は、 $△ABC$ の大きさに関係無く、 $∠A$ の大きさだけで決まる。

たとえば、図の $△AB'C'$ は $△ABC$ の0.75倍の大きさで描かれているが $B'C'/AB'=0.75\timesBC/0.75\timesAB=BC/AB AC'/B'A=0.75\timesAC/0.75\timesBA=AC/BA$ となり直角三角形の大きさは関係ないのがわかる。

直角三角形ABCと、角Aを共有する小さな直角三角形AB'C'が重なって描かれている。斜辺ABに「斜辺」、底辺ACに「底辺」、対辺BCに「対辺」と記載され、角Aの左側には目のイラストが添えられている。ここで、 $（対辺）（斜辺）（対辺）/（斜辺）$ の値を $A$ の正弦（せいげん）または、 $A$ のサイン (sine) といい、 $sinA$ と書く。

また、 $（底辺）（斜辺）（底辺）/（斜辺）$ の値を $A$ の余弦（よげん）または、 $A$ のコサイン (cosine) といい、 $cosA$ と書く。

定義2正弦・余弦の定義

次の図の直角三角形 $ABC$ において $sinA=a/c cosA=b/c$ とする。

∠Cが直角である直角三角形ABCがあり、斜辺ABの長さはc、底辺ACの長さはb、高さBCの長さはaと示されている。頂点Aの左側には角Aを見る目のイラストが添えられている。

左下が角A、右下が直角で、斜辺がc、底辺がb、高さがaの直角三角形に重ねて、角Aから斜辺を通って高さへ向かう筆記体のsが描かれている。直角を右下、角Aを左下に持つ直角三角形があり、底辺がb、高さがa、斜辺がcと表記されている。角Aを挟むように斜辺から底辺へ筆記体のcが重ねて描かれている。

問題2正弦・余弦の定義

次の図において、

長さ $x$ 、 $y$ を求めよ。
$sinA$ 、 $cosA$ を求めよ。
$sinB$ 、 $cosB$ を求めよ。

直角三角形が2つある。左は角Aをもつ直角三角形で、角Aと直角にはさまれた辺（角Aに隣り合う辺）の長さが3、角Aの向かい側の辺の長さが4、斜辺がxである。右は角Bをもつ直角三角形で、角Bに隣り合う辺の長さが4、角Bの向かい側の辺の長さが2、斜辺がyである。

解答を見る

三平方の定理より、 $x=\sqrt(4²+3²)=\sqrt25=5 y=\sqrt(4²+2²)=\sqrt20=2\sqrt5$
図より定義にしたがって

$cosA=3/5 sinA=4/5$
図より定義にしたがって

$cosB=4/2\sqrt5=2\sqrt5/5 sinB=2/2\sqrt5=\sqrt5/5$

三角比の値

正接と正弦および余弦をまとめて、三角比 (trigonometric ratio) という。いろいろな角度に関する三角比の値を三角比の表にまとめてある。

この表よりたとえば、 $cos40°$ の値は約 $0.766$ 、また $sinA=0.97$ のときの $A$ の大きさは約 $76°$ とわかる。

暗記1三角比の値

次の問に答えよ。

3辺の長さが $1$ 、 $2$ 、 $\sqrt3$ の直角三角形を用い、 $sin30°$ 、 $cos30°$ 、 $tan30°$ を求めよ。また、 $sin60°$ 、 $cos60°$ 、 $tan60°$ を求めよ。
3辺の長さが $1$ 、 $1$ 、 $\sqrt2$ の直角三角形を用い、 $sin45°$ 、 $cos45°$ 、 $tan45°$ を求めよ。

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1辺の長さが $2$ の正三角形を、1つの頂点から向かい合う辺へ引いた垂線で半分にすると、3辺の長さが $1$ 、 $2$ 、 $\sqrt3$ の直角三角形になる。このとき正三角形の $60°$ の角が2等分されるから、その角の大きさは $30°$ 、 $60°$ 、 $90°$ であり、 $30°$ の角と向かい合う辺の長さが $1$ である。次の直角三角形より

$sin30°=1/2 cos30°=\sqrt3/2 tan30°=1/\sqrt3=\sqrt3/3$ また、次の図のように向きを変えて

$sin60°=\sqrt3/2 cos60°=1/2 tan60°=\sqrt3/1=\sqrt3$
直角二等辺三角形の残りの2つの角は等しく、その和は $90°$ であるから、どちらも $45°$ である。次の直角三角形より

$sin45°=1/\sqrt2=\sqrt2/2 cos45°=1/\sqrt2=\sqrt2/2 tan45°=1/1=1$

問題3三角比どうしの関係

$∠C=90°$ である直角三角形 $ABC$ について、次の問に答えよ。
1. $sinA=2/3$ であったとする。斜辺の長さが $c=3$ であるとき、他の2辺の長さを求めよ。
2. a の三角形を利用して、 $cosA$ 、 $tanA$ の値を求めよ。
上の1 のやり方をまねて、次の問に答えよ。ただし、 $0°<A<90°$ である。
1. $sinA=3/5$ のとき、 $cosA$ 、 $tanA$ の値を求めよ。
2. $cosA=1/3$ のとき、 $sinA$ 、 $tanA$ の値を求めよ。
3. $tanA=7$ のとき、 $cosA$ 、 $sinA$ の値を求めよ。

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1. 直角三角形 $ABC$ を図のように考える。
  
  $sinA$ の値は $a/c$ に等しく、 $c=3$ より $a=2$ 。このとき、三平方の定理より $2²+b²=3²$ であるから $b=\sqrt(3²-2²)=\sqrt5$ である。よって、直角三角形 $ABC$ の他の2辺の長さは、 $a=2$ 、 $b=\sqrt5$ である。
2. a で求めた値を書き込めば図のようになる。
  
  これに $cos$ 、 $tan$ の定義を用いれば $cosA=\sqrt5/3 tanA=2/\sqrt5=2\sqrt5/5$ である。
1. $sinA=3/5$ となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。
このとき、底辺の長さを $x$ とすると、三平方の定理より $x²+3²=5²$ であるから $x=\sqrt(5²-3²)=4$ よって、 $cosA=4/5$ 、 $tanA=3/4$ となる。 2. $cosA=1/3$ となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。

このとき、対辺の長さを $y$ とすると、三平方の定理より $1²+y²=3²$ であるから $y=\sqrt(3²-1²)=2\sqrt2$ よって、次のように求められる。 $sinA=2\sqrt2/3 tanA=2\sqrt2/1=2\sqrt2$ 3. $tanA=7$ となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。

このとき、斜辺の長さを $z$ とすると、三平方の定理より $1²+7²=z²$ であるから $z=\sqrt(1²+7²)=5\sqrt2$ よって、次のように求められる。 $cosA=1/5\sqrt2=\sqrt2/10 sinA=7/5\sqrt2=7\sqrt2/10$

三角比の相互関係

$sinA$ 、 $cosA$ 、 $tanA$ の間にはどのような関係があるか

三角比どうしの関係の例題でみたように、同じ角度に対する三角比の値は、互いにばらばらなものではなく、ある関係によって結ばれている。

以下では、この三角比の間に成り立つ関係を、一般的に導いてみよう。

図の直角三角形において $a=csinA , b=ccosA$ であるから、 $tanA$ は $tanA=a/b=csinA/ccosA=sinA/cosA$ と表すことができる。つまり $tanA=sinA/cosA ①$ が成り立つ。また、三平方の定理より $a²+b²=c²$ であるから、これに $a=csinA$ と $b=ccosA$ を代入して $(csinA)²+(ccosA)²=c² \Leftrightarrow c²(sinA)²+c²(cosA)²=c² \Leftrightarrow (sinA)²+(cosA)²=1$ が成り立つ。普通 $(sinA)²$ 、 $(cosA)²$ 、 $(tanA)²$ などは、それぞれ $sin²A$ 、 $cos²A$ 、 $tan²A$ と書く。

つまり $sin²A+cos²A=1 ②$ が成り立つ。

暗記2 $tanA$ と他の三角比との関係

$sin²A+cos²A=1$ という関係から、次の式を導け。

$1+1tan²A=1sin²A$
$tan²A+1=1cos²A$

解答を見る

$sin²A+cos²A=1$ の両辺を $sin²A$ で割ると

$①$ より、 $cosA/sinA=1/tanA$

$1+cos²Asin²A=1sin²A \Leftrightarrow1+1tan²A=1sin²A$
$sin²A+cos²A=1$ の両辺を $cos²A$ で割ると

$①$ より、 $sinA/cosA=tanA$

$sin²Acos²A+1=1cos²A \Leftrightarrowtan²A+1=1cos²A$

定理3三角比の相互関係

図の直角三角形において

$sinA$ 、 $cosA$ 、 $tanA$ の関係 $tanA=sinA/cosA$
$sinA$ と $cosA$ の関係 $sin²A+cos²A=1$
$tanA$ と $sinA$ の関係 $1+1tan²A=1sin²A$
$cosA$ と $tanA$ の関係 $tan²A+1=1cos²A$

が成り立つ。

角Cが直角である直角三角形ABCがあり、右上が頂点B、左下が頂点Aである。頂点Aの角の内側には、角Aを示す弧と記号Aが書き込まれている。上にtan A、左下にsin A、右下にcos Aが配置されている。各文字の間はii)、iii)、iv)の両矢印で結ばれており、中央に向かう破線にはi)が付されている。

三角比どうしの関係の例題を、今度はこの関係を使って解いてみよう。

問題4三角比の相互関係の利用

三角比の相互関係を使って、次の問いに答えよ。ただし、 $0°<A<90°$ である。

$sinA=3/5$ のとき、 $cosA$ 、 $tanA$ の値を求めよ。
$cosA=1/3$ のとき、 $sinA$ 、 $tanA$ の値を求めよ。
$tanA=7$ のとき、 $cosA$ 、 $sinA$ の値を求めよ。

解答を見る

$sin²A+cos²A=1$ より

三角比の相互関係参照

$cos²A=1-sin²A =1-(3/5)²=16/25$ $cosA>0$ なので、 $cosA=\sqrt(16/25)=4/5$ である。

また、 $tanA=sinA/cosA$ より

三角比の相互関係参照

$tanA=(3/5)/(4/5)=3/4$

有理数どうしの比の値参照
$sin²A+cos²A=1$ より

三角比の相互関係参照

$sin²A=1-cos²A =1-(1/3)²=8/9$ $sinA>0$ なので、 $sinA=\sqrt(8/9)=2\sqrt2/3$ である。

また、 $tanA=sinA/cosA$ より

三角比の相互関係参照

$tanA=(2\sqrt2/3)/(1/3)=2\sqrt2$

有理数どうしの比の値参照
$tan²A+1=1cos²A$ より

三角比の相互関係参照

$cos²A=11+tan²A =1/(1+7²)=1/50$ $cosA>0$ なので、 $cosA=\sqrt(1/50)=1/5\sqrt2=\sqrt2/10$ である。

また、 $tanA=sinA/cosA$ より

三角比の相互関係参照

$7=sinA/(\sqrt2/10) ∴sinA=7\times\sqrt2/10=7\sqrt2/10$

$90°-A$ の三角比

図の直角三角形において $B=90°-A$ であるから、以下のように表すことができる。 $sin(90°-A)=sinB=b/c=cosA cos(90°-A)=cosB=a/c=sinA tan(90°-A)=tanB=b/a=1/tanA$

直角三角形ABCで、∠Cが直角、辺BCがa、辺ACがb、辺ABがcである。角Aと角Bが示されており、頂点Bの右上には視点を表す目のイラストが描かれている。

定理4 $90°-A$ の三角比

三角比について $sin(90°-A)=cosA cos(90°-A)=sinA tan(90°-A)=1/tanA$ が成り立つ。

直角が∠Cである直角三角形ABCで、左下の角の大きさがA、右上の角が90°-Aと表されている。頂点Bの近くには、角Bからの視線を表す目のマークが描かれている。

これより、 $45°<A<90°$ の三角比は、 $0°<A<45°$ の三角比になおすことができる。

次の例題で確かめてみよう。

問題5 $90°-A$ の三角比の利用

次の三角比を $45°$ 以下の角の三角比で表せ。

$sin80°$
$cos46°$
$tan82°$

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$sin80°=sin(90°-10°)=cos10°$ 2.

$cos46°=cos(90°-44°)=sin44°$ 3.

$tan82°=tan(90°-8°)=1/tan8°$

三角比の利用

三角比から辺の長さを求める

次の図の三角形において、 $tanA=a/b$ であるが、この式の両辺に $b$ を掛けて $btanA=a$ という式を得る。 $sin$ 、 $cos$ についても同じようにして $csinA=a, ccosA=b$ となる。これらの式は、三角比から辺の長さを求めるときに用いられる。

左下の角がA、右下の角が直角である直角三角形が示されている。斜辺の長さがc、底辺の長さがb、高さの長さがaとそれぞれ表されている。

定理5三角比から辺の長さを求める

次の図の直角三角形において $a=csinA , b=ccosA , a=btanA$ が成り立つ。

左下の角がA、右下の角が直角である直角三角形がある。斜辺の長さがc、底辺の長さがb、右側の垂直な辺の長さがaと示されている。

問題6三角比と辺の長さ

次の図形について、次の問いに答えよ。ただし、 $∠CAD=A$ 、 $∠ACB=B$ とする。

$AD=6$ のとき、長さが $6sinA$ 、 $6cosAsinB$ に等しい線分を、それぞれ答えよ。
$AC=5$ のとき、 $CD$ 、 $AB$ 、 $AD$ の長さを、 $A$ 、 $B$ で表せ。

線分ACを共有する2つの直角三角形ABCとACDがあり、∠Bと∠ACDが直角である。また、∠ACBの大きさがB、∠CADの大きさがAと示されている。

解答を見る

$6sinA=CD$ 、 $6cosAsinB=ACsinB=AB$
$CD=5tanA$ 、 $AB=5sinB$ また、 $ADcosA=5$ より、 $AD=5/cosA$

問題7三角比の応用

三角比の表を使って、以下の問に答えよ。ただし、小数第2位を四捨五入して答えなさい。なお、三角比の表より $tan 42°≒0.9004$ 、 $sin 50°≒0.7660$ である。

目の高さが1.5mにある人が、木から5.0m離れた地点に立って木のてっぺんを見上げた。

すると、水平な地面と視線のなす角

（この角度のことを、仰角（ぎょうかく）という。）が $42°$ であった。この木の高さはおよそ何mか。（図参照）
凧たこ揚あげをしていたら、水平な地面に対し $50°$ の角度で長さ50.0mのひもが伸びきった。この凧は地面からおよそ何mの高さにあるか。

ただし、ひもを持つ手は1.0mの高さにあり、糸が一直線に伸びているとする。

地面から1.5mの高さにある目の位置と、そこから5.0m離れて立つ木が描かれている。目の位置から木の先端を見上げる視線と水平線のなす角が42°と示されている。

解答を見る

図のように $O$ 、 $T$ 、 $H$ 、 $A$ をとると、木の高さは $TA$ の長さになる。

$△OTH$ に注目して

三角比の表より $tan 42°≒0.9004$

$TH=OH\timestan 42° ≒5.0 m \times 0.9004 ≒4.5 m$ よって、木の高さはおよそ $4.5+1.5= 6.0m$
図のように $O$ 、 $T$ 、 $H$ 、 $A$ をとると、たこの高さは $TA$ の長さになる。

$△OTH$ に注目して

三角比の表より $sin 50°≒0.7660$

$TH=OT\timessin 50° ≒50.0 m\times0.7660 =38.3 m$ よって、たこの高さはおよそ $38.3+1.0=39.3m$

最終更新: 2026-08-13

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質問の内容

数学I 第5章 三角比 — 鋭角の三角比

正接（）（tan）

三角形の表記に関する注意

直角三角形の表記に関する注意

川を渡らずに川幅を知る方法

正接の定義

定義1正接の定義

問題1正接の定義

正弦（）（sin）と余弦（）（cos）

正弦と余弦の定義

定義2正弦・余弦の定義

問題2正弦・余弦の定義

三角比の値

三角比の値

暗記1三角比の値

問題3三角比どうしの関係

三角比の相互関係

sinA、cosA、tanAの間にはどのような関係があるか

暗記2tanA と他の三角比との関係

定理3三角比の相互関係

問題4三角比の相互関係の利用

90°-Aの三角比

定理4 90°-A の三角比

問題5 90°-A の三角比の利用

三角比の利用

三角比から辺の長さを求める

定理5三角比から辺の長さを求める

問題6三角比と辺の長さ

問題7三角比の応用

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数学I 第5章三角比 — 鋭角の三角比

正接 $（）（tan）$

正弦 $（）（sin）$ と余弦 $（）（cos）$

$sinA$ 、 $cosA$ 、 $tanA$ の間にはどのような関係があるか

暗記2 $tanA$ と他の三角比との関係

$90°-A$ の三角比

定理4 $90°-A$ の三角比

問題5 $90°-A$ の三角比の利用