2次方程式と2次関数の練習問題（全14問・解答つき）

1. 左辺を因数分解して (x+3)(x-5)=0 ⇔ x=-3 , 5
2. 左辺を因数分解して (x-4)²=0 ⇔ x=4
3. 左辺を因数分解して (4x-3)(3x-2)=0 ⇔ x=3/4 , 2/3
4. まず、式を整理すると 3x²+4x-4=0 となるので、左辺を因数分解して (x+2)(3x-2)=0 ⇔ x=-2 , 2/3
5. 両辺を 9 倍すると x²+9x+18=0 となるので、左辺を因数分解して (x+6)(x+3)=0 ⇔ x=-6 , -3

1. 解の公式より x²+7x+2=0 ⇔ x=(-7±√(7²-4・1・2))/2・1 =(-7±√41)/2
2. 解の公式より x²+8x-3=0 ⇔ x=(-8±√(8²-4・1・(-3)))/2・1 =(-8±2√19)/2=-4±√19
3. 解の公式より x²+x-3=0 ⇔ x=1±√((-1)²-4・1・(-3))/2・1 =1±√13/2
4. 解の公式より x=4±√((-4)²-4・1・5)/2・1 =4±√(-4)/2 √(-4) が意味をもたないため、答えは解なし。
5. 解の公式より 4x²+6x+1=0 ⇔ x=(-6±√(6²-4・4・1))/2・4 =(-6±2√5)/8 =(-3±√5)/4
6. 方程式の両辺に 6 を掛けて整理すると x²+3x-2=0 解の公式より x=(-3±√(3²-4・1・(-2)))/2・1 =(-3±√17)/2

1. x の係数が偶数の場合の解の公式より x²-6x+4=0 ⇔ x=3±√((-3)²-1・4)=3±√5 ax2+2b'x+c=0の解 x=-b'±√b'²-aca

2. 方程式の両辺に √2 を掛けて整理すると 2x²-4√2x-2=0 ⇔x²-2√2x-1=0 x² の係数は有理数にしておくとよい（解の分母を有理化しなくて済む）

   x の係数が偶数の場合の解の公式より x=√2±√((-√2)²-1・(-1)) =√2±√3

3. 方程式の両辺に 2+√3 を掛けて整理すると 2(4-3)x² +2(-1-√3)x+(2+√3)=0 ⇔ 2x²-2(1+√3)x+2+√3=0 まず x² の係数は有理数にしておくとよい（解の分母を有理化しなくて済む） x の係数が偶数の場合の解の公式より x={(1+√3)± √({-(1+√3)}²-2・(2+√3))} ÷2 =(1+√3±√(4+2√3-4-2√3))/2 =(1+√3)/2

2次方程式 x²-(k-1)x+1/4k²+k+1=0 の判別式を D とすると D={-(k-1)}²-4・1・(1/4k²+k+1) =k²-2k+1-k²-4k-4 =-6k-3

1. -6k-3>0、つまり k<-1/2 のとき

   D>0 となり、方程式の解は2つ存在する。

2. -6k-3=0、つまり k=-1/2 のとき

   D=0 となり、方程式の解は1つ存在する。

   つまり重解をもつ

3. -6k-3<0、つまり k>-1/2 のとき

   D<0 となり、方程式の解は存在しない。

以上i～iiiより、解の個数は次のようになる。

• k<-1/2のとき2個
• k=-1/2のとき1個
• k>-1/2のとき0個

2次方程式 3x²-2(m+1)x+1/3m²+m=0 の判別式を D とすると D/4={-(m+1)}²-3・(1/3m²+m) =m²+2m+1-m²-3m =-m+1 x の係数が偶数の場合の解の公式参照

1. -m+1>0、つまり m<1 のとき

   D/4>0 となり、方程式の解は2つ存在する。

2. -m+1=0、つまり m=1 のとき

   D/4=0 となり、方程式の解は1つ存在する。

   重解をもつ

3. -m+1<0、つまり m>1 のとき

   D/4<0 となり、方程式の解は存在しない。

以上i～iiiより、解の個数は次のようになる。

• m<1のとき2個
• m=1のとき1個
• m>1のとき0個

2x²+ax+b=0 の両辺を 2 で割って、 x²+a/2x+b/2=0 となる。この2次方程式の2解が x=1/2、-1 になるので 1/2+(-1)=-a/2 , 1/2×(-1)=b/2 -a/2の符号に注意

これより、 a=1, b=-1 である。

実際に 2x²+x-1=0 を解いて確認しよう

1. 

   判別式を D とすると D=(-1)²-4・(-1)=5>0 なので、x軸と2つの共有点をもつ。

   また x²-x-1=0 ⇔ x=1±√5/2 2次方程式の解の公式

   だから、このグラフと x 軸の共有点の座標は((1-√5)/2 , 0)、((1+√5)/2 , 0)となる。

2. 

   判別式を D とすると D/4=2²-(-4)・(-1)=0 または D=4²-4・(-4)・(-1)=0

   なので、x軸と1つの共有点をもつ（接する）。

   また -4x²+4x-1=0 ⇔ 4x²-4x+1=0 ⇔ (2x-1)²=0 ⇔ x=1/2 だから、このグラフと x 軸の共有点の座標は(1/2 , 0)となる。

3. 

   判別式を D とすると D=(-1)²-4=-3<0 なので、x軸と共有点をもたない。

2次関数 y=4x²+2(k-1)x-k+4 の判別式を D とすると D/4=(k-1)²-4(-k+4) =k²-2k+1+4k-16 =k²+2k-15 または D=4k²+8k-60

放物線が x 軸と接するのは D=0 のときであるから

判別式 D と放物線の関係参照 k²+2k-15=0 ⇔ (k+5)(k-3)=0 ∴k=-5 , 3 k=-5→ y=2(x-3/2)² k=3 → y=2(x+12)² になる

2次関数の決定において、x 軸との共有点がわかっている場合を考えてみよう。

放物線 y=ax²+bx+c と x 軸との交点の x 座標が -3、1 であったとする。このとき、放物線と x 軸との共有点で学んだように、 ax²+bx+c=0 の解も -3、1 である。

さらに、解と係数の関係で学んだことを用いると「方程式 ax²+bx+c=0」と「方程式 (x+3)(x-1)=0」は一致している。x² の係数をあわせて、 ax²+bx+c=a(x+3)(x-1) とわかる。

x 軸との交点の x 座標が -1、2 なので、求める2次関数は y=a(x+1)(x-2)1 とおける。

また、この2次関数は (1, -2) を通るので，より -2=a(1+1)(1-2) を得る。これより、 a=1 となるので、求める2次関数は y=(x+1)(x-2)、つまり y=x²-x-2 となる。

1. C と L1 の交点の座標は、連立方程式 y=x²-2x+3 y=-x+5　　　 の解に一致する。

   y=-x+5 の左辺に y=x²-2x+3 を代入してこれを解くと x²-2x+3=-x+5 ⇔ x²-x-2=0 ∴x=2, -1

   

   となる。 y=-x+5 に代入して y を求めれば

   • x=-1 のとき y=6
   • x=2 のとき y=3

   であるので、交点の座標は (-1, 6)、(2, 3) である。

   グラフは。右図のようになる。

2. C と C1 の交点の座標は、連立方程式 y=x²-2x+3 y=-x²-x+6 の解に一致する。

   y=-x²-x+6 の左辺に y=x²-2x+3 を代入してこれを解くと x²-2x+3=-x²-x+6 ⇔ 2x²-x-3=0 ∴x=3/2, -1

   

   となる。 y=-x²-x+6 によって y を求めれば

   • x=3/2 のとき y=9/4
   • x=-1 のとき y=6

   であるので、交点の座標は (-1, 6)、(3/2, 9/4) である。

   グラフは、右図のようになる。

3. 2つのグラフの共有点が1つであるには、連立方程式 y=x²-2x+3 y=-2x-k の解が重解であればよい。

   y=-2x-k の左辺に y=x²-2x+3 を代入して x² -2x+3 =-2x-k ⇔ x²+3+k=0 となる。 x²+3+k=0 の判別式を D が 0 となればよいので、

   x の係数は 0 である。 D/4=0²-1・(3+k)=0 ∴k=-3 このとき、直線 L2 を表す式は y=-2x+3 となる。

   

   また、C と L2 の共有点は、再び連立方程式 y=x²-2x+3 y=-2x+3 を解いて (x, y)=(0, 3)。

   つまり、グラフは右図のようになる。

4. 2つのグラフの共有点が1つであるには、連立方程式 y=x²-2x+3 y=3x²+2ax+a+4 の解が重解であればよい。

   y=3x²+2ax+a+4 の左辺へ y=x²-2x+3 を代入して x²-2x+3=3x²+2ax+a+4 ⇔ 2x²+(2a+2)x+a+1=0 となる。 2x²+(2a+2)x+a+1=0 の判別式を D が 0 となればよいので、 D/4=(a+1)²-2・(a+1)=0 a²-1=0 ∴a=1, -1

   1. 

      a=1 のとき

      放物線 C2 を表す式は y=3x²+2x+5 となる。C と C2 の共有点は、再び連立方程式 y=x²-2x+3 y=3x²+2x+5 を解いて (x, y)=(-1, 6)。

      グラフは、右図のようになる。

   2. 

      a=-1 のとき

      放物線 C2 を表す式は y=3x²-2x+3 となる。C と C2 の共有点は、再び連立方程式 y=x²-2x+3 y=3x²-2x+3 を解いて (x, y)=(0, 3)。

      グラフは、右図のようになる。