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数学I　三角比FTEXT　ftext.org

鋭角の三角比　練習問題全9問

鋭角の三角比の練習問題（全9問・解答つき）

数学I「鋭角の三角比」（三角比）の練習問題を9問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。

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問題1正接の定義

次の図において、、 をそれぞれ求めよ。

左には、直角を挟む2辺の長さが3と4で、長さ3の辺と斜辺の間に角Aがある直角三角形。右には、直角を挟む2辺の長さが4と2で、長さ4の辺と斜辺の間に角Bがある直角三角形。
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図より

左側には底辺の長さが3、高さが4で1つの角がAである直角三角形が、右側には底辺の長さが4、高さが2で1つの角がBである直角三角形が並んでいる。

問題2正弦・余弦の定義

次の図において、

  1. 長さ 、 を求めよ。
  2. 、 を求めよ。
  3. 、 を求めよ。
直角三角形が2つある。左は角Aをもつ直角三角形で、角Aと直角にはさまれた辺（角Aに隣り合う辺）の長さが3、角Aの向かい側の辺の長さが4、斜辺がxである。右は角Bをもつ直角三角形で、角Bに隣り合う辺の長さが4、角Bの向かい側の辺の長さが2、斜辺がyである。
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  1. 三平方の定理より、

  2. 図より定義にしたがって

    右下に直角がある直角三角形があり、左下の角が角Aと指定されている。各辺の長さは、底辺が3、高さにあたる縦の辺が4、斜辺が5である。

  3. 図より定義にしたがって

    左下の角がB、右下の角が直角である直角三角形。水平な底辺の長さが4、右側の高さが2、斜辺の長さが2√5とそれぞれ記されている。

問題3三角比どうしの関係

  1. である直角三角形 について、次の問に答えよ。

    1. であったとする。斜辺の長さが であるとき、他の2辺の長さを求めよ。
    2. a の三角形を利用して、、 の値を求めよ。

  2. 上の1 のやり方をまねて、次の問に答えよ。ただし、 である。

    1. のとき、、 の値を求めよ。
    2. のとき、、 の値を求めよ。
    3. のとき、、 の値を求めよ。
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    1. 直角三角形 を図のように考える。

      角Aを左下、直角を右下とする直角三角形があり、斜辺が3、右側の辺がa、底辺がbと示されている。三角形の内部には、角Aから斜辺、右側の辺へとたどる筆記体のsが描かれている。

      の値は に等しく、 より 。このとき、三平方の定理より であるから である。よって、直角三角形 の他の2辺の長さは、 、 である。

    2. a で求めた値を書き込めば図のようになる。

      角Aを左下、直角を右下とする直角三角形。斜辺の長さが3、右側の縦の辺の長さが2、底辺の長さが√5と各辺に書き込まれている。

      これに 、 の定義を用いれば である。

    1. となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。

    左下の角が角A、右下の角が直角である直角三角形。斜辺の長さが5、高さの長さが3、底辺の長さがxと、3つの辺の長さが示されている。

    このとき、底辺の長さを とすると、三平方の定理より であるから よって、 、 となる。 2. となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。

    左下の角がA、右下の角が直角である直角三角形。底辺の長さが1、斜辺の長さが3と与えられており、対辺の長さがyと表記されている。

    このとき、対辺の長さを とすると、三平方の定理より であるから よって、次のように求められる。 3. となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。

    底辺の長さが1、高さが7の直角三角形があり、右下の角が直角になっている。左下の角に記号Aがつけられ、斜辺の長さがzと示されている。

    このとき、斜辺の長さを とすると、三平方の定理より であるから よって、次のように求められる。

問題4三角比の相互関係の利用

三角比の相互関係を使って、次の問いに答えよ。ただし、 である。

  1. のとき、、 の値を求めよ。
  2. のとき、、 の値を求めよ。
  3. のとき、、 の値を求めよ。
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  1. より

    なので、 である。

    また、 より

  2. より

    なので、 である。

    また、 より

  3. より

    なので、 である。

    また、 より

問題5 の三角比の利用

次の三角比を 以下の角の三角比で表せ。

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2.

3.

問題6三角比と辺の長さ

次の図形について、次の問いに答えよ。ただし、 、 とする。

  1. のとき、長さが 、 に等しい線分を、それぞれ答えよ。
  2. のとき、、、 の長さを、、 で表せ。
線分ACを共有する2つの直角三角形ABCとACDがあり、∠Bと∠ACDが直角である。また、∠ACBの大きさがB、∠CADの大きさがAと示されている。
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  1. 、
  2. 、 また、 より、

問題7三角比の応用

三角比の表を使って、以下の問に答えよ。ただし、小数第2位を四捨五入して答えよ。なお、三角比の表より 、 である。

  1. 目の高さが1.5mにある人が、木から5.0m離れた地点に立って木のてっぺんを見上げた。

    すると、水平な地面と視線のなす角

  2. 凧たこ揚あげをしていたら、水平な地面に対し の角度で長さ50.0mのひもが伸びきった。この凧は地面からおよそ何mの高さにあるか。

    ただし、ひもを持つ手は1.0mの高さにあり、糸が一直線に伸びているとする。

地面から1.5mの高さにある目の位置と、そこから5.0m離れて立つ木が描かれている。目の位置から木の先端を見上げる視線と水平線のなす角が42°と示されている。
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  1. 水平な地面上の点Aから垂直に立つ線分TAと目の位置Oに対し、∠Hが直角の直角三角形OTHがある。∠TOH=42°、OH=5.0m、Oの高さは1.5mと示されている。

    図のように 、、、 をとると、木の高さは の長さになる。

    に注目して

    よって、木の高さはおよそ

  2. 点Oから点Tへ長さ50.0mの線分が斜めに伸び、水平線OHとなす角は50°である。Tから地面の点Aへ下ろした垂線とOHの交点Hで∠OHTは直角をなし、Oの地面からの高さは1.0mである。

    図のように 、、、 をとると、たこの高さは の長さになる。

    に注目して

    よって、たこの高さはおよそ

覚えておきたい事項（2問）

暗記1三角比の値

次の問に答えよ。

  1. 3辺の長さが 、、 の直角三角形を用い、、、 を求めよ。また、、、 を求めよ。
  2. 3辺の長さが 、、 の直角三角形を用い、、、 を求めよ。
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  1. 1辺の長さが の正三角形を、1つの頂点から向かい合う辺へ引いた垂線で半分にすると、3辺の長さが 、、 の直角三角形になる。このとき正三角形の の角が2等分されるから、その角の大きさは 、、 であり、 の角と向かい合う辺の長さが である。次の直角三角形より

    左下の角が30°、右下の角が直角である直角三角形がある。底辺の長さが√3、高さが1、斜辺の長さが2とそれぞれ示されている。

    また、次の図のように向きを変えて

    左下の角が60°、右下の角が直角である直角三角形。底辺の長さが1、高さとなる右側の辺の長さが√3、斜辺の長さが2と示されている。

  2. 直角二等辺三角形の残りの2つの角は等しく、その和は であるから、どちらも である。次の直角三角形より

    左下の角の大きさが45°、右下の角が直角である直角三角形がある。底辺の長さが1、高さが1、斜辺の長さが√2と表されている。

暗記2 と他の三角比との関係

という関係から、次の式を導け。

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  1. の両辺を で割ると

  2. の両辺を で割ると