数学I 第6章 平面図形・空間図形の計量 — 球の体積と表面積

1. 

   

   底面に垂直な平面で立体を半分に切れば、1つめの図のような断面図となる。高さ x の平面による半球 T の切り口は、1つめの図の線分 HA を半径とした円になるので、線分 HA の長さを求めればよい。

   よって、求める長さは HA=√(OA²-OH²)=√(r²-x²)

2. 

   求める面積は「高さ x の平面による円柱の切り口の面積」（これは半径 r の円）から「高さ x の平面による半球 T の切り口の面積」（これは半径 √(r²-x²) の円）を引けばよいので、求める面積は π r²-π(√(r²-x²))² =π r² -π(r²-x²) =π x²

一般に、2つの立体について、どの高さに対する切り口の面積も等しいならば、これら2つの立体の体積は等しいことが知られている。上の例題において、底面の半径 r、高さ r の円錐を逆さにしたものを U とする。U の頂点は下にあり、その頂点から高さ x までの部分は U 全体と相似で、相似比は x:r であるから、高さ x の切り口は半径 r×x/r=x の円となる。したがって、高さ x における U の断面積は S と等しく πx² になる、つまり、S と U は体積が等しく （半球Tの体積） =（円柱の体積）-（Uの体積） =π r³ -1/3πr³=2/3πr³ と計算できる。この T の体積を 2 倍して、半径 r の球の体積 4/3πr³ を得る。

1. • 表面積は 4π・4²=64²
   • 体積は (4/3)π・4³=(256/3)³

2. 1辺 8cm の立方体の表面積は、 6×8²=384cm²

   直径 10cm の球の半径は 5cm なので、表面積は 4π・5²=100π ≒100×3.14 =314cm² よって、1辺 8cm の立方体の表面積の方が大きい。

3. 水中に入れた球の体積は (4/3)π・3³=36³ なので、水の体積と球の体積の和は 10・10・9+36π=900+36³ である。実際には 10³=1000cm³ しか入らないので、あふれる水の体積は (900+36π)-1000=36π-100cm³

円錐の頂点を A、球 O1、O2 の中心をそれぞれ P、Q とし、A から底面に下ろした垂線の足を H とする。このとき、線分 AH は P、Q を通る。

1. 

   直線 AH を含むように、この立体図形を縦に垂直に切る。すると、断面図は上の図のようになり、 球 O1 の断面は、△ABC の内接円になる。

   △ABC の面積を S、球 O1 の半径 r1 とすると S=1/2(10+10+8)r1 ③ が成り立つ。

   面積 S は、 AH=√(10²-4²)=2√21 より S=1/2・8・2√21=8√21 であるので、これを ③ に代入して 8√21=1/2 (10+10+8)r1 ∴r1=(8/14)√21=(4/7)√21

2. 

   1と同じ断面を考え、上の図のように Q から辺 AC に垂線 QE を下ろす。E は球 O2 と円錐の側面との接点であり、∠A は共通、 ∠AEQ=∠AHC=90° であるから △AQE∽△ACH である。

   ここで、球 O2 の半径を r2 とすると QE=r2 である。また、球 O1 は円錐の底面に接するから PH=r1、球 O1 と球 O2 は外接するから PQ=r1+r2 であり、 AQ=AH-PH-PQ=AH-2r1-r2 となる。

   よって AQ:QE=AC:CH (AH-2r1-r2):r2=10:4=5:2 2(2√21-(8/7)√21-r2)=5r2 (12/7)√21=7r2 ∴r2=(12/49)√21