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球の体積と表面積の練習問題（全3問・解答つき）

数学I「球の体積と表面積」（平面図形・空間図形の計量）の練習問題を3問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。

印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます

問題1球と円柱

右の図において、円柱から半球 を除いた図形を とする。 のとき

  1. 高さ の水平面で を切ったときの、切り口に現れる小さい方の円の半径を求めよ。
  2. 高さ の水平面による、 の断面積を求めよ。
底面の半径と高さがrの円柱の内部に、半径rの半球Tがある。高さxの水平面で切ったときの断面と、円柱からTを除いた立体Sが示されている。
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  1. 長方形の枠内に、底辺の中点をOとする半径rの半円がある。高さxにある点Hと半円上の点Aにより直角三角形OHAが描かれており、斜辺OAの長さはr、OHの長さはxである。
    底面の半径と高さがともにrである円柱の中に半径rの半球があり、底面から高さxの水平面による灰色の円形断面が示されている。底面中心と断面中心を結ぶ高さxを1辺とする直角三角形も描かれている。

    底面に垂直な平面で立体を半分に切れば、左の断面図となる。高さ の平面による半球 の切り口は、左図の線分 を半径とした円になるので、線分 の長さを求めればよい。

    よって、求める長さは

  2. 底面の半径と高さがともにrの円柱の中に半径rの半球が入っており、高さxの水平面で切った断面が示されている。円柱の切り口から半径√(r^2-x^2)の半球の切り口を除いたリング状の領域が灰色で塗られている。

    求める面積は「高さ の平面による円柱の切り口の面積」（これは半径 の円）から「高さ の平面による半球 の切り口の面積」（これは半径 の円）を引けばよいので、求める面積は

一般に、2つの立体について、どの高さに対する切り口の面積も等しいならば、これら2つの立体の体積は等しいことが知られている。上の例題において、底面の半径 、高さ の円錐を逆さにしたものを とすると、高さ における の断面積は と等しく になる、つまり、 と は体積が等しく と計算できる。この の体積を 倍して、半径 の球の体積 を得る。

問題2球の表面積、体積

  1. 半径 の球の、表面積と体積をそれぞれ求めよ。
  2. 1辺 の立方体の表面積と直径 の球の表面積では、どちらが大きいか。
  3. 1辺 の立方体に高さ まで水を入れてある。この水の中に半径 の球を静かに入れると、何 の水があふれるか。ただし、表面張力は考えない。
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    • 表面積は
    • 体積は

  2. 1辺 の立方体の表面積は、

    直径 の球の半径は なので、表面積は よって、1辺 の立方体の表面積の方が大きい。

  3. 水中に入れた球の体積は なので、水の体積と球の体積の和は である。実際には しか入らないので、あふれる水の体積は

問題3円錐と内接球

底面の半径が 、母線の長さが の円錐がある。

  1. この円錐に内接する球 の半径を求めよ。
  2. 球 の上に外接し、さらに円錐に内接する球 の半径を求めよ。

ただし、球 、 とも、半径はできるだけ大きくなるようにする。

母線の長さが10、底面の半径が4である円錐の中に、大きい球O1と小さい球O2が縦に並んで入っている。球O1は円錐の側面と底面に、球O2は球O1と円錐の側面にそれぞれ接している。
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円錐の頂点を 、球 、 の中心をそれぞれ 、 とし、 から底面に下ろした垂線の足を とする。このとき、線分 は 、 を通る。

  1. 三角形ABCの各辺の長さはAB=10、AC=10、BC=8である。垂線AH上に中心Pと中心Qの2つの円が縦に接して並び、下側の大きい円Pの半径PHの長さはr1である。

    直線 を含むように、この立体図形を縦に垂直に切る。すると、断面図は右図のようになり、 球 の断面は、 の内接円になる。

    の面積を 、球 の半径 とすると が成り立つ。

    面積 は、 より であるので、これを に代入して

  2. 二等辺三角形ABCの垂線AH上に、中心Pで半径r1の内接円と、その上にある中心Qで半径r2の円が接して並ぶ。Qから辺ACへ垂線QEが下ろされ、ACの長さは10、HCの長さは4である。

    1と同じ断面を考え、右図のように をとると である。

    よって、球 の半径を とすれば