数学II 第1章 式と証明 — 不等式の証明
不等式の証明の基本
数学Ⅱにおける不等式の性質
FTEXT 数学Iで学んだように，2つの実数
のうち，いずれか1つの関係が成り立ち，特に不等式には次のような性質があった．
- すべての実数
で
不等式の証明の基本について
不等式
\begin{eqnarray} \text{（左辺）}&=&\sqrt{x^4+2x^2+2}\
&\gt&\sqrt{x^4+2x^2+1} ← 根号の中の値が1だけ小さくなっている\
&=&\sqrt{(x^2+1)^2}\
&=&x^2+1=\text{（右辺）} \end{eqnarray}
とすればよい．
しかし，一般には
不等式
なお
次の不等式を証明せよ．
解答を見る
（左辺）
（右辺）を計算すると 以上より，
（左辺）
（右辺）を計算すると 以上より，
平方による比較
であるから，
が成り立つ.
注
かつ のとき， だから，上の不等式とあわせて も成り立つ．
このことから，2つの数
次の不等式を証明せよ．等号のあるものについては，等号が成り立つ場合を調べよ．
解答を見る
を示せばよい． 平方による比較
（左辺)
\begin{eqnarray} &=&a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)\ &=&2\sqrt{ab}>0 \end{eqnarray}
よって，（左辺）
（左辺)
（左辺)
（左辺）
特に，等号が成立するのは，
さきほども述べたように，不等式
実数の平方
実数の平方について
不等式の性質より，
この性質は，2次関数などですでに何度も使われているが，ここであらためて確認しておく．
次の不等式を証明せよ．等号のあるものについては，等号が成り立つ場合を調べよ．
解答を見る
（左辺）
（右辺）を計算すると （左辺）
（右辺） \begin{eqnarray} &=&(x+y)^2-2xy-(x^2-y^2)\ &=&(x^2+y^2+2xy)-2xy-x^2+y^2\ &=&2y^2\geqq 0 \end{eqnarray} より，（左辺）
（右辺）である． また，等号が成立するのは，
条件式の（左辺）
（右辺）を計算すると 平方完成をした が成り立たないので， 実数の平方 よって，
より （右辺）
，（左辺） なので， （右辺) 平方による比較 （右辺)
実数の平方 であるので，（右辺)
であり， （右辺） （左辺）である． また，等号が成立するのは，
相加平均と相乗平均
相加平均とは何か
日常では，たとえば数学のテストが60点，英語のテストが80点だったとすると，足して2で割る，すなわち次の計算
によって平均点を出す．
また，3教科の場合，たとえば数学のテストが60点，英語のテストが80点，国語のテストが40点だったとすると
という計算によって，平均点60点を出す．
このような，平均のとり方を相加平均といい，一般には次のようにまとめられる．
を,
特に，
次の値の相加平均を求めよ．
解答を見る
数学での平均の考え方
「平均」とは「平たいらに均ならす」ということであるが，数学では次のように定義する．
2つの数
と を使った計算で求められるものであり - 必ず
と の間の数として求められるもの
を
たとえば，
が成り立つので
つまり，
3つ以上の数についての平均は
- それら3つ以上の数を使った計算で求められるものであり
- 必ずそれらのうちの最も大きいものと最も小さいものの間の数として求められるもの
として考える．
相乗平均とは何か
2つの
が成り立つので
となり，
このような平均のとり方を相乗平均という．
3つの正の数
相乗平均について，一般には次のようにまとめられる．
注 相乗平均の使われる例として，年間の利子率が
で元金がAの複利での貯蓄を考える． 年後の利子額についての平均利子率を とすると， となるので， として相乗平均があらわれる．
を，
特に，
次の値の相乗平均を求めよ．
解答を見る
相加平均と相乗平均の関係
である．
いま，
より
すなわち，相加平均は相乗平均以上であることがわかる．
一般には次のような関係が成り立つ．
等号が成立するのは，
特に，
（等号成立は
であり，
（等号成立は
である．
相加平均と相乗平均の関係
相加平均と相乗平均の関係式は，分母をはらった
の形で使われることが多い． 左辺の和
と，右辺の積 の間の関係を与えたものだということに注目しよう．
等式
\begin{eqnarray} &&x^3+y^3+z^3-3xyz\ &=&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2\ &&\qquad\qquad\qquad-xy-yz-zx) \end{eqnarray}
が成り立つことを利用して，
を証明せよ．また，等号が成立する条件も求めよ．
解答を見る
であり
であるから
よって
また，等号が成立するのは
一般の場合の証明は，付録一般の場合の相加平均と相乗平均の関係を参照のこと．
ただし，
解答を見る
と をかけると約分され定数になることに着目した
また，等号が成立するのは
よって，
また，等号が成立するのは
のときである．
3.
また，等号が成立するのは，
のときである．
4.
であるから，辺々を掛け合わせて
（左辺）
また，等号が成立するときは
相加平均と相乗平均の関係は，上の例題で見たような不等式の証明だけでなく，次の例題でみるように最小値を求める際にも利用できる．
次の関数の最小値を求めよ．
解答を見る
ここまででいえたことは
等号が成り立つのは
以上より，最小値は
ここまででいえたことは
等号が成り立つのは
以上より，最小値は
相加平均と相乗平均の関係
相加平均と相乗平均の関係を使って最小値を求める方法は
- 関数がある値以上であることを示し（不等式の証明）
- その関数がある値になることを示す（等号成立条件）
という2つのプロセスから成り立っていることに注意しよう．
コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式とは何か
が成り立ち，これをコーシー・シュワルツの不等式（Cauchy-Schwarz's inequality）という．
等号が成立するのは
のときである．
上のコーシー・シュワルツの不等式を証明せよ．また，等号が成立する条件も確認せよ．
解答を見る
（右辺）
等号が成立するのは，
のことである.
が成り立つことを証明せよ．
また，等号が成り立つ条件も求めよ．
解答を見る
（右辺）
等号が成立するのは，
一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式に関しては，付録一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式を参照のこと．
コーシー・シュワルツの不等式を利用して，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
ただし，
ただし，
解答を見る
コーシー・シュワルツの不等式より
さらに，条件より
が成り立つ．
のときである．
このとき，等号が成り立つ．
以上より，最大値
さらに，条件より
が成り立つ．
のときである．
このとき，等号が成り立つ．
以上より，最大値
コーシー・シュワルツの不等式とは何か
コーシー・シュワルツの不等式は\FTEXT 数学Bで学習するベクトルの内積の知識を用いて
と表すことができる． もし，ベクトルを学習済みであったら，
を上の式に代入して確認してみよう．
三角不等式
三角不等式とは何か
2つの数
が成立し，これを三角不等式（triangle inequality）という．
たとえば，
（左辺）
（右辺）
となり，確かに（左辺）
また，
（左辺）
（右辺）
となり，やはり（左辺）
上では2つの数における三角不等式をみたが，3つ以上の数についても三角不等式は成り立ち，一般には次のようになる．
が成り立つ．
等号成立は，
特に，
解答を見る
両辺とも負でないから，それぞれを2乗した式
平方による比較 を示せばよい．
（右辺）
（左辺） が実数のとき が実数のとき となるので，（左辺）
（右辺）である． 等号が成立するのは，
すなわち，
と が同符号のとき（ を含んでもよい）となる． （左辺）を計算すると
と に関して(1)を利用した. となるので，（左辺）
（右辺）である． 等号が成立するのは
(b)より，i)
i)
(a)より，
ii)
(a)より，
すなわち，
がすべて同符号のとき（ を含んでもよい）となる．
元記事: http://www.ftext.org/text/section/106（取得日 2026-08-07）
最終更新: 2026-08-07
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