数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 1次関数とそのグラフ

1次関数のグラフ

1次関数の定義

定義11次関数の定義

関数 $f(x)$ が $x$ の1次式で表されるとき、つまり、 $a(\neq0)$ 、 $b$ を定数として $f(x)=ax+b$ の形で表されるとき、 $f(x)$ は $x$ の1次関数 (linear function) であるという。

たとえば、以下の $x$ の関数 $f(x)$ は、すべて1次関数である。 $f(x)=x+2 f(x)=3x-1/2 f(x)=-2x+\sqrt2$

$y=ax$ のグラフ

1次関数 $y=ax+b$ において、まずは $b=0$ の場合、つまり $y=ax$ のグラフについて考えてみよう。このタイプのグラフは次のような特徴があった。

定理2 $y=ax$ のグラフの特徴

原点を通る直線である。
1. $a>0$ のとき
- $x$ が増加するとき、 $y$ も増加するため、グラフは右上がり
- $a$ が大きいほど、右上がりは急
1. $a<0$ のとき
  - $x$ が増加するとき、 $y$ は減少するため、グラフは右下がり
  - $|a|$ が大きいほど、右下がりは急

直線の（ $x$ 軸に対する）傾き具合を決める、 $a$ の値を傾き（slope） という。

a>0のときの関数 y=ax のグラフとして、原点Oを通る右上がりの直線が描かれている。破線の直線から傾きがより急な実線の直線へ向かう矢印があり、「a→大」と添えられている。 a<0のもとで、原点Oを通る右下がりの直線y=axが描かれている。緩やかな傾きの破線から急な傾きの実線へ向かう矢印があり、|a|が大きくなることが示されている。傾き $a$ は「 $x$ が $1$ 増加したときの $y$ の増加量」になっている。 $a$ が負のときは $y$ の増加量が負になり、 $y$ は減少していることになる。

$y=ax+b$ のグラフ

次に、一般の1次関数 $y=ax+b$ のグラフについて考えてみよう。

例として2つの1次関数 $y=1/2x y=1/2x+1$ の関係を考えてみよう。

y軸上の原点Oを通る破線の直線 y=1/2x と、点(0, 1)を通る実線の直線 y=1/2x+1 が描かれている。破線から実線へ「上に1だけ移動した」ことを示す矢印が付けられている。 xの値に対する 1/2 x と 1/2 x + 1 の各値を並べた対応表で、2行目の 1/2 x の値から3行目の 1/2 x + 1 の値に向けて「1を足す」という矢印が添えられている。

上の表から、 $y=1/2x+1$ のグラフは、 $y=1/2x$ のグラフを $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動した直線であるとわかる。

また、原点より $y$ 軸方向に $1$ 大きい点 $(0, 1)$ を通ることがわかる。

定理3 $y=ax+b$ のグラフ

$y=ax+b$ のグラフは、 $y=ax$ のグラフを

「y軸方向にbだけ平行移動」

した直線である。このときの $b$ の値を $y$ 切片 (y-intercept) という。

$y=a(x-p)$ のグラフ

例として2つの1次関数 $y=2x y=2(x-3)$ の関係を考えてみよう。

座標平面上に、原点Oを通る破線の直線 y=2x と、それを右に3だけ移動した点(3, 0)を通る実線の直線 y=2(x-3) が描かれ、右向きの矢印が添えられている。 xの値に対する2xと2(x-3)の値を並べた表である。2xが-4や0になるxの値に比べ、2(x-3)で同じ値をとるxの値はそれぞれ3大きいことが強調されている。

上の表から、 $y=2(x-3)$ のグラフは、 $y=2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した直線になるとわかる

また、このグラフは原点より $x$ 軸方向に $3$ 大きい点 $(3, 0)$ を通る。

定理4 $y=a(x-p)$ のグラフ

$y=a(x-p)$ のグラフは、 $y=ax$ のグラフを

「 $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動」

した直線である。このときの $p$ の値を $x$ 切片 (x-intercept) という。

$y=a(x-p)+q$ のグラフ

最後に、 $y=a(x-p)$ の右辺に $q$ を加えた $y=a(x-p)+q$ という形をした1次関数のグラフについて考えてみよう。

たとえば $y=2(x-3)+1$ のグラフについて考えてみよう。これは、 $y=2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$ 平行移動した $y=2(x-3)$ のグラフを、さらに $y$ 軸方向に $1$ 平行移動した $y=2(x-3)+1$ のグラフを表している。

座標平面上に破線 y=2x と破線 y=2(x-3)、実線 y=2(x-3)+1 が描かれている。y=2x のグラフを x 軸方向に 3、y 軸方向に 1 平行移動する過程が矢印で示されている。また、 $y=2(x-3)+1$ のグラフは、原点より $x$ 軸方向に $3$ 大きく、 $y$ 軸方向に $1$ 大きい点 $(3, 1)$ を通ることがわかる。

定理5 $y=a(x-p)+q$ のグラフ

$y=a(x-p)+q$ のグラフは、 $y=ax$ のグラフを

「 $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動し、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動」

した直線である。また、このグラフは $(p, q)$ を通る。

また、 $y=2(x-3)+1$ は、計算によって $y=2x-5$ や $y=2(x-5/2)$ とも表せるので、 $y=2x$ を $y$ 軸方向に $-5$ 平行移動したものともいえるし、 $x$ 軸方向に $5/2$ 平行移動したものともいえる。このことを、上のグラフで確認しておくこと。

「1次関数 $y=ax+b$ のグラフ」のことを

「直線 $y=ax+b$ 」

ということがある。このときの $y=ax+b$ は、直線の方程式 (equation of line) といわれる。

問題11次関数のグラフ

次の1次関数のグラフはすべて、 $y=2x$ のグラフを平行移動してできる。それぞれ、 $x$ 軸方向、 $y$ 軸方向にいくつ平行移動が行われたのか、式の形から読み取れ。

また、それぞれのグラフを座標平面上に描け。

$y=2(x+2)$
$y=2(x+3)-1$

解答を見る

$y=2{x-(-2)}$ であるので、 $y=2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-2$ 平行移動したグラフである。座標平面上に表すと右図のようになる。
$y=2{x-(-3)}-1$ であるので、 $y=2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-3$ 平行移動し、 $y$ 軸方向に $-1$ 平行移動したグラフである。座標平面上に表すと右図のようになる。

1次関数の決定

変化の割合と傾き $a$

関数 $f(x)$ において、ある $x$ の範囲における「 $x$ の増加量に対する $f(x)$ の増加量の比」を，その $x$ の範囲における変化の割合 (rateofchange) という。

$x$ 座標が， $x0$ から $x1$ に増加するときの $f(x)$ の変化の割合は $（変化の割合）（の増加量）（の増加量）（変化の割合）=（f(x)の増加量）/（xの増加量） =(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)$

右図のように、直線 $y=ax+b$ が異なる2点 $(x0, ax0+b)$ 、 $(x1, ax1+b)$ を通るとき

xy座標平面上に右上がりの直線 y=ax+b があり、直線上の2点 (x_0, ax_0+b) と (x_1, ax_1+b) が黒丸で示され、各軸の座標へ点線で結ばれている。 $変化の割合 (変化の割合) =((ax1+b)-(ax0+b))/(x1-x0) =(ax1-ax0)/(x1-x0) =a(x1-x0)/(x1-x0) =a$ となり、1次関数の変化の割合は傾きと等しいことがわかる。

定義6直線の傾き $a$

1次関数の変化の割合は、常にそのグラフの傾きに等しい。
異なる2点 $(x0, y0)$ 、 $(x1, y1)$ を通る直線の傾き $a$ は次の式で求められる。 $（の増加量）の増加量） a=(y1-y0)/(x1-x0)(=（yの増加量）/(xの増加量）)$

座標平面上に右上がりの直線 y=ax+b があり、直線上に2点 (x_0, y_0) と (x_1, y_1) がある。それぞれの点からx軸、y軸へ下ろした点線により、各座標の値 x_0, x_1, y_0, y_1 が示されている。

問題2傾き $a$ を求める

次の条件にあった1次関数の傾きを求めよ。

$x$ が $3$ 増えれば $y$ は $6$ 増える1次関数
$x$ が $3$ 増えれば $y$ は $6$ 減る1次関数
グラフが2点 $(0, 0)$ 、 $(3, 6)$ を通る1次関数
グラフが2点 $(-3, 5)$ 、 $(2, -5)$ を通る1次関数

解答を見る

$（傾き）（の増加量）（の増加量）（傾き）=（yの増加量）/（xの増加量）=6/3=2$
$（傾き）（の増加量）（の増加量）（傾き）=（yの増加量）/（xの増加量）=(-6)/3=-2$

「 $6$ 減る」ことと「 $-6$ 増える」ことは同じ
傾きは $(6-0)/(3-0)=2$

直線の傾き $a$ 参照
傾きは $(-5-5)/(2-(-3))=(-10)/5=-2$

直線の傾き $a$ 参照

1次関数を決定する

$y=a(x-p)+q$ のグラフで学んだことを用い、条件に合った1次関数の式を求めてみよう。

問題3直線の傾きと通る1点が与えられた場合

グラフが次の条件を満たす1次関数を求めよ。

傾きが $3$ で、点 $(2, 1)$ を通る。
傾きが $2$ で、 $y$ 切片が $1$ である。
傾きが $2$ で、 $x$ 切片が $3$ である。

解答を見る

傾きが $3$ で、点 $(2, 1)$ を通る直線の方程式は $のグラフ y=3(x-2)+1 \Leftrightarrow y=3x-5 （注） y=a(x-p)+qのグラフ$
$y$ 切片が $1$ であるということは、点 $(0, 1)$ を通るということであるから $のグラフ y=2(x-0)+1 \Leftrightarrow y=2x+1 （注） y=a(x-p)+qのグラフ$
$x$ 切片が $3$ であるということは、点 $(3, 0)$ を通るということであるから $のグラフ y=2(x-3)+0 \Leftrightarrow y=2x-6 （注） y=a(x-p)+qのグラフ$

問題4直線の通る2点が与えられた場合

グラフが次の条件を満たす1次関数を求めよ。

2点 $(-2, -7)$ 、 $(1, -1)$ を通る。
2点 $(-5, -9)$ 、 $(5, 7)$ を通る。
$x$ 切片が $3$ 、 $y$ 切片が $5$ である。

解答を見る

傾きは $(-1-(-7))/(1-(-2))=2$

直線の傾き $a$

である。

通る点を $(-2, -7)$ として

通る点を $(1, -1)$ としてもよい

$のグラフ y=2{x-(-2)}-7 \Leftrightarrow y=2x-3 （注） y=a(x-p)+qのグラフ$
傾きは $(7-(-9))/(5-(-5))=8/5$ \blacktriangleleft 直線の傾き $a$

である。

通る点を $(-5, -9)$ として

通る点を $(5, 7)$ としてもよい

$のグラフ y=8/5{x-(-5)}-9 \Leftrightarrow y=8/5x-1 （注） y=a(x-p)+qのグラフ$
求めたい関数のグラフは、 $x$ 切片が $3$ なので $(3, 0)$ を通り、 $y$ 切片が $5$ なので $(0, 5)$ を通る。

つまり、傾きは $(5-0)/(0-3)=-5/3$

直線の傾き $a$

であるから、通る点を $(3, 0)$ として

通る点を $(0, 5)$ としてもよい

$のグラフ y=-5/3(x-3)+0 \Leftrightarrow y=-5/3x+5 （注） y=a(x-p)+qのグラフ$

切片が与えられたときの直線の方程式

右の図のように原点を通らない直線で、 $x$ 切片が $x0$ 、 $y$ 切片が $y0$ である直線は、傾きが $-y0/x0$ であり $(0, y0)$ を通るので、 $y=-y0/x0x+y0$ となる。

この式全体を $y0$ で割ると $y/y0=-x/x0+1 \Leftrightarrow x/x0+y/y0=1$ となる。

座標平面上に、x軸上の点x_0とy軸上の点y_0を通る右下がりの直線が引かれている。原点Oを通らず、x軸・y軸のそれぞれ正の部分で交わっている。

定理7切片が与えられたときの直線の方程式

$x$ 切片が $x0$ 、 $y$ 切片が $y0$ の直線の方程式は $x/x0+y/y0=1$ で表される。

上の例題の3は、 $x$ 切片が $3$ 、 $y$ 切片が $5$ であるから $x/3+y/5=1 \Leftrightarrow 5x+3y-15=0 \Leftrightarrow y=-5/3x+5$ となりさきほどの解答と確かに一致する。

1次関数の対称移動

$x$ 軸に関する対称移動

たとえば、1次関数 $y=2x+1$ と、右辺全体に $-1$ を掛けた1次関数 $y=-2x-1$ のグラフは、右図のように互いに $x$ 軸対称となっている。

座標平面上に2直線 y=2x+1 と y=-2x-1 が描かれ、x軸に関して対称になっている。同じx座標 x_0 に対する点 (x_0, y_0) と (x_0, -y_0) の、x軸からの距離が等しいことが矢印で示されている。これは、2つの1次関数に関して「同じ $x0$ という値に対して、 $y0$ の値の絶対値は同じだが、符号は逆になるため」と考えれば明らかであろう。

定理8 $x$ 軸対称なグラフの関係

1次関数 $f(x)=ax+b$ において $y=f(x)$ のグラフと $y=-f(x)$ のグラフは、互いに $x$ 軸対称になる。

$y$ 軸に関する対称移動

次に、1次関数 $y=4/3x-2 ①$ と、右辺の $x$ を $-x$ で置き換えた1次関数 $y=4/3(-x)-2=-4/3x-2 ②$ のグラフを図示すると、下図のように互いに $y$ 軸対称となっている。

座標平面上に、y軸に関して対称な2直線 y=4/3 x-2 と y=-4/3 x-2 が描かれている。直線上の点 (x_0, y_0) と (-x_0, y_0) は、y軸からの距離が等しいことが示されている。これは、2つの1次関数に関して「同じ $y0$ という値をとるのが、 $①$ では $x0$ 、 $②$ では $-x0$ のときであるため」と考えれば納得できるだろう。具体的にいえば、 $①$ の $x$ に $3$ を代入すると $y=2$ となり、 $②$ の $x$ に $-3$ を代入すると同じく $y=2$ になるということである。

定理9 $y$ 軸対称なグラフの関係

1次関数 $f(x)=ax+b$ において $y=f(x)$ のグラフと $y=f(-x)$ のグラフは、互いに $y$ 軸対称になる。

最終更新: 2026-08-10

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質問の内容

数学I 第2章 関数と方程式・不等式 — 1次関数とそのグラフ

1次関数のグラフ

1次関数の定義

定義11次関数の定義

y=ax のグラフ

定理2 y=axのグラフの特徴

y=ax+b のグラフ

定理3 y=ax+b のグラフ

y=a(x-p) のグラフ

定理4 y=a(x-p) のグラフ

y=a(x-p)+q のグラフ

定理5 y=a(x-p)+q のグラフ

問題11次関数のグラフ

1次関数の決定

変化の割合と傾きa

定義6直線の傾き a

問題2傾き a を求める

1次関数を決定する

問題3直線の傾きと通る1点が与えられた場合

問題4直線の通る2点が与えられた場合

切片が与えられたときの直線の方程式

定理7切片が与えられたときの直線の方程式

1次関数の対称移動

x軸に関する対称移動

定理8x 軸対称なグラフの関係

y軸に関する対称移動

定理9y 軸対称なグラフの関係

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数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 1次関数とそのグラフ

$y=ax$ のグラフ

定理2 $y=ax$ のグラフの特徴

$y=ax+b$ のグラフ

定理3 $y=ax+b$ のグラフ

$y=a(x-p)$ のグラフ

定理4 $y=a(x-p)$ のグラフ

$y=a(x-p)+q$ のグラフ

定理5 $y=a(x-p)+q$ のグラフ

変化の割合と傾き $a$

定義6直線の傾き $a$

問題2傾き $a$ を求める

$x$ 軸に関する対称移動

定理8 $x$ 軸対称なグラフの関係

$y$ 軸に関する対称移動

定理9 $y$ 軸対称なグラフの関係