数学A 第2章 確率 — 確率とは何か

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さいころを投げて1の目が出ることや、宝くじを買って1等に当選することなどは、運に左右されることなので、「必ず1の目が出る」とか、「1等は絶対に当たらない」などとはいいきれない。どちらも、将来に何が起こるかわからないという点では共通である。しかし、「起こりやすさ」という点から見ると、さいころを投げて1の目が出ることの方が、宝くじを買って1等に当選することよりはるかに大きいと想像できる。ここでは、この「起こりやすさ」を数値で表す方法である「確率」について学んでいく。

試行と事象

試行・事象とは何か

1個のさいころを投げるとき、その出る目は

のうちのいずれかであるが、このうちどの目が出るかは偶然に左右される。

このさいころ投げのように、同じ条件で何度も繰り返すことができ、その結果が偶然によってきまる実験や観測などを試行(trial)という。 また、試行の結果起こる事柄を事象(event)という。 例えば、「1の目が出る」は、さいころ投げという試行における事象の1つである。

事象を集合で表す

試行や事象は、集合で表すことができる。 例えば、さいころ投げの試行で起こりうる結果の全体は

U={1,2,3,4,5,6}

などと表すことができる。

また、この試行では

A ：「1の目が出る」

B ：「奇数の目が出る」

C ：「3の目が出ない」

などの事象を考えることができるが、これらは U の部分集合を用いて

A={1}

B={1,3,5}

C={1,2,4,5,6}

と表すことができる。

一般に、ある試行において、起こりうる結果の全体を表す集合を U とするとき、 この集合 U のことを標本空間(sample space)という。 また、試行によって起こる事象 A を表す集合 A は標本空間 U をうまく作ることによって、 U の部分集合（ A⊂eqqU ）として表すことができる。

今後簡単のため、「事象 A 」と「事象 A を表す集合 A 」は区別せず、どちらも単に事象 A ということにする。 標本空間 U 自身も1つの事象であり、必ず起こる事象なので、全事象(sure event)ともいう。 また、決して起こらない事象も考え、これを空事象(null event)という。 空事象は空集合 ∅ で表される。

また、標本空間 U の要素のただ1つからなる集合で表される事象を根元事象(fundamental event)という。 上のさいころ投げの例では、根元事象は

{1},{2},{3},{4},{5},{6}

の6つである。

標本空間と事象の例1:さいころ投げの場合

ここでは、さいころ投げを例にとり、標本空間の作り方と事象の表し方 をいくつかの視点から見てみよう。同じ試行であっても、標本空間の作り方にはいろいろあるのだ、という点に特に注目してもらいたい。

試行として

「1から4の目が書かれた正四面体のさいころを2回振る」を考えてみる。

この試行は、表のように、1回目に出た目と2回目に出た目の重複順列で

4Π2=4²=16 通り

にまとめることができる。

1234 11,12,13,14,1 21,22,23,24,2 31,32,33,34,3 41,42,43,44,4

これをもとに、標本空間 U を

U={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4) }

ととれば、例えば

事象 A ：「1の目と2の目が出る」

は U の部分集合を用いて

A={(1,2),(2,1)}

と表すことができる。

また、この試行は、表のように、1回目に出た目と2回目に出た目の重複組合せで 4H2= 4+2-1C2=10 通りにまとめることができる。

1234 11,1――― 21,22,2―― 31,32,33,3― 41,42,43,44,4

これをもとに、標本空間 U' を

U'={(1,1), (1,2),(1,3), (1,4),(2,2),(2,3), (2,4),(3,3),(3,4),(4,4) }

ととれば

事象 A ：「1の目と2の目が出る」

U' の部分集合を用いて

A={(1,2)}

と表すことができる。

標本空間と事象の例2:カード引きの場合

今度は、カード引きを例にとり、標本空間の作り方と事象の表し方をいくつかの視点から見てみる。

試行として

「1から4の数字が書かれた4枚のカードから続けて2回引く」

を考えてみる.

この試行は、表のように、1回目に引いたカードと2回目に引いたカードの順列で

4P2=4・3=12 通り

にまとめることができる。

1234 1―2,13,14,1 21,2―3,24,2 31,32,3―4,3 41,42,43,4―

これをもとに、標本空間 U を

U={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3) }

ととれば、例えば

事象 A ：「1のカードと2のカードを引く」

は U の部分集合を用いて

A={(1,2),(2,1)}

と表すことができる。

また、この試行は、表のように、1回目に引いたカードと2回目に引いたカードの組合せで

4C2=4・3/2・1=6 通り

にまとめることもできる。

1234 1―――― 21,2――― 31,32,3―― 41,42,43,4―

これをもとに、標本空間 U' を

U'={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

ととれば

事象 A ：「1のカードと2のカードを引く」

は U' の部分集合を用いて

A={(1,2)}

と表すことができる。

確率の定義

確率の考え方

簡単な例として、さいころを1回投げるという試行を考える。 この試行の標本空間 U を

U={1,2,3,4,5,6}

とする。

この試行において、「1の目が出る」という事象 A は、 U の部分集合として

A={1}

と表すことができる。

今、さいころがいびつではなく正確な立方体で作られているとすれば、 U の根元事象の6通りのどれも同じ程度に実現する と期待できる。このとき、根元事象は同様に確からしい(equally likely)という。

そこで、標本空間 U の要素の個数に対する事象 A の要素の個数の比で、事象 A の起こりやすさ P(A) を表すことにする。つまり

P(A)=n(A)/n(U)=1/6

とする。この P(A) を、事象 A が起こる確率(probability)という。

また、奇数の目が出るという事象 B は

B={1,3,5}

3の目が出ないという事象 C は

C={1,2,4,5,6}

と表すことができるから、それぞれの事象の起こる確率 P(B),P(C) は

P(B)=n(B)/n(U)=3/6=1/2

P(C)=n(C)/n(U)=5/6

となる.

確率の定義について

確率の基本性質

確率の基本性質

ある試行における標本空間を U 、事象を A とする。このとき、 U,A はそれぞれ、 n(U),n(A) 個の根元事象からなり

0≦ n(A)≦ n(U)

が成り立つ。根元事象が同様に確からしい場合、 n(A)/n(U)=P(A) であるから、上の式を n(U) で割ることにより

0≦ P(A)≦ 1 ①

となる。特に標本空間 U に関しては

P(U) = 1 ②

である。

また、事象 A,B について A∩B=∅ すなわち A と B が共通の根元事象をもたないとき、 A∪B の作る根元事象の個数は

n(A∪B)=n(A)+n(B)

であるから、両辺を n(U) で割ることにより

n(A∪B)n(U)=n(A)/n(U)+n(B)/n(U)

つまり

P(A∪B)=P(A)+P(B) ③

となる。

最終更新: 2026-08-20