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集合と集合の関係の練習問題（全3問・解答つき）

数学I「集合と集合の関係」（集合の基礎）の練習問題を3問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。

印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます

覚えておきたい事項（3問）

暗記1集合の性質～その1～

次の等式が成り立つことを、図をつかって確認せよ。

3つの集合A、B、Cを表す円が、互いに一部ずつ重なり合って配置されている。上が集合A、左下が集合B、右下が集合Cを表している。
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  1. と は図において、ともに 、、、、、、 のすべてを表し等しい。

    また、 と は図において、ともに の部分を表し等しい。

  2. と は図において、ともに 、、、、 の部分を表し等しい。

    また、 と は図において、ともに 、、 の部分を表し等しい。

暗記2集合の性質～その2～

次の等式が成り立つことを、図をつかって確認せよ。

  2. 、
  3. 、
全体集合Uを表す長方形の中に、集合Aを表す円と集合Bを表す円が、一部を重ねて描かれている。色の塗りつぶしや要素の記載はない。
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  1. まず、 の補集合 は

    全体集合Uを表す長方形の中に、交わりのある2つの円AとBが描かれている。長方形の中で、円Aの内側を除いた部分全体に斜線が引かれている。

    であるから、 の補集合の補集合 は

    全体集合 U を表す長方形の中に集合 A と B を表す2つの円があり、一部が重なっている。そのうち集合 A の内部全体に斜線が引かれている。

    であり、これは と一致する。

  2. と はそれぞれ

    全体集合 U を表す枠の中に、互いに重なる集合 A と B の円がある。左では A の内側全体に斜線が引かれ、右では A の外側全体に斜線が引かれている。

    であるから、 と の和集合 と、共通部分 はそれぞれ

    全体集合Uを示す長方形の中に集合AとBの円が描かれたものが左右に並んでいる。左は長方形の内部全体に斜線が引かれており、右は斜線がどこにもない。

    であり、これらは 、 と一致する。

  3. まず、 は

    全体集合Uを表す長方形の中に、一部が重なる2つの集合A、Bを表す円がある。集合Aと集合Bの和集合にあたる部分全体に斜線が引かれている。

    であるから、その補集合 は

    全体集合Uの中に、互いに重なる2つの集合A, Bの円が描かれている。円Aと円Bのどちらの内部にも含まれないUの領域に、斜線が引かれている。

    である。

    また、、 はそれぞれ

    全体集合Uの中で一部が重なる集合AとBを表した2つの図が左右に並んでいる。左は円Aの外側全体に斜線が引かれ、右は円Bの外側全体に斜線が引かれている。

    であるから、これらの共通部分 は

    全体集合 U を表す長方形の中に、一部が重なる集合 A と集合 B の円があり、その2つの円のどちらにも含まれない外側の部分に斜線が引かれている。

    であり、これは先程の に一致する。

    最後に を確認する。まず、 は

    全体集合Uを表す長方形の中に、集合Aを表す円と集合Bを表す円が一部を重ねて描かれている。2つの円が重なる共通の部分に斜線が引かれている。

    であるから、その補集合 は

    全体集合Uを表す長方形の中に集合Aと集合Bを表す2つの円が描かれており、2つの円が重なり合う共通部分以外の領域全体に斜線が施されている。

    である。

    また、、 はそれぞれ

    全体集合Uを表す長方形の中に、互いに重なる2つの集合AとBが円で描かれている。左側は円Aの外側全体に、右側は円Bの外側全体に斜線が引かれている。

    であるから、これらの和集合 は

    全体集合Uを表す長方形の中に2つの集合A、Bの円があり、左側は円Aの外側全体に斜線が引かれ、右側は円Bの外側全体に斜線が引かれている。

    であり、これは先程の に一致する。

暗記33集合の場合のド・モルガンの法則

次の等式を集合の性質～その1～、集合の性質～その2～ を用いて証明せよ。

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  1. まず を1かたまりとして考えていく。
  2. まず を1かたまりとして考えていく。