数学I 第3章集合の基礎 — 集合と集合の関係

先程学んだように、集合とはものの集まりであった。2つの集合があるとき、この2つの集合が全く別の集まりを表すこともあれば、要素を共有することもある。ここでは、2つの集合の間の関係について考えてみよう。

部分集合

部分集合について

2つの集合 $A$ 、 $B$ について、 $A$ からどのような要素 $x$ をとってきても、その要素 $x$ が $B$ の要素であるとき、つまり $ならば x\inAならばx\inB$ が成り立つとき、 $A$ は $B$ の部分集合 (subset) であるといい $A\subseteqqB$ と表す。このとき、 $A$ と $B$ の関係は図のようになり、 $B$ は $A$ を含む (contain) という。

集合Bを表す大きな円の内部に、集合Aを表すひとまわり小さな円が完全に含まれており、集合Aの内部には要素xを示す黒点が描かれている。また、この定義から集合 $A$ は自分自身の部分集合、すなわち $A\subseteqqA$ がいえる。

なお、要素をもたない集合である空集合 $\emptyset$ は、どのような集合に対しても部分集合であると約束する。つまり、任意の集合 $A$ に対し、 $\emptyset\subseteqqA$ とする。

《例》 $X={1,2,3}$ 、 $Y={1,2,3}$ 、 $Z={1,2}$ のとき $X\subseteqqY , Z\subseteqqY , \emptyset\subseteqqZ$

集合の相等

2つの集合 $A$ 、 $B$ において、 $A\subseteqqB$ かつ $B\subseteqqA$ のときは、 $A$ と $B$ の要素が完全に一致している。

このとき、 $A$ と $B$ は等しい (equal) といい $A=B$ と表す。また、等しくないときは $A\neqB$ と表す。

1つの円の上部が途切れており、そこに A=B という文字が配置されている。集合Aと集合Bが等しいことを、共通の1つの円で表している。《例》 $X={1,2,3}$ 、 $Y={1,2,3}$ 、 $Z={2,3,4}$ のとき $X=Y , Y\neqZ$

真部分集合

2つの集合 $A$ 、 $B$ において、 $A\subseteqqB$ であるが $A\neqB$ のとき、 $A$ は $B$ の真部分集合 (proper subset) であるといい $A\subsetB$ と表す。また、真部分集合でないときは $A\subsetB$ と表す。

《例》 $X={1,2,3}$ 、 $Y={1,2,3}$ 、 $Z={1,2}$ のとき $X\subsetY , Z\subsetY$

共通部分と和集合

共通部分

2つの集合 $A$ 、 $B$ について、 $A$ と $B$ の両方に属する要素全体の集合を、 $A$ と $B$ の共通部分 (common part) といい、 $A\capB$ と表す。

つまり $かつ A\capB={x|x\inAかつx\inB}$ である。 $A$ と $B$ に共通の要素がない場合には $A\capB=\emptyset$ となる。特に、 $A\capA=A$ である。

一部重なり合う2つの円 A と B があり、互いに重なる中央の部分に斜線が引かれている。その斜線部分の上部に A∩B と記されている。《例》 $X={1,2,3,4,5}$ 、 $Y={1,3,5,6}$ 、 $Z={2,4}$ のとき $X\capY={1,3,5} , Y\capZ=\emptyset$

和集合

2つの集合 $A$ 、 $B$ について、 $A$ と $B$ の少なくとも一方に属する要素全体の集合を、 $A$ と $B$ の和集合 (sum of sets) といい、 $A\cupB$ と表す。

つまり $または A\cupB={x|x\inAまたはx\inB}$ である。特に、 $A\cupA=A$ である。

一部が重なる集合A、Bを表す2つの円があり、両方の内部を合わせた全体に斜線が引かれています。その上部には A∪B と記されています。《例》 $X={1,2,3,4,5}$ 、 $Y={1,3,5,6}$ のとき $X\cupY={1,2,3,4,5,6}$

暗記1集合の性質～その1～

次の等式が成り立つことを、図をつかって確認せよ。

$(A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)$

$(A\capB)\capC=A\cap(B\capC)$
$A\cup(B\capC)=(A\cupB)\cap(A\cupC)$

$A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC)$

3つの集合A、B、Cを表す円が、互いに一部ずつ重なり合って配置されている。上が集合A、左下が集合B、右下が集合Cを表している。ここでは、3つの円が分ける7つの部分について、 $A$ だけに属する部分を $a$ 、 $B$ だけに属する部分を $b$ 、 $C$ だけに属する部分を $c$ 、 $B$ と $C$ だけに属する部分を $p$ 、 $A$ と $B$ だけに属する部分を $q$ 、 $A$ と $C$ だけに属する部分を $r$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ のすべてに属する部分を $s$ と呼ぶことにする。

解答を見る

$(A\cupB)\cupC$ と $A\cup(B\cupC)$ は図において、ともに $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 、 $s$ のすべてを表し等しい。

また、 $(A\capB)\capC$ と $A\cap(B\capC)$ は図において、ともに $s$ の部分を表し等しい。
$A\cup(B\capC)$ と $(A\cupB)\cap(A\cupC)$ は図において、ともに $a$ 、 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 、 $s$ の部分を表し等しい。

また、 $A\cap(B\cupC)$ と $(A\capB)\cup(A\capC)$ は図において、ともに $q$ 、 $r$ 、 $s$ の部分を表し等しい。

定理1集合の性質～その1～

集合 $A$ 、 $B$ 、 $C$ に関して次のことが成り立つ。

i. $(A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)$ 、 $(A\capB)\capC=A\cap(B\capC)$
ii. $A\cup(B\capC)=(A\cupB)\cap(A\cupC)$ 、 $A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC)$

i は $\cup$ どうしや $\cap$ どうしの演算では、どこにかっこを付けても結果が変わらないことを意味しており、これを結合法則 (associative law) という。そのため、かっこを省略してそれぞれ $A\cupB\cupC$ 、 $A\capB\capC$ と表すことがある。また、ii の後半 $A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC)$ は、式の展開法則 $a\times(b+c)=a\timesb+a\timesc$ と似ていることに注意すると覚えやすい。ただし、ii の前半 $A\cup(B\capC)=(A\cupB)\cap(A\cupC)$ を同じように読みかえた $a+b\timesc=(a+b)\times(a+c)$ は数では成り立たず、たとえば $1+2\times3=7$ に対して $(1+2)\times(1+3)=12$ となる。集合ではこちらも成り立つところが、数の計算との違いである。

補集合

共通部分と補集合

1つの集合 $U$ を定めておいて、 $U$ の要素や、 $U$ の部分集合だけを考えるとき、 $U$ を全体集合 (universal set) という。全体集合 $U$ の部分集合 $A$ に対して、 $U$ の要素ではあるが $A$ に属さない要素全体の集合を $A$ の補集合 (complement) といい、 $A$ で表す。

つまり $かつ A={x|x\inUかつx\inA}$ である。

全体集合Uを表す長方形の中に、集合Aを表す円が描かれている。円の外側にあたる長方形の領域全体に斜線が塗られており、その斜線部分にAの上に横線を引いた記号が示されている。《例》 $X={1,2,3,4,5}$ 、 $Y={1,3,5}$ のとき、全体集合 $X$ に関する $Y$ の補集合 $Y$ は $Y={2,4}$

暗記2集合の性質～その2～

次の等式が成り立つことを、図をつかって確認せよ。

$(A)=A$
$A\cupA=U$ 、 $A\capA=\emptyset$
$A\cupB=A\capB$ 、 $A\capB=A\cupB$

全体集合Uを表す長方形の中に、集合Aを表す円と集合Bを表す円が、一部を重ねて描かれている。色の塗りつぶしや要素の記載はない。

解答を見る

まず、 $A$ の補集合 $A$ は

であるから、 $A$ の補集合の補集合 $(A)$ は

であり、これは $A$ と一致する。
$A$ と $A$ はそれぞれ

であるから、 $A$ と $A$ の和集合 $A\cupA$ と、共通部分 $A\capA$ はそれぞれ

であり、これらは $U$ 、 $\emptyset$ と一致する。
まず、 $A\cupB$ は

であるから、その補集合 $A\cupB$ は

である。

また、 $A$ 、 $B$ はそれぞれ

であるから、これらの共通部分 $A\capB$ は

であり、これは先程の $A\cupB$ に一致する。

最後に $A\capB=A\cupB$ を確認する。まず、 $A\capB$ は

であるから、その補集合 $A\capB$ は

である。

また、 $A$ 、 $B$ はそれぞれ

であるから、この2つの斜線を重ね合わせると、2つの円が重なる部分だけが斜線のつかない部分として残り、これらの和集合 $A\cupB$ は

であり、これは先程の $A\capB$ に一致する。

定理2集合の性質～その2～

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$ 、 $B$ に関して次のことが成り立つ。

iii. $(A)=A$
iv. $A\cupA=U$ 、 $A\capA=\emptyset$
v. $A\cupB=A\capB$ 、 $A\capB=A\cupB$

特に、このvの性質は有名で、ド・モルガンの法則 (law of de Morgan) と呼ばれている。

なお、iii の左辺にある集合 $A$ の補集合の補集合 $(A)$ は、簡単に $A$ と書くことがある。

暗記33集合の場合のド・モルガンの法則

次の等式を集合の性質～その1～、集合の性質～その2～ を用いて証明せよ。

$A\cupB\cupC=A\capB\capC$
$A\capB\capC=A\cupB\cupC$

解答を見る

まず $A\cupB$ を1かたまりとして考えていく。 $A\cupB\cupC =(A\cupB)\cupC =A\cupB\capC =A\capB\capC$ 2行目では $\cup$ の結合法則を、3行目では $A\cupB$ と $C$ にド・モルガンの法則を、4行目では $A$ と $B$ にド・モルガンの法則を用い、さらに $\cap$ の結合法則でかっこを外している。
まず $A\capB$ を1かたまりとして考えていく。 $A\capB\capC =(A\capB)\capC =A\capB\cupC =A\cupB\cupC$ 2行目では $\cap$ の結合法則を、3行目では $A\capB$ と $C$ にド・モルガンの法則を、4行目では $A$ と $B$ にド・モルガンの法則を用い、さらに $\cup$ の結合法則でかっこを外している。

集合の直積

直積とは何か

2つの集合 $A$ 、 $B$ について、 $A$ の要素 $a$ と $B$ の要素 $b$ の、順序を考えた組 $(a, b)$ 全体がつくる集合を、 $A$ と $B$ の直積 (direct product) といい、 $A\timesB$ で表す。つまり $かつ A\timesB={(a,b)|a\inAかつb\inB}$ である。

《例》 $X={1,2}$ 、 $Y={1,3,5}$ のとき $X\timesY={(1,1), (1,3), (1,5), (2,1), (2,3), (2,5)}$

最終更新: 2026-08-12

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質問の内容

数学I 第3章 集合の基礎 — 集合と集合の関係

部分集合

部分集合について

集合の相等

真部分集合

共通部分と和集合

共通部分

和集合

暗記1集合の性質～その1～

定理1集合の性質～その1～

補集合

共通部分と補集合

暗記2集合の性質～その2～

定理2集合の性質～その2～

暗記33集合の場合のド・モルガンの法則

集合の直積

直積とは何か

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