鋭角の三角比の練習問題（全9問・解答つき）

図より tanA=4/3 tanB=2/4=1/2

1. 三平方の定理より、 x=√(4²+3²)=√25=5 y=√(4²+2²)=√20=2√5

2. 図より定義にしたがって

   

   cosA=3/5 sinA=4/5

3. 図より定義にしたがって

   

   cosB=4/2√5=2√5/5 sinB=2/2√5=√5/5

1. 1. 直角三角形 ABC を図のように考える。

      

      sinA の値は a/c に等しく、 c=3 より a=2。このとき、三平方の定理より 2²+b²=3² であるから b=√(3²-2²)=√5 である。よって、直角三角形 ABC の他の2辺の長さは、 a=2、 b=√5 である。

   2. a で求めた値を書き込めば図のようになる。

      

      これに cos、tan の定義を用いれば cosA=√5/3 tanA=2/√5=2√5/5 である。

2. 1. sinA=3/5 となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。

   

   このとき、底辺の長さを x とすると、三平方の定理より x²+3²=5² であるから x=√(5²-3²)=4 よって、 cosA=4/5、 tanA=3/4 となる。 2. cosA=1/3 となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。

   

   このとき、対辺の長さを y とすると、三平方の定理より 1²+y²=3² であるから y=√(3²-1²)=2√2 よって、次のように求められる。 sinA=2√2/3 tanA=2√2/1=2√2 3. tanA=7 となる直角三角形の1つとして、次の図が考えられる。

   

   このとき、斜辺の長さを z とすると、三平方の定理より 1²+7²=z² であるから z=√(1²+7²)=5√2 よって、次のように求められる。 cosA=1/5√2=√2/10 sinA=7/5√2=7√2/10

1. sin²A+cos²A=1 より

   三角比の相互関係参照

   cos²A=1-sin²A =1-(3/5)²=16/25 cosA>0 なので、 cosA=√(16/25)=4/5 である。

   また、 tanA=sinA/cosA より

   三角比の相互関係参照

   tanA=(3/5)/(4/5)=3/4

   有理数どうしの比の値参照

2. sin²A+cos²A=1 より

   三角比の相互関係参照

   sin²A=1-cos²A =1-(1/3)²=8/9 sinA>0 なので、 sinA=√(8/9)=2√2/3 である。

   また、 tanA=sinA/cosA より

   三角比の相互関係参照

   tanA=(2√2/3)/(1/3)=2√2

   有理数どうしの比の値参照

3. tan²A+1=1cos²A より

   三角比の相互関係参照

   cos²A=11+tan²A =1/(1+7²)=1/50 cosA>0 なので、 cosA=√(1/50)=1/5√2=√2/10 である。

   また、 tanA=sinA/cosA より

   三角比の相互関係参照

   7=sinA/(√2/10) ∴sinA=7×√2/10=7√2/10

1. 90°-A の三角比

   sin80°=sin(90°-10°)=cos10°

2. 90°-A の三角比

   cos46°=cos(90°-44°)=sin44°

3. 90°-A の三角比

   tan82°=tan(90°-8°)=1/tan8°

1. 6sinA=CD、 6cosAsinB=ACsinB=AB
2. CD=5tanA、 AB=5sinB また、 ADcosA=5 より、 AD=5/cosA

1. 

   図のように O、T、H、A をとると、木の高さは TA の長さになる。

   △OTH に注目して

   三角比の表より tan 42°≒0.9004

   TH=OH×tan 42° ≒5.0 m × 0.9004 ≒4.5 m よって、木の高さはおよそ 4.5+1.5= 6.0m

2. 

   図のように O、T、H、A をとると、たこの高さは TA の長さになる。

   △OTH に注目して

   三角比の表より sin 50°≒0.7660

   TH=OT×sin 50° ≒50.0 m×0.7660 =38.3 m よって、たこの高さはおよそ 38.3+1.0=39.3m