数学I 第4章論理と集合 — 命題

命題と真・偽

“正しい”ということ“正しくない”ということ

次の4つの事柄について、“正しい”か“正しくない”かという点について考えてみよう。

日本の首都は東京である
ペンギンは魚類である
実数を2乗すると $0$ 以上になる
2つの実数 $a$ 、 $b$ に対し $ab>0$ ならば、 $a>0$ かつ $b>0$ である

まず、i に関して。日本の首都は東京であるので、疑い無く“正しい”といえる。

次に、ii に関して。ペンギンは鳥類なので、この文章は間違っている。“正しい”か“正しくない”かと聞かれたら、“正しくない”といえるだろう。

そして、iii に関して。実数は、正・負・ $0$ の3つに分類でき、正の実数の2乗は正、負の実数の2乗は正、 $0$ の2乗は $0$ であるから、いずれにしても2乗した結果は $0$ 以上となる。ゆえに、この文章は“正しい”といえる。

最後に、iv に関して。 $ab>0$ ということはいいかえるならば、 $a$ と $b$ が同じ符号 $(+, -)$ をもつということである。 $a$ と $b$ が同じ符号であるということには、 $a>0$ かつ $b>0$ という場合もあるが、 $a<0$ かつ $b<0$ という場合もあるということである。その点において、この文章は“正しい”とはいいきれないため、“正しくない”ということにする。

命題と真・偽について

式や文章で表された事柄で、“正しい”か“正しくない”かのどちらか一方に定まるものを命題（めいだい） (proposition) という。「カレーライスはおいしい」のように、“正しい”か“正しくない”かの判断が人によって異なるものや、「今何時？」のように、“正しい”か“正しくない”がそもそも決定できないものは、命題として扱わない。

命題が“正しい”とき、その命題は真（しん） (true) であるといい、命題が“正しくない”とき、その命題は偽（ぎ） (false) であるという。

数を $a,b,c,\dots$ などのアルファベットで表すように、命題もアルファベットの $p,q$ などで表す。

定理1命題と真・偽

式や文章で表された事柄で、“正しい”か“正しくない”かのどちらか一方に定まるものを命題（めいだい） (proposition) という。命題が“正しい”とき、その命題は真（しん） (true) であるといい、命題が“正しくない”とき、その命題は偽（ぎ） (false) であるという。

問題1真・偽の判断

次の命題の真偽をいえ。

$1/2+1/3=2/5$
$2¹⁶=65536$
$x²=9$ ならば $x=3$
$x=3$ ならば $x²=9$
整数 $a$ 、 $b$ の積が偶数ならば、 $a$ または $b$ は偶数である。
整数 $a$ 、 $b$ の積が奇数ならば、 $a$ と $b$ はともに奇数である。

解答を見る

$1/2+1/3=3/6+2/6=5/6$ なので、この命題は

偽

である。
計算すれば正しいとわかる。よって、この命題は

真

である。
$x²=9$ のとき、 $x=-3, 3$ である。

$x=-3, 3$ の「 $,$ 」は「または」の意味である

よって、 $x=3$ とはいいきれないので、この命題は

偽である。
$x=3$ のときは、例外なく $x²=9$ となるので、この命題は

真

である。
$a$ と $b$ の偶奇には、（偶数,偶数）、（偶数,奇数）、（奇数,偶数）、（奇数,奇数）の4つの場合があるが、 $ab$ が偶数になるのは、（偶数,偶数）、（偶数,奇数）、（奇数,偶数）の3つの場合、つまり $a$ または $b$ が偶数の場合である。よって、この命題は

「 $a$ または $b$ は偶数」には、「 $a,b$ どちらか一方が偶数」だけでなく「 $a,b$ 両方とも偶数」の場合も含まれる

真

である。
5と同様に考え、 $ab$ が奇数であるとき、 $a$ と $b$ はともに奇数である。よって、この命題は

真

である。

最終更新: 2026-08-09

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