数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 1次不等式と1次関数

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ある数とある数が等しいことは等号 $=$ を使った等式で表すことができる。同様に、ある数がある数より大きいことや小さいことは、不等号 $>$ や $<$ を使った式で表すことができる。以下では、数の大小関係を不等号で表した式、不等式について見ていこう。

不等式の性質

不等式とは何か

たとえば

「ある数 $a$ を $2$ 倍してから $3$ を加えた数は、 $4$ より大きい」

ということを、不等号を用いて表すと $2a+3>4 ①$ となる。この $①$ のように

定義1不等式

2つの数の大小関係を、不等号を使って表したものを不等式 (inequality) という。

等式の場合と同じように、不等号の左側にある式を左辺 (left side)、右側にある式を右辺 (right side) という。 $①$ の左辺は $2a+3$ 、右辺は $4$ である。やはり、等式の場合と同じように、左辺と右辺をあわせて両辺 (both sides) という。

ここで不等号の種類をまとめると以下のようになる。

	読み方	意味

$a< b$	$a$ は $b$ より小さい( $a$ は $b$ 未満である)
$a≦ b$	$a$ は $b$ 以下である	$a< b$ または $a=b$
$a> b$	$a$ は $b$ より大きい
$a≧ b$	$a$ は $b$ 以上である( $b$ は $a$ 以下である)	$a> b$ または $a=b$

問題1不等式で表す

次の文章を、不等式を使って表せ。

$a$ と $3$ の和は、 $b$ の $2$ 倍より小さい。
$x$ の $2$ 倍から $3$ 引いた数は、 $x$ の $(-2)$ 倍以上である。

解答を見る

$との和 a と 3 の和a+3$ は、 $の倍 b の 2 倍2b$ より小さい。 $\toa+3<2b$

「 $A$ は $B$ より小さい」は $A< B$
$の倍から引いた数 x の 2 倍2x から 3 引いた数2x-3$ は、 $の倍 x の (-2) 倍-2x$ 以上である。 $\to2x-3≧-2x$

「 $A$ は $B$ 以上」は $A≧ B$

不等式の性質について

ここでは $a< b$ として、不等式について成り立つ性質を考えていこう。

両辺に同じ数を足す(引く)場合

左辺、右辺それぞれに $2$ を加えた $a+2$ 、 $b+2$ は、不等式 $a+2< b+2$ を満たす。

また、左辺、右辺それぞれから $3$ を引いた $a-3$ 、 $b-3$ も、不等式 $a-3< b-3$ を満たす。

つまり、「不等式の両辺に同じ数を足しても(引いても)、もとの不等式と不等号の向きが変わらない」といえる。
両辺に正の数を掛ける(割る)場合

左辺、右辺それぞれに $2$ を掛けた $2a$ 、 $2b$ は、不等式 $2a<2b$ を満たす。

また、左辺、右辺それぞれを $3$ で割った値 $a/3$ 、 $b/3$ も、不等式 $a/3< b/3$ を満たす。

つまり、「不等式の両辺に同じ正の数を掛けても(割っても)、もとの不等式と不等号の向きが変わらない」といえる。
両辺に負の数を掛ける(割る)場合

左辺、右辺それぞれに $-2$ を掛けた $-2a$ 、 $-2b$ は、不等式 $-2a>-2b$ を満たす。

また、左辺、右辺それぞれを $-3$ で割った値 $-a/3$ 、 $-b/3$ も、不等式 $-a/3> -b/3$ を満たす。

つまり、「不等式の両辺に同じ負の数を掛ける(割る)と、もとの不等式と不等号の向きが逆になる」といえる。

以上をまとめると次のようになる。

定理2不等式の性質

すべての実数 $c$ で $、 a<b \Leftrightarrowa+c<b+c、a-c<b-c$
$0<c$ のとき $、 a<b \Leftrightarrowac<bc、a/c<b/c$
$c<0$ のとき $、逆符号！ a<b \Leftrightarrowac>bc、a/c>b/c\leftarrow逆符号！$

問題2不等式の性質

$a< b$ のとき、次のそれぞれ大小関係を、不等号を使って表せ。

$a+2$ と $b+2$
$a-2$ と $b-2$
$2a$ と $2b$
$-2a$ と $-2b$

解答を見る

$a+2< b+2$
$a-2< b-2$
$2a< 2b$
$-2a> -2b$

負の数を掛けると不等号の向きは逆になる

暗記1不等式の移項の仕組み

$x+y< z \Leftrightarrow x< z-y$
$x-y< z \Leftrightarrow x< z+y$
$のとき、 y> 0のとき、yx< z \Leftrightarrow x< z/y$
$のとき、 y< 0のとき、yx< z \Leftrightarrow x> z/y$

解答を見る

$不等式の性質 x+y< z \Leftrightarrow x+y-y< z-y \Leftrightarrow x< z-y （注）不等式の性質$
$不等式の性質 x-y< z \Leftrightarrow x-y+y< z+y \Leftrightarrow x< z+y （注）不等式の性質$
$のとき、不等式の性質 yx< z \Leftrightarrow yx\times1/y< z\times1/y \Leftrightarrow x< z/y （注） y>0のとき、1/y>0 （注）不等式の性質$
$のとき、不等式の性質 yx< z \Leftrightarrow yx\times1/y> z\times1/y \Leftrightarrow x> z/y （注） y<0のとき、1/y<0 （注）不等式の性質$

1次不等式の解法

1次不等式の解法とは

不等式 $2x+3>4 ①$ を満たす $x$ はどのような値だろうか。

たとえば、 $x=2$ や $x=5$ は $①$ を満たすが、 $x=0$ や $x=-2$ は $①$ を満たさない。

一般に、不等式を満たす $x$ の値をその不等式の解 (solution) といい、すべての解を求めることを不等式を解く (solve) という。では、実際にこの不等式 $①$ を解いてみよう。 $2x+3>4 \Leftrightarrow 2x>4-3 \Leftrightarrow 2x>1 \Leftrightarrow x>1/2$ これが、不等式 $①$ の解である。つまり、 $x$ は $1/2$ より大きければ、 $①$ を満たす。

不等式を移項して整理することにより $（次式）（次式）（1次式）>0,（1次式）≦0$ などの形に変形できる不等式を、一般に1次不等式 (linear inequality) という。

連立不等式

$x$ が満たすべき不等式が2つ以上あるとき、それらをまとめて連立不等式 (simultaneous inequalities) という。連立不等式を解くとは、全ての不等式を同時に満たす $x$ の範囲を求めることである。

問題3連立不等式

次の連立不等式を解け。

$(11/4)x-3/2> 2x-5 (2/3)x+1/6≦-(1/2)x-3/2$
$0.25x-0.18≧ 0.6-0.14x (2/3)x+1/6≦ -(1/2)x-3/2$

解答を見る

まず、 $(11/4)x-3/2>2x-5$ を解く。 $(11/4)x-3/2>2x-5 \Leftrightarrow 11x-6>8x-20 \Leftrightarrow 3x>-14 \Leftrightarrow x>-14/3 ①$ 次に、 $(2/3)x+1/6≦-(1/2)x-3/2$ を解く。 $(2/3)x+1/6≦-(1/2)x-3/2 \Leftrightarrow 4x+1≦-3x-9 \Leftrightarrow 7x≦-10 \Leftrightarrow x≦-10/7 ②$

以上の $①$ 、 $②$ を共通して満たす $x$ は $-14/3<x≦-10/7$
まず、 $0.25x-0.18≧0.6-0.14x$ を解く。 $0.25x-0.18≧0.6-0.14x \Leftrightarrow 25x-18≧60-14x \Leftrightarrow 39x≧78 \Leftrightarrow x≧2 ③$ 次に、 $(2/3)x+1/6≦-(1/2)x-3/2$ を解く。 $(2/3)x+1/6≦-(1/2)x-3/2 \Leftrightarrow 4x+1≦-3x-9 \Leftrightarrow 7x≦-10 \Leftrightarrow x≦-10/7 ④$

以上の $③$ 、 $④$ を共通して満たす $x$ は、存在しないので、答えは解なし

条件を満たす $x$ の値がない場合はこのように答える

1次不等式の応用

問題41次不等式の応用

$A$ 地点から $15km$ 離れた $B$ 地点まで歩いた。はじめは急ぎ足で毎時 $5km$ 、途中から疲れたので毎時 $3km$ の速さで歩いた。所要時間が $4$ 時間以内のとき、急ぎ足で何 $km$ 以上歩いたか求めよ。
$5%$ の食塩水と $8%$ の食塩水がある。 $5%$ の食塩水 $800g$ と $8%$ の食塩水を何 $g$ か混ぜて、 $6%$ 以上の食塩水を作りたい。 $8%$ の食塩水を何 $g$ 以上混ぜればよいか求めよ。

解答を見る

急ぎ足で歩いた距離を $xkm$ として、 $x$ について解けばよい。

疲れて歩いた距離は $(15-x)km$ となり、歩くのにかかる時間はそれぞれ、 $x/5$ 時間、 $(15-x)/3$ 時間となる。

$（道のり）（速さ）（時間）（道のり）/（速さ）=（時間）$

全体の所要時間は $4$ 時間以内であるから $x/5+(15-x)/3≦4$ を満たす $x$ を求めればよい。 $x/5+(15-x)/3≦4 \Leftrightarrow 3x+5(15-x)≦60 \Leftrightarrow 3x+75-5x≦60 \Leftrightarrow -2x≦-15 \Leftrightarrow x≧15/2=7.5$

負の数を掛ける・割るときは逆符号

よって、急ぎ足では $7.5$ km以上歩いた。
$8%$ の食塩水を $xg$ 混ぜるとして、 $x$ について解けばよい。

食塩水の量(g) 食塩の量(g)

$5%$ $800$ $5/100\times800$

$8%$ $x$ $(8/100)x$

$800+x$ $5/100\times 800+(8/100)x$

$5%$ の食塩水 $800g$ の中には $(5/100\times800)g$ の食塩が溶けている。また、混ぜる $8%$ の食塩水 $xg$ の中には、 $((8/100)\timesx)g$ の食塩が溶けている。

これらを混ぜて、濃度が $6%$ 以上になるから $(5/100\times800+(8/100)\timesx) \div(800+x)≧6/100$ を満たす $x$ を求めればよい。ここで、 $x$ は混ぜる食塩水の量であるから $x>0$ であり、 $800+x>0$ となる。よって、両辺に $800+x$ を掛けても不等号の向きは変わらない。 $(5/100\times800+(8/100)\timesx) \div(800+x)≧6/100 \Leftrightarrow 5/100\times800+(8/100)\timesx ≧6/100\times(800+x) \Leftrightarrow 5\times800+8\timesx≧6\times(800+x) \Leftrightarrow 4000+8x≧4800+6x \Leftrightarrow 2x≧800 \Leftrightarrow x≧400$ よって、 $8%$ の食塩水は $400g$ 以上混ぜればよい。

	食塩水の量(g)	食塩の量(g)
$5%$	$800$	$5/100\times800$
$8%$	$x$	$(8/100)x$
	$800+x$	$5/100\times 800+(8/100)x$

1次不等式と1次関数の関係

1次不等式と1次関数の関係について

1次方程式と1次関数でみたように1次方程式と1次関数の間に密接な関係があった。それと同じように、1次不等式と1次関数にも密接な関係がある。

たとえば、1次不等式 $(1/2)x-1>0 ①$ の解について考える。この1次不等式の「左辺を $y$ とおいた1次関数」 $y=(1/2)x-1$ を考える。すると、不等式 $①$ を解くためには $のグラフの座標 (y=(1/2)x-1のグラフのy座標)>0$ となる $x$ の範囲を求めればよい。よって、右のグラフから $x>2$ である。

xy平面上に直線 y=1/2 x-1 があり、x軸との交点 2 は白丸で表されている。x>2 の範囲で直線とx軸の間のy>0の部分が着色され、「y>0となるxの範囲」と添えられている。実際、この1次不等式を解いてみると $(1/2)x-1>0 \Leftrightarrow (1/2)x>1 \Leftrightarrow x>2$ となり、確かに1次関数の $y$ が $0$ より大きくなる $x$ の範囲となっている。

問題51次不等式をグラフを使って解く

次の1次不等式をグラフを使って解け。

$x/3-13/3<0$
$-2x-8≦0$
$(2/3)x-8/3>0$
$-7x+2≧0$

解答を見る

上の図より、 $の値 x/3-13/3^yの値<0$ となるのは $x<13$ のとき。よって、1次不等式 $x/3-13/3<0$ の解は $x<13$ となる。
上の図より、 $の値 -2x-8^yの値≦0$ となるのは $x≧-4$ のとき、よって1次不等式 $-2x-8≦0$ の解は $x≧-4$ となる。
上の図より、 $の値 (2/3)x-8/3^yの値>0$ となるのは $x>4$ のとき、よって1次不等式 $(2/3)x-8/3>0$ の解は $x>4$ となる。
上の図より、 $の値 -7x+2^yの値≧0$ となるのは $x≦2/7$ のとき、よって1次不等式 $-7x+2≧0$ の解は $x≦2/7$ となる。

定理31次不等式の解

$a>0$ の場合の、1次不等式と1次関数の解の関係はつぎのようにまとめることができる。

$y=ax+b$ のグラフ
$ax+b=0$ の解	$x=-b/a$
$ax+b>0$ の解	$x>-b/a$
$ax+b≧0$ の解	$x≧-b/a$
$ax+b<0$ の解	$x<-b/a$
$ax+b≦0$ の解	$x≦-b/a$

なお、 $a<0$ のときは、両辺に $-1$ を掛けると不等号の向きが逆になり、 $x$ の係数を正にできる。そのうえで、この表を使えばよい。

絶対値を含む1次関数・方程式・不等式

絶対値と方程式・不等式

絶対値でも学んだように、実数 $x$ の絶対値 $|x|$ は、数直線上での原点と実数 $x$ に対応する点との距離を表すので、次のことがいえる。

定理4絶対値と方程式・不等式の関係

絶対値を含む $x$ の方程式、不等式に関して $|x|=a\Leftrightarrow x=\pma |x|< a\Leftrightarrow-a<x<a |x|> a\Leftrightarrowx<-a,a<x$ ただし、 $a>0$ とする。また、 $≦$ 、 $≧$ の場合も同じで $|x|≦ a\Leftrightarrow-a≦x≦a |x|≧ a\Leftrightarrowx≦-a,a≦x$ となる。

数直線上に白丸の点-aと点aが置かれ、-aより左側の領域とaより右側の領域の上に|x|>a、-aとaの間の領域の上に|x|<aと書かれている。

問題6絶対値を含む1次方程式・1次不等式

次の方程式・不等式を解け。

$|x-1|=3$
$|3x-2|=6$
$|x+1|>4$
$|5x-2|≦4$

解答を見る

$右辺 (右辺)=3$ なので、 $x-1=\pm3$ より、 $x=-2, 4$ である。

$x-1=-3$ のときは $x=-2$ 、 $x-1=3$ のときは $x=4$
$右辺 (右辺)=6$ なので、 $3x-2=\pm6$ より $3x-2=\pm6 \Leftrightarrow 3x=-4,8 ∴x=-4/3 , 8/3$
$右辺 (右辺)=4$ なので $またはまたは x+1<-4または4<x+1 \Leftrightarrow x<-5または3<x$
$右辺 (右辺)=4$ なので、 $-4≦5x-2≦4$ より $-4≦5x-2≦4 \Leftrightarrow -2≦5x≦6 \Leftrightarrow -2/5≦x≦6/5$

場合に分けて絶対値を外す

以下のような問題では、場合に分けて絶対値を外す必要がある。(絶対値参照)

絶対値を含む1次関数の式のグラフを書く
$の式 (xの式)=a$ の形でない方程式・不等式を解く

問題7絶対値を含む1次関数

次の式で与えられた関数のグラフを描け。

$y=2x+|x-1|$
$y=|x-4|$

解答を見る

1. $x-1≧0$ 、つまり $1≦x$ のとき $y=2x+(x-1) =3x-1$
2. $x-1<0$ 、つまり $x<1$ のとき $y=2x-(x-1) =x+1$
i、iiより、グラフは次の図のようになる。
1. $x-4≧0$ 、つまり $4≦x$ のとき $y=x-4$
2. $x-4<0$ 、つまり $x<4$ のとき $y=-(x-4) =-x+4$
i、iiより、グラフは上の図のようになる。

問題8絶対値を含む1次方程式

次の方程式を解け。

$|x+1|=2x$
$|3x-4|=x+8$
$|2x-2|=x-4$

解答を見る

1. $x+1≧0$ 、つまり $-1≦x ①$ のとき $x+1=2x \Leftrightarrow x=1$ これは、 $①$ に適している。
2. $x+1<0$ 、つまり $x<-1 ②$ のとき $-x-1=2x \Leftrightarrow 3x=-1 ∴x=-1/3$ これは、 $②$ に適さない。
iまたはiiを満たすものが解となり、 $x=1$ である。
1. $3x-4≧0$ 、つまり $4/3≦x ③$ のとき $3x-4=x+8 \Leftrightarrow 2x=12 ∴x=6$ これは、 $③$ に適している。
2. $3x-4<0$ 、つまり $x<4/3 ④$ のとき $-3x+4=x+8 \Leftrightarrow 4x=-4 ∴x=-1$ これは、 $④$ に適している。
iまたはiiを満たすものが解となり、 $x=-1 , 6$ である。
1. $2x-2≧0$ 、つまり $1≦x ⑤$ のとき $2x-2=x-4 \Leftrightarrow x=-2$ これは、 $⑤$ に適さない。
2. $2x-2<0$ 、つまり $x<1 ⑥$ のとき $-2x+2=x-4 \Leftrightarrow -3x=-6 ∴x=2$ これは、 $⑥$ に適さない。
i、iiのどちらにも満たす解がないので、解なしが答えとなる。

実際、 $y=|2x-2|$ 、 $y=x-4$ のグラフを両方書いてみると、交点をもたない。

問題9絶対値を含む1次不等式

次の不等式を解け。

$|x+6|> 3x$
$|2x-1|≦x+2$

解答を見る

1. $x+6≧0$ 、つまり $-6≦x ①$ のとき $x+6>3x \Leftrightarrow 2x<6 ∴x<3$ これと、 $①$ を合わせて、 $-6≦x<3$
2. $x+6<0$ 、つまり $x<-6 ②$ のとき $-x-6>3x \Leftrightarrow 4x<-6 ∴x<-3/2$ これと、 $②$ を合わせて、 $x<-6$
iまたはiiを満たすものが解となり、 $x<3$ である。
1. $2x-1≧0$ 、つまり $1/2≦x ③$ のとき $2x-1≦x+2 \Leftrightarrow x≦3$ これと、 $③$ を合わせて、 $1/2≦x≦3$
2. $2x-1<0$ 、つまり
  
  $x<1/2 ④$ のとき $-2x+1≦x+2 \Leftrightarrow -1/3≦x$ これと、 $④$ を合わせて、 $-1/3≦x<1/2$
iまたはiiを満たすものが解となり、 $-1/3≦x≦3$ である。

最終更新: 2026-08-12

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質問の内容

数学I 第2章 関数と方程式・不等式 — 1次不等式と1次関数

不等式の性質

不等式とは何か

定義1不等式

問題1不等式で表す

不等式の性質について

定理2不等式の性質

問題2不等式の性質

暗記1不等式の移項の仕組み

1次不等式の解法

1次不等式の解法とは

連立不等式

問題3連立不等式

1次不等式の応用

問題41次不等式の応用

1次不等式と1次関数の関係

1次不等式と1次関数の関係について

問題51次不等式をグラフを使って解く

定理31次不等式の解

絶対値を含む1次関数・方程式・不等式

絶対値と方程式・不等式

定理4絶対値と方程式・不等式の関係

問題6絶対値を含む1次方程式・1次不等式

場合に分けて絶対値を外す

問題7絶対値を含む1次関数

問題8絶対値を含む1次方程式

問題9絶対値を含む1次不等式

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