不等式の証明の練習問題（全12問・解答つき）

1. （左辺） - （右辺）を計算すると

   ab+1-(a+b) =a(b-1)-(b-1) =(a-1)(b-1)

   a > 1，b > 1 より， a − 1 > 0，b − 1 > 0 だから， (a − 1)(b − 1) > 0 が成り立つ．

   以上より， ab + 1 > a + b が証明された．

2. （左辺） - （右辺）を計算すると

   (ab+cd)-(ad+bc) =a(b-d)-c(b-d) =(a-c)(b-d)

   a > c，b > d より， a − c > 0，b − d > 0 だから， (a − c)(b − d) > 0 が成り立つ．

   以上より， ab + cd > ad + bc が証明された．

1. √a+√b (>0)≧0，√(a+b) (>0)≧0 なので， （左辺) ² > （右辺)² を示せばよい．　　　　　　　 平方による比較

   （左辺) ² − （右辺)²

   \begin{eqnarray} &=&a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)\ &=&2\sqrt{ab}>0 \end{eqnarray}

   よって，（左辺） > （右辺）が証明された．

2. 3√a+2√b≧0，√(9a+4b)≧0 なので，

   （左辺) ²≧ （右辺) ² を示せばよい．　　　　 平方による比較

   （左辺) ² − （右辺) ²

   =(3√a+2√b )²-(√(9a+4b) )² =9a+12√ab+4b-(9a+4b) =12√ab≧0

   （左辺） ≧ （右辺）が証明された．

   特に，等号が成立するのは， 12√ab=0 ，すなわち a = 0 または b = 0 のときである．

さきほども述べたように，不等式 A≧ B を証明する基本は，それと同値の内容の A-B≧0 を証明することである． ある値が 0 以上になることをいうには，一般にはいろいろな方法があるが， 次の節から扱う有名な不等式を利用することが多い．

1. （左辺） − （右辺）を計算すると

   （左辺） − （右辺） \begin{eqnarray} &=&(x+y)^2-2xy-(x^2-y^2)\ &=&(x^2+y^2+2xy)-2xy-x^2+y^2\ &=&2y^2\geqq 0 \end{eqnarray} 実数の平方

   より，（左辺） ≧ （右辺）である．

   また，等号が成立するのは， 2y² = 0 ，すなわち y = 0 のときである．

2. 条件式の（左辺） − （右辺）を計算すると

   x³-y³>0 ⇔ (x-y)(x²+xy+y²)>0 ⇔ (x-y){(x+y/2)²-y²/4+y²} >0　　　　　　　平方完成をした

   ⇔ (x-y){(x+y/2)²+3y²/4} >0

   1

   (x+y/2)²+3y²/4≧0 であるが， (x+y/2)²+3y²/4=0 のときは，が成り立たないので， (x+y/2)²+3y²/4>0 である．　　　　　 実数の平方

   よって，より x − y > 0 ，すなわち x > y ．

3. （右辺） ≧0 ，（左辺） ≧0 なので， （右辺) ² − （左辺）) ²≧0 を証明すればよい． 平方による比較

   （右辺) ² − （左辺) ²=(√2(x+y) )²-(√x+√y )²

   =2(x+y)-(x+2√xy+y) =x+y-2√xy =(√x-√y )²≧0 　　 実数の平方

   であるので，（右辺) ²≧ （左辺) ²であり， （右辺） ≧ （左辺）である．

   また，等号が成立するのは， √x-√y=0 ，すなわち x = y のときである．

1. (24+56)/2=80/2=40
2. (1/2+1/3)/2=(5/6)/2=5/12
3. (3/2+1/3+5/4)/3=((18+4+15)/12)/3 =(37/12)/3=37/36
4. 1+√3+√2/3=(3+3√3+√2)/3 より、 (3+3√3+√2)/9

1. √(2・ 8)=√16=4
2. √[3]1・ 3・ 9=√[3]27=3

1. x>0,1/x>0 であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   △xと1/xをかけると約分され定数になることに着目した

   x+1/x≧ 2√(x・1/x)=2

   また，等号が成立するのは x=1/x ，すなわち x = 1 のときである． x > 0 である

2. x + 2 > 0，1/(x+2)>0 であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   △ (1)のような形にもちこみたいため， x ではなく x + 2 をかたまりとして考えてみる.

   (x+2)+9/(x+2) ≧ 2√((x+2)・9/(x+2))=6

   よって， x+9/(x+2)≧ 4 となる．

   また，等号が成立するのは x+2=9/(x+2) ，すなわち

   (x+2)²=9 ⇔ (x+5)(x-1)=0 ∴x=1 x > 0 である

   のときである．

3. x > 0，1/x>0，y > 0，1/y>0であるから， 相加平均と相乗平均の関係より

   (x+1/y)(y+4/x) =xy+4/xy+1+4 ≧ 2√(xy・4/xy)+1+4=9 xy と 1/xy をかけると約分されて定数になるような形があらわれた

   また，等号が成立するのは， xy=4/xy ，すなわち

   x²y²=4 ∴xy=2 x > 0，y > 0 より， xy > 0 である

   のときである．

4. x > 0，y > 0，z > 0 であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   x+y≧ 2√xy y+z≧ 2√yz z+x≧ 2√zx

   であるから，辺々を掛け合わせて

   （左辺）

   ≧ (2√xy)(2√yz)(2√zx) =8xyz

   また，等号が成立するときは x = y，y = z，z = x ，すなわち x = y = z のときである．

相加平均と相乗平均の関係は，上の例題で見たような不等式の証明だけでなく，次の例題でみるように最小値を求める際にも利用できる．

1. x > 0より 1/x>0であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   x+1/x≧2√(x・1/x)=2

   △ ここまででいえたことは f(x)≧2 である

   等号が成り立つのは x=1/x ，すなわち

   x²=1 ∴x=1 x > 0 である

   以上より，最小値は f(1)=2 とわかる．

   △ 等号が成立する x の存在がわかって初めて最小値といえる.

2. y/x>0 , x/y>0 であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   y/x+x/y≧2√(y/x・x/y)=2

   △ ここまででいえたことは f(x, y)≧2 である

   等号が成り立つのは y/x=x/y のとき．これを計算していくと

   x²=y² ⇔ x²-y²=0 ⇔ (x-y)(x+y)=0

   x > 0，y > 0 なので， x+y≠0 であるから， x = y となる．

   以上より，最小値は f(x,x)=2 とわかる．

   △ 等号が成立する x と y の存在がわかって初めて最小値といえる.

1. a = 1,b = 2 とすると，

   コーシー・シュワルツの不等式より　　 (ax+by)²≦(a²+b²)(x²+y²)

   (x+2y)²≦(1²+2²)(x²+y²)

   さらに，条件より x² + y² = 1 であるから

   (x+2y)²≦5 ⇔ -√5≦ x+2y≦√5

   1

   が成り立つ．

   の等号が成り立つのは

   x:y=1:2

   のときである． x = k，y = 2k とおき，比例式の知識を使った

   x² + y² = 1 に代入すると

   k²+(2k)²=1 ⇔ k=±√5/5

   このとき，等号が成り立つ．

   以上より，最大値 f(√5/5, 2√5/5)=√5 ， 最小値 f(-√5/5, -2√5/5)=-√5 となる．

2. a = 1，b = 2，c = 3 とすると， コーシー・シュワルツの不等式より

   (ax+by+cz)²

   ≦(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)

   (x+2y+3z)² ≦(1²+2²+3²)(x²+y²+z²)

   さらに，条件より x² + y² + z² = 1 であるから

   (x+2y+3z)²≦14 ⇔ -√14≦ x+2y+3z≦√14　　　　

   2

   が成り立つ．

   の等号が成り立つのは

   x:y:z=1:2:3

   のときである． x = k，y = 2k，z = 3k とおき， x² + y² + z² = 1 に代入すると　　　　 比例式の知識を使った.

   k²+(2k)²+(3k)²=1 ⇔ k=±√14/14

   このとき，等号が成り立つ．

   以上より，最大値 f(√14/14, 2√14/14, 3√14/14)

   =√14 ， 最小値 f(-√14/14, -2√14/14, -3√14/14)

   =-√14 となる．